Bài 8. Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Câu hỏi 1

Rút gọn: \(3\sqrt {5a}  - \sqrt {20a}  + 4\sqrt {45a} + \sqrt a \) với \(a \ge 0\)

Phương pháp giải:

Sử dụng linh hoạt các công thức về căn thức như đưa thừa số ra ngoài dấu căn, khai phương 1 tích để rút gọn

Lời giải chi tiết:

Rút gọn các biểu thức sau:

LG a

\(5\sqrt{\dfrac{1}{5}}+\dfrac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5}\)

Phương pháp giải:

+ Sử dụng quy tắc đưa thừa số vào trong dấu căn: Với hai biểu thức \(A,\ B\) mà \(B \ge 0\), ta có:

             \(A\sqrt{B}=\sqrt{A^2B}\),  nếu \(A \ge 0\).

           \(A\sqrt{B}=-\sqrt{A^2B}\),  nếu \(A < 0\).

+  Sử dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với hai biểu thức \(A,\ B\) mà \(B \ge 0\), ta có:

           \(\sqrt{A^2.B}=A\sqrt{B}\),  nếu \(A \ge 0\).

Đề bài

Cho biểu thức \(B= \sqrt{16x+16}-\sqrt{9x+9}+\sqrt{4x+4}+\sqrt{x+1}\) với \(x\geq -1\).

a) Rút gọn biểu thức \(B\); 

b) Tìm \(x\) sao cho \(B\) có giá trị là \(16\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Sử dụng quy tắc đặt nhân tử chung và quy tắc khai phương một tích để đưa các số hạng về dạng có cùng biểu thức dưới dấu căn.

+ \(\sqrt x =a \Leftrightarrow (\sqrt x)^2=a^2 \Leftrightarrow x=a^2\),  với \(a \ge 0.\) 

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

Rút gọn các biểu thức sau:

LG a

\(\dfrac{1}{2}\sqrt{48}-2\sqrt{75}-\dfrac{\sqrt{33}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{1\dfrac{1}{3}}\);

Phương pháp giải:

+ Cách đổi hỗn số ra phân số: \(a\dfrac{b}{c}=\dfrac{a.c+ b}{c}\).

+  Sử dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn:  

           \(\sqrt{A^2.B}=A\sqrt{B}\),  nếu \(A \ge 0,\ B \ge 0\).

           \(\sqrt{A^2.B}=-A\sqrt{B}\),  nếu \(A < 0,\ B \ge 0\).

+ \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\),   với \(a \ge 0,\ b > 0\).

Chứng minh các đẳng thức sau:

LG a

\(\left ( \dfrac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right ). \left ( \dfrac{1-\sqrt{a}}{1-a} \right )^{2}= 1\) với \(a ≥ 0\) và \(a ≠ 1\)

Phương pháp giải:

+ Biến đối vế trái thành vế phải ta sẽ có điều cần chứng minh.

+ \(\sqrt{A^2}=|A|\). 

+ \(|A|=A \)    nếu    \(A \ge 0\),

    \(|A|=-A\)     nếu    \(A < 0\).

+ Sử dụng các hằng đẳng thức:

         \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)

         \(a^2- b^2=(a+b).(a-b)\).

Đề bài

Giá trị của biểu thức \(\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}\) bằng:

(A) \(\dfrac{1}{2}\);

(B) \(1\);

(C) \(-4\);

(D) \(4\).

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Sử dụng quy tắc trục căn thức ở mẫu:

\(\dfrac{C}{\sqrt A \pm B}= \dfrac{C(\sqrt A \mp B)}{A- B^2}\),  với \(A \ge 0,\  A \ne B^2\).

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}\)

Đề bài

Bài 1. Rút gọn :  \(A = {{a + b} \over {{{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}^2}}} - {2 \over {\sqrt {ab} }}:{\left( {{1 \over {\sqrt a }} - {1 \over {\sqrt b }}} \right)^2}.\) 

Bài 2. Tìm x, biết : \(\sqrt {{x^2} - 2x + 1}  = \sqrt {6 + 4\sqrt 2 }  \)\(\,- \sqrt {6 - 4\sqrt 2 } \,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Bài 3. Chứng minh rằng : \(\left| {a + b} \right| \le \sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} ,\) với mọi a và b.

LG bài 1

Đề bài

Bài 1. Rút gọn : \(A = \left( {{{1 - a\sqrt a } \over {1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right).{\left( {{{1 - \sqrt a } \over {1 - a}}} \right)^2}\)\(\,\,\,\left( {a \ge 0;\,a \ne 1} \right)\) 

Bài 2. Chứng minh rằng : \(x = {{\left( {5\sqrt 3  + \sqrt {50} } \right)\left( {5 - \sqrt {24} } \right)} \over {\sqrt {75}  - 5\sqrt 2 }}\) có giá trị là số nguyên.

Đề bài

Bài 1. Tính : 

a. \(\displaystyle \sqrt {7 - 4\sqrt 3 }  - \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } \)

b. \(\displaystyle \left( {{{14} \over {\sqrt {14} }} + {{\sqrt {12}  + \sqrt {30} } \over {\sqrt 2  + \sqrt 5 }}} \right).\sqrt {5 - \sqrt {21} } \)

Bài 2. Chứng minh đẳng thức : \(\displaystyle {4 \over {\sqrt x  + 2}} + {2 \over {\sqrt x  - 2}} - {{5\sqrt x  - 6} \over {x - 4}} = {1 \over {\sqrt x  - 2}},\) với \(\displaystyle x ≥ 0\) và \(\displaystyle x ≠ 4\).