Bài 2. Phương trình mặt phẳng

Đề bài

Trong không gian \(Oxyz\) cho ba điểm \(A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3)\). Hãy tìm tọa độ một vecto pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng vuông góc với cả hai véc tơ \(\overrightarrow {AB}\) và \(\overrightarrow {AC}\)

- Tính tích có hướng của hai véc tơ và chọn ra một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

Đề bài

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng \((MNP)\) với \(M(1; 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tính véc tơ tích có hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow {MN}\) và \(\overrightarrow {NP}\).

- Chọn một véc tơ cùng phương với véc tơ trên làm VTPT của mặt phẳng.

- Viết phương trình \(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\)

Lời giải chi tiết

Đề bài

Nếu A = C = 0 và B ≠ 0 hoặc nếu B = C = 0 và A ≠ 0 thì mặt phẳng (α) có đặc điểm gì?

Lời giải chi tiết

A = C = 0 và B ≠ 0 ⇒ mặt phẳng (α) // hoặc trùng với (Oxz)

B = C = 0 và A ≠ 0 ⇒ mặt phẳng (α) // hoặc trùng với (Oyz)

Đề bài

Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β) cho bởi các phương trình sau đây: (α): x – 2 = 0; (β): x – 8 = 0.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Chứng minh hai mặt phẳng song song.

- Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(d\left( {\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)} \right) = d\left( {M,\left( \beta  \right)} \right) \) ở đó tọa điểm \(M\) chọn trước thuộc \((\alpha )\).

Đề bài

Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) với \(A(2 ; 3 ; 7)\) và \(B(4 ; 1 ; 3)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gọi mặt phẳng \((P)\) là mặt phẳng cần tìm. Khi đó mặt phẳng \((P)\) đi qua trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\) và vuông góc với \(AB\) hay \((P)\) nhận  vecto  \(\overrightarrow{AB}\) làm VTPT.

Sau đó ta áp dụng công thức dưới đây để lập phương trình:

Lập phương trình mặt phẳng :

LG a

a) Chứa trục \(Ox\) và điểm \(P(4 ; -1 ; 2)\);

Phương pháp giải:

+) Mặt phẳng \((P)\) chứa các vecto  \(\overrightarrow u ;\;\;\overrightarrow v  \Rightarrow \) VTPT của \((P)\) là:  \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right].\)

Đề bài

Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) đi qua điểm \(M(2 ; -1 ; 2)\) và song song với mặt phẳng \(( β)\) có phương trình: \(2x - y + 3z + 4 = 0\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Cho hai mặt phẳng: \(\left( P \right)//\left( Q \right)\) thì \(\overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {{n_Q}} .\)

Xác định giá trị của \(m\) và \(n\) để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau:

LG a

a) \(2x + my + 3z - 5 = 0\) và \(nx - 8y - 6z + 2 = 0\);

Phương pháp giải:

Cho hai mặt phẳng: \((\alpha): a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0\) và \((\beta): a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0\).

Giải các bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ.

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh bằng \(1\).

LG a

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng \((AB'D')\) và \((BC'D)\) song song với nhau.

Phương pháp giải:

Chọn hệ trục tọa độ hợp lý sau đó suy ra tọa độ các điểm của hình lập phương.

+) Lập phương trình mặt phẳng \((AB'D')\) đi qua ba điểm \(A,\, \, B', \, D'\) có VTPT \(\overrightarrow{n_1} \) và mặt phẳng \((BC'D)\) đi qua ba điểm \(B,\, \, C', \, D\) có VTPT \(\overrightarrow{n_2} .\)