Bài 3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Đề bài

Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục 1 để chứng minh rằng:

a) Nếu AB = CD thì OH = OK.

b) Nếu OH = OK thì AB = CD. 

Lời giải chi tiết

Xét đường tròn \((O)\) có 

OH là một phần đường kính vuông góc với dây AB

\( \Rightarrow \) H là trung điểm của \(AB \Rightarrow AB{\rm{ }} = {\rm{ }}2HB\)

OK là một phần đường kính vuông góc với dây CD

Đề bài

Cho tam giác ABC, O là giao của các đường trung trực của tam giác; D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, AC.\) Cho biết \(OD > OE, OE = OF\) (h.69).

Hãy so sánh các độ dài:

a) BC và AC;

b) AB và AC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:

Trong hai dây của một đường tròn:

+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

+ Dây nào xa tâm hơn thì dây đó nhỏ hơn 

Đề bài

Cho đường tròn \((O)\) có các dây \(AB\) và \(CD\) bằng nhau, các tia \(AB\) và \(CD\) cắt nhau tại điểm \(E\) nằm bên ngoài đường tròn. Gọi \(H\) và \(K\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Chứng minh rằng:

a) \(EH = EK\)

b) \(EA = EC\). 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng các tính chất sau: Trong một đường tròn

+) Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

+) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. 

b) Cộng đoạn thẳng

Đề bài

Cho hình \(70\) trong đó hai đường tròn cùng có tâm là \(O\). Cho biết \(AB>CD\).

Hãy so sánh các độ dài:

a) \(OH\) và \(OK\);

b) \(ME\) và \(MF\);

c) \(MH\) và \(MK\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Để so sánh hai dây, ta đi so sánh khoảng cách từ tâm đến hai dây ấy và ngược lại.

+) Sử dụng tính chất: Trong một đường tròn:

a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

Đề bài

Cho đường tròn (O; 10cm), dây AB = 16cm

a. Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.

b. Lấy K thuộc dây AB sao cho AK = 14cm. Vẽ dây PQ vuông góc với AB tại K. Chứng tỏ : AB = PQ.

Lời giải chi tiết

a. Kẻ \(OH ⊥ AB\), ta có:

\(HA = HB = {{AB} \over 2} = {{16} \over 2} = 8\,\left( {cm} \right)\)

Xét tam giác vuông AOH, ta có:

\(OH = \sqrt {O{A^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{{10}^2} - {8^2}}\)\(\;  = 6\,\left( {cm} \right)\)

Đề bài

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định và dây AC. Biết rằng khoảng cách từ O lần lượt đến AC và BC là 8cm và 6cm.

a. Tính độ dài các dây AC, BC và bán kính đường tròn.

b. Lấy D đối xứng với A qua C. Chứng minh ∆ABD cân.

c. Khi C di chuyển trên đường tròn (O). Chứng minh rằng D thuộc một đường tròn cố định.

Lời giải chi tiết

a. Kẻ OH, OK lần lượt vuông góc với AC và BC, ta có:

\(OH = 8cm, OK = 6cm\)

Đề bài

Cho điểm P nằm ngoài đường tròn (O; R) và \(OP = 2R.\) Một đường thẳng qua P cắt (O) tại A và B ( A nằm giữa B và P) và \(AB = R.\) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến PB.

a. Tính OH, AP theo R.

b. Kẻ một đường thẳng khác qua P cắt (O) tại C và D (CD ở khác phía với AB so với OP), kẻ \(OK ⊥ CD.\)

So sánh AB và CD biết \(OK < {{R\sqrt 3 } \over 2}\)

Lời giải chi tiết

a. Ta có: \(OH ⊥ AB\) (gt)