55 bài tập Sóng dừng mức độ vận dụng (Phần 1)

Khoảng cách giữa hai điểm liền kề có biên độ a có thể là 2BM  hoặc 2MN

Phương trình sóng dừng  tại M cách nút N một khoảng d

\(u = 2a\cos (\frac{{2\pi d}}{\lambda } + \frac{\pi }{2})\cos (\omega t - \frac{\pi }{2})\)

A_M = 2a cos(\(\frac{{2\pi d}}{\lambda }\)+\(\frac{\pi }{2}\)) = a -----> cos(\(\frac{{2\pi d}}{\lambda }\)+\(\frac{\pi }{2}\)) = \(\frac{1}{2}\)

-----> \(\frac{{2\pi d}}{\lambda }\)+\(\frac{\pi }{2}\) = ±\(\frac{\pi }{3}\) + kp---->  d = (±\(\frac{1}{3}\) - \(\frac{1}{2}\) +\(\frac{k}{2}\))l

-------> d₁ = (-\(\frac{1}{3}\) - \(\frac{1}{2}\) +\(\frac{{2 + {n_1}}}{2}\))l ----->d₁ = \(\frac{\lambda }{6}\) + n₁\(\frac{\lambda }{2}\)
-------> d₂ = (\(\frac{1}{3}\) - \(\frac{1}{2}\) +\(\frac{{1 + {n_2}}}{2}\))l ----->d₂ = \(\frac{\lambda }{3}\) + n₂\(\frac{\lambda }{2}\)

d_1min = NM = \(\frac{\lambda }{6}\)----> 2MN = \(\frac{\lambda }{3}\)

d_2min  = NM’ = NM + 2 MB = \(\frac{\lambda }{3}\)-----> MM’.= 2MB = \(\frac{\lambda }{3}\) - \(\frac{\lambda }{6}\) = \(\frac{\lambda }{6}\)

Do đó khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm dao động với biên độ a là MM’ = \(\frac{\lambda }{6}\); hai điểm này thuộc cùng một bó sóng

Điều kiên  có sóng dừng trên dây hai đầu cố định là: 

\(l = k\frac{\lambda }{2}\)

Bước sóng dài nhất ứng với k = 1 => λ_mãx =2l=0,5m

Đáp án B

Khi có sóng dừng, hai đầu dây cố định là hai nút sóng. Trên dây có 7 bụng sóng, tức là có 7 bó sóng

\(7\frac{\lambda }{2} = 1,05m =  > \lambda  = 0,3m =  > v = \lambda .f = 30(m/s)\)

Khoảng cách giữa hai nút là  \({\lambda  \over 2} = 5cm\)

M là điểm bụng, nên khoảng cách từ nút đến M là 2,5cm.

Vì MN là 2cm, MK là 3cm thì dựa vào hình vẽ có thể thây N và K đối xứng nhau qua nút. Vậy nên khi N có li độ 2cm thì K có li độ -2cm.

Ta có: \(l = k{\lambda  \over 2} = 4.{v \over {2f}} = {{2v} \over f} \Rightarrow v = {{lf} \over 2} = {{100.40} \over 2} = 20m/s\)

Ta có hình vẽ

Từ hình vẽ suy ra OC = λ/12 = 1cm

Chọn A

Đáp án C

Áp dụng điều kiện có sóng dừng trên sợi dây có hai đầu cố định ta có  \(l = k\frac{\lambda }{2} =  > 80 = 4\frac{\lambda }{2} =  > \lambda  = 40cm\)

Đáp án B

Theo bài ra ta có \({1 \over 3}.{{10} \over 3}.{\lambda  \over 2} + {1 \over 3}.{\lambda  \over 4} = 3{\lambda  \over 2} + {\lambda  \over 4}\) => có 4 bụng sóng trên dây

Vì A, B dao động cực đại nên A, B là các bụng sóng, nên khoảng cách AB là 1 nửa bước sóng.

Ta có:   

\(\left\{ \begin{array}{l}
{d_{AB\max }} = 2A + {d_{AB}}\\
{d_{AB\min }} = - 2A + {d_{AB}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{d_{AB}} = 12cm\\
A = 1cm
\end{array} \right.\)

Bước sóng là:  

\(\lambda = 2{d_{AB}} = 2.12 = 24cm \Rightarrow f = \frac{v}{\lambda } = \frac{{120}}{{24}} = 5Hz \Rightarrow \omega = 2\pi f = 10\pi (rad/s)\)

Khi khoảng cách giữa AB là 12 cm đúng bằng khoảng cách AB khi A, B ở vị trí cân bằng, vậy vận tốc của các phần từ A, B là cực đại và :  

\(v = \omega .A = 10\pi cm/s\)

a) Dây dao động với một bụng, vậy \(l = \frac{\lambda }{2}\,\,\,\,\,\,hay\lambda  = 2.l = 2.0,6 = 1,2m.\)

b) Dây dao động với ba bụng thì  \(l = 3\frac{{\lambda '}}{2}\,\,\,\,hay\,\,\lambda ' = \frac{2}{3}l = \frac{2}{3}.0,6 = 0,4m.\)

AB = \(\frac{\lambda }{4}\)= 18cm-----> \(\)l = 72 cm

Biểu thức của sóng dừng tại điểm M cách nút A  AM = d:  u_M = 2acos(\(\frac{{2\pi d}}{\lambda } + \frac{\pi }{2}\))cos(wt - kp- \(\frac{\pi }{2}\))

Khi AM = d = \(\frac{\lambda }{6}\) : u_M = 2acos(\(\frac{{2\pi \lambda }}{{6\lambda }} + \frac{\pi }{2}\))cos(wt - kp- \(\frac{\pi }{2}\))  = 2acos(\(\frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{2}\))cos(wt - kp- \(\frac{\pi }{2}\))

u_M = - 2asin(\(\frac{\pi }{3}\) )cos(wt - kp- \(\frac{\pi }{2}\))

v_M =  2aw\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)sin(wt - kp- \(\frac{\pi }{2}\))------>   v_M =  aw\(\sqrt 3 \)sin(wt - kp- \(\frac{\pi }{2}\))-->v_Mmax = aw\(\sqrt 3 \)

u_B = 2acos(wt - kp- \(\frac{\pi }{2}\))  ------> v_B = -2awsin(wt - kp- \(\frac{\pi }{2}\))------>

ï2awsin(wt - kp- \(\frac{\pi }{2}\))ï <  aw\(\sqrt 3 \)-------> ïsin(wt - kp- \(\frac{\pi }{2}\))ï < \(\sqrt 3 \)/2

ïcos(wt - kp)ï < \(\sqrt 3 \)/2  = cos\(\frac{\pi }{3}\)

Trong một chu kì khoảng thời gian mà độ lớn

vận tốc dao động của phần tử B nhỏ hơn vận tốc cực đại của phần tử M là t = 2t₁₂ = 2x T/6 = T/3 = 0,1s

Do đó T = 0,3s -------->Tốc độ truyền sóng v = \(\frac{\lambda }{T}\) = 72/0,3 = 240cm/s = 2,4m/s

Chọn đáp án D

Ta có  bước sóng l = 4 AC = 40 cm

Phương trình sóng dừng  tại B cách nút C

 một khoảng d

\(u = 2a\cos (\frac{{2\pi d}}{\lambda } + \frac{\pi }{2})\cos (\omega t - \frac{\pi }{2})\)

d = CB = 5 cm. biên độ sóng tại B

A_B = 2a cos(\(\frac{{2\pi d}}{\lambda }\)+\(\frac{\pi }{2}\)) =  2acos(\(\frac{{10\pi }}{{40}}\)+\(\frac{\pi }{2}\)) = 2acos(\(\frac{{3\pi }}{4}\)) = a\(\sqrt 2 \)

Khoảng thời gian ngắn nhất để hai lần liên tiếp điểm A có li độ bằng a\(\sqrt 2 \) là T/4

  T/4 = 0,2 (s) ------> T = 0,8 (s)

Do đó tốc độ truyền sóng trên dây v = l/T = 40./0,8 = 50 cm/s = 0,5 m/s. Đáp án A

Bước sóng l = \(\frac{{OB}}{2}\) = 60 cm

Phương trình sóng dừng  tại M cách nút O

 một khoảng d

\(u = 2a\cos (\frac{{2\pi d}}{\lambda } + \frac{\pi }{2})\cos (\omega t - \frac{\pi }{2})\) với a = 0,5 cm, OM = d = 65 cm

Biên độ dao động tại M  

  a_M = ï\(2a\cos (\frac{{2\pi d}}{\lambda } + \frac{\pi }{2})\)ï=ï\(\cos (\frac{{2\pi .65}}{{60}} + \frac{\pi }{2})\)ï= ï\(\cos (\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{2})\)ï= 0,5 cm

Điều kiện để có sóng dừng trên dây hai đầu cố định

  l = n\(\frac{\lambda }{2}\)   vơi n là số bó sóng.; l = \(\frac{v}{f}\) ---->  l = n\(\frac{\lambda }{2}\) = n\(\frac{v}{{2f}}\) -----> nv = 2lf=  2.0,8f = 1,6f

 Hai tần số gần nhau nhất cùng tạo ra sóng dừng trên dây thì số bó sóng hơn kém nhau 1: n₂ – n₁ = 1

  n₁ v = 1,6f₁ ;   n₂v = 1,6f₂    (n₂ – n₁)v = 1,6(f₂ – f₁) ------> v = 1,6(f₂ – f₁)

-----> v = 1,6.14 = 22,4 m/s. Chọn nđáp án C

Giả sử bụng sóng ta xét là bụng đầu tiên tình từ đầu phản xạ B, khoảng cách BN = x. ta có 

\(\begin{array}{l}
{A_B} = 2a.|\sin \frac{{2\pi d}}{\lambda }| = 2a\\
{A_N} = 2a.|\sin \frac{{2\pi (d + x)}}{\lambda }| = a\sqrt 3 \\
= > |\sin \frac{{2\pi (d + x)}}{\lambda }| = \frac{{\sqrt 3 }}{2} = |\sin \frac{{2\pi }}{3}|\\
d = 25cm,\lambda = 100cm\\
= > x = \frac{{25}}{3}cm\\
= > CN = 25 - \frac{{25}}{3} = \frac{{50}}{3}cm
\end{array}\)

Để trên dây phát ra âm cơ bản thì \(\ell =\frac{\lambda }{2}\Rightarrow \lambda =200cm=2m\)

Tần số âm cơ bản : \(f=\frac{v}{\lambda }=\frac{450}{2}=225Hz\)

Chọn A

 Đáp án A

Phương pháp : Áp dụng điều kiện có sóng dừng trên sợi dây có hai đầu cố định \(l = k\frac{\lambda }{2}\)

Cách giải : Vì trên dây xuất hiện hai bụng sóng nên ta có \(l = k\frac{\lambda }{2} =  > 120 = 2.\frac{\lambda }{2} =  > \lambda  = 120cm = 1,2m =  > v = \lambda .f = 1,2.100 = 120m/s\)

 Đáp án B

\(\frac{{2{\rm{asin}}\left( {\frac{{{\rm{2}}\pi {\rm{.16}}}}{{{\rm{24}}}}} \right)}}{{{\rm{2}}{\rm{.a}}{\rm{.sin}}\left( {\frac{{{\rm{2}}\pi {\rm{.27}}}}{{{\rm{24}}}}} \right)}} =  - \frac{{\sqrt 6 }}{2}\)

 Đáp án C

Sóng truyền trên dây có bước sóng là \(\sin \left( {\frac{{2\pi d}}{\lambda }} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right) \to d = \frac{\lambda }{{12}} =  > \lambda  = 24cm\)

Đối với sóng dừng trên dây hai đầu cố định ta luôn có

\(\ell  = {{k\lambda } \over 2} \Rightarrow \lambda  = {{2\ell } \over k}\) với k là số bụng sóng

Ta có  \(v = {\lambda _1}{f_1} = {\lambda _2}{f_2} \Rightarrow {{{\lambda _1}} \over {{\lambda _2}}} = {{{f_2}} \over {{f_1}}} \Leftrightarrow {{{k_2}} \over {{k_1}}} = {{{f_2}} \over {{f_1}}} \Rightarrow {f_2} = {f_1}{{{k_2}} \over {{k_1}}} = 42.{6 \over 4} = 63Hz\)

Chọn đáp án D

a) A = 1,5cm, ω = 200π rad/s nên f = 100Hz, T = 0,01s

v = 40m/s nên bước sóng λ = v/f = 40cm

Ta có: l = kλ/2 nên k = 6. Vậy trên dây có 6 bó sóng nên số bụng sóng là 6 và số nút sóng là 7 (tính cả hai đầu dây)

b) Phương trình dao động của một điểm ở bụng sóng:

\(u=3\cos \left( 200\pi t-\frac{\pi }{2} \right)cm\)

Thời gian ngắn nhất giữa hai lần liên tiếp li độ của bụng sóng bằng \(1,5\sqrt{2}\) cm ứng với góc quét 90⁰ từ -π/4 đến π/4.

Vậy t = T/4 = 2,5.10^-3s

Bước sóng λ = 24cm

C và D nằm trên cùng bó sóng nên chúng dao động cùng pha.

C và D dao động cùng biên độ nên chúng cùng cách nút sóng một đoạn như nhau.

Vì CD = 4cm nên C và D cách nút sóng gần nhất 4cm

Biên độ dao động của điểm C là: \(a={{A}_{b}}\left| \sin \frac{2\pi .4}{24} \right|=4cm\Rightarrow {{A}_{b}}=4,62cm\)

Chọn A

Điều kiện để có sóng dừng trên dây một đầu cố định, một đầu tự do là :

\(L = (2k + 1)\frac{\lambda }{4} = \left( {2k + 1} \right)\frac{v}{{4f}}\)

Số bụng sóng là : n = k+1.

Khi n = 1 thì k = 0 nên :  \(L = 1.\frac{v}{{4x}}\)

Khi n = 3 thì k = 2 nên :  \(L = \left( {2.2 + 1} \right)\frac{v}{{4(x + 40)}}\)

=>  \(\frac{v}{{4x}} = \frac{{5v}}{{4.(x + 40)}} = > x = 10Hz\)

Khi n = 4 thì k = 3 nên:  

\(L = (2.3 + 1).\frac{v}{{4y}}\)

Suy ra:  

\(\frac{v}{{4x}} = \frac{{7v}}{{4y}} = > y = 7x = 70Hz\)

Vậy trung bình cộng của x và y là : (x+y)/2 = (10+70)/2=40Hz.

Sóng dừng trên dây hai đầu cố định. Trên dây có 5 bụng sóng → k = 5

Điều kiện có sóng dừng : \(l=\frac{k\lambda }{2}=\frac{k.v}{2f}\Rightarrow v=\frac{2lf}{k}=\frac{2.2.100}{5}=80m/s\)

Chọn B