55 bài tập Sóng dừng mức độ vận dụng (Phần 2)

Điều kiện xảy ra sóng dừng trên hai đầu dây cố định: \(AB = l = k\dfrac{\lambda }{2}\)

\( \Rightarrow 2,5\lambda  = k\dfrac{\lambda }{2} \Rightarrow k = 2,5.2 = 5\)

→ Trên dây có 5 bụng sóng

Nhận xét: cứ cách \(\dfrac{\lambda }{2}\) lại có 1 bụng sóng

Xét \(\dfrac{{1,8\lambda }}{{\dfrac{\lambda }{2}}} = 3,6 \to \) M nằm ở bụng sóng thứ 4

Những điểm nằm trên cùng một bó sóng cùng chẵn hoặc cùng lẻ thì dao động cùng pha, những điểm nằm trên hai bó sóng chẵn và lẻ thì dao động ngược pha

1 bụng sóng có 2 điểm, vậy có 6 điểm dao động ngược pha với điểm M

Khoảng cách giữa 9 bụng sóng liên tiếp là: \(d = 8.\dfrac{\lambda }{2} = 4\lambda \)

Chọn B.

Ta có:

+ \(\dfrac{\lambda }{2} = 3\sqrt 5  \Rightarrow \lambda  = 6\sqrt 5 cm\)

+ Tại vị trí tốc độ dao động của A và B bằng nửa tốc độ dao động cực đại của chúng: \(\left| v \right| = \dfrac{{{v_{max}}}}{2} = \dfrac{{A\omega }}{2}\)

Khi đó li độ của A và B: \(\left| u \right| = \dfrac{{A\sqrt 3 }}{2}\)

Do A, B nằm ở hai bó sóng liền nhau \( \Rightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}{u_A} = \dfrac{{A\sqrt 3 }}{2}\\{u_B} =  - \dfrac{{A\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\)

Khoảng cách giữa chúng khi đó: \(\Delta x = \sqrt {\Delta {u^2} + {{\left( {\dfrac{\lambda }{2}} \right)}^2}} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 9 = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{A\sqrt 3 }}{2} - \left( { - \dfrac{{A\sqrt 3 }}{2}} \right)} \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2}} \\ \Rightarrow A = 2\sqrt 3 cm\end{array}\)

Chọn A

Tần số để trên dây có sóng dừng với 1 bụng (2 nút sóng) là:

\({f_0} = \dfrac{f}{{{n_n} - 1}} = \dfrac{{60}}{{21 - 1}} = 3\,\,\left( {Hz} \right)\)

Để trên dây có 5 nút sóng (4 bụng), tần số sóng là:

\(f' = n'{f_0} = 4.3 = 12\,\,\left( {Hz} \right)\)

Chọn A.

Sóng dừng với hai đầu cố định với 5 nút sóng → có 4 bó sóng

Chiều dài dây là: \({\rm{l}} = 4.\dfrac{\lambda }{2} \Rightarrow 1 = 4.\dfrac{\lambda }{2} \Rightarrow \lambda  = 0,5\,\,\left( m \right)\)

Tốc độ truyền sóng là: \(v = \lambda f = 0,5.50 = 25\,\,\left( {m/s} \right)\)

Chọn D.

Trên dây có 7 bụng sóng \( \Rightarrow k = 7\)

Ta có: \(l = k\dfrac{\lambda }{2} = k.\dfrac{v}{{2f}} \Rightarrow v = \dfrac{{2lf}}{k} = \dfrac{{2.1,05.100}}{7} = 30m/s\)

Chọn C.

Ta có: \(l = k.\dfrac{\lambda }{2} = k.\dfrac{v}{{2f}} \Rightarrow k = \dfrac{{2l.f}}{v} = \dfrac{{2.1.40}}{{20}} = 4\)

Vậy: Số bụng = k = 4; Số nút = k + 1 = 5.

Chọn D.

Sóng dừng trên dây với 5 nút sóng → có 4 bụng sóng, chiều dài dây là:

\({\rm{l = k}}\dfrac{\lambda }{2} \Rightarrow 1,2 = 4.\dfrac{\lambda }{2} \Rightarrow \lambda  = 0,6\,\,\left( m \right) = 60\,\,\left( {cm} \right)\)

Biên độ dao động của điểm bụng là: \({a_{\max }} = 2{a_0}\)

Biên độ dao động của điểm M là:

\(\begin{array}{l}{a_M} = 2{a_0}\sin \dfrac{{2\pi d}}{\lambda } = \dfrac{1}{2}.2{a_0} \Rightarrow \sin \dfrac{{2\pi d}}{\lambda } = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow \dfrac{{2\pi d}}{\lambda } = \dfrac{\pi }{6} \Rightarrow d = \dfrac{\lambda }{{12}} = 5\,\,\left( {cm} \right) < \dfrac{\lambda }{8}\end{array}\)

Khoảng cách từ điểm M tới bụng gần nhất là:

\(d' = \dfrac{\lambda }{4} - d = \dfrac{{60}}{4} - 5 = 10\,\,\left( {cm} \right)\)

Vậy để hai điểm M, N gần nhất, chúng đối xứng nhau qua nút

Khoảng cách giữa vị trí cân bằng của hai điểm \(M\) và \(N\) bằng:

\(MN = 2d = 2.5 = 10\,\,\left( {cm} \right)\)

Chọn D.

Điều kiện có sóng dừng trên dây hai đầu cố định: \(l = \dfrac{{k\lambda }}{2} \Rightarrow \lambda  = \dfrac{{2.l}}{k}\)

Trên dây có 5 bụng sóng \( \Rightarrow k = 5\)

Bước sóng của sóng trên dây: \(\lambda  = \dfrac{{2.l}}{k} = \dfrac{{2.60}}{5} = 24cm\)

Chọn B.

Sóng dừng trên dây với hai đầu cố định có chiều dài dây:

\(l = k\dfrac{\lambda }{2} = \dfrac{{kv}}{{2f}} \Rightarrow f = \dfrac{{kv}}{{2l}} \Rightarrow {f_{\min }} = \dfrac{v}{{2l}}\)

Trên dây có n bụng sóng: \(f = \dfrac{{nv}}{{2l}} \Rightarrow f = n{f_{\min }}\)

Với f  = 1896 Hz, trên dây có 3 bụng sóng, ta có:

\(f = 3{f_{\min }} \Rightarrow {f_{\min }} = \dfrac{f}{3} = \dfrac{{1896}}{3} = 632\,\,\left( {Hz} \right)\)

Chọn A.

Ta có:

+ Âm cơ bản: \({f_1}\) nằm trong khoảng \(300Hz - 800Hz\)

+ Họa âm: \({f_n} = n{f_1}\)

Hai họa âm: \(\left\{ \begin{array}{l}{f_{{k_1}}} = {k_1}{f_1} = 2640Hz\\{f_{{k_2}}} = {k_2}{f_1} = 4400Hz\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3,3 < {k_1} < 8,8\\5,5 < {k_2} < 14,6\end{array} \right.\)  (1)

Lại có: \(\dfrac{{{f_{{k_1}}}}}{{{f_{{k_2}}}}} = \dfrac{{{k_1}}}{{{k_2}}} = \dfrac{3}{5}\)  (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{k_1} = 6\\{k_2} = 10\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {f_1} = 440Hz\)

Trong vùng âm nghe được, họa âm \(16Hz \le {f_n} \le 20000Hz\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 16 \le n.440 \le 20000\\ \Rightarrow 0,036 \le n \le 45,45\\ \Rightarrow n = 0,1,...,45\end{array}\)

Vậy trong vùng tần số của âm nghe được có tối đa 45 tần số của họa âm (kể cả âm cơ bản) của dây đàn.

Chọn C

Trên dây hình thành 2 bụng sóng, ta có:

\({\rm{l}} = k\dfrac{\lambda }{2} \Rightarrow 120 = 2.\dfrac{\lambda }{2} \Rightarrow \lambda  = 120\,\,\left( {cm} \right)\)

Biên độ của điểm P là:

\(\begin{array}{l}{A_P} = {A_{bung}}.\left| {\sin \dfrac{{2\pi x}}{\lambda }} \right| \Rightarrow \dfrac{A}{2} = A.\left| {\sin \dfrac{{2\pi x}}{{120}}} \right|\\ \Rightarrow \left| {\sin \dfrac{{2\pi x}}{{120}}} \right| = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = 10\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Chọn B.

Biên độ của điểm M và N là:

\(\left\{ \begin{array}{l}{A_M} = {A_{bung}}.\left| {\sin \dfrac{{2\pi {x_M}}}{\lambda }} \right| = {A_{bung}}.\left| {\sin \dfrac{{2\pi .16}}{{24}}} \right| = {A_{bung}}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\{A_N} = {A_{bung}}.\left| {\sin \dfrac{{2\pi {x_N}}}{\lambda }} \right| = {A_{bung}}.\left| {\sin \dfrac{{2\pi .27}}{{24}}} \right| = {A_{bung}}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\)

Tỉ số giữa biên độ dao động của M và N là:

\(\dfrac{{{A_M}}}{{{A_N}}} = \dfrac{{{A_{bung}}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{{A_{bung}}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\)

Chọn D.

Trên dây có sóng dừng khi tần số của sóng trên dây thoã mãn:

\(f = \dfrac{{k.v}}{{2l}};k \in Z \Rightarrow {f_{\min }} = \dfrac{v}{{2l}} \Leftrightarrow k = 1\)

Theo bài ra ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{f_1} = \dfrac{{{k_1}.v}}{{2l}} = 45Hz\,\,\,\left( 1 \right)\\{f_2} = \dfrac{{{k_2}.v}}{{2l}} = 54Hz\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ tần số f₁, tăng tần số của nguồn sóng tới khi tần số là f₂ = 54Hz thì trên sợi dây mới lại xuất hiện sóng dừng. Do đó: \({k_2} = {k_1} + 1\,\,\left( 3 \right)\)

Từ (1); (2) và (3) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{f_1} = \dfrac{{{k_1}.v}}{{2l}} = 45Hz\\{f_2} = \dfrac{{\left( {{k_1} + 1} \right).v}}{{2l}} = \dfrac{{{k_1}.v}}{{2l}} + \dfrac{v}{{2l}} = 54Hz\end{array} \right.\\ \Rightarrow {f_2} - {f_1} = \dfrac{v}{{2l}} = 9 \Rightarrow {f_{\min }} = 9Hz\end{array}\)

Chọn B.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{n_1} = {k_1} + 1 = 16 \Rightarrow {k_1} = 15\\{n_2} = {k_2} + 1 = 10 \Rightarrow {k_2} = 9\end{array} \right.\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}l = \dfrac{{{k_1}.v}}{{2{f_1}}}\\l = \dfrac{{{k_2}.v}}{{2{f_2}}}\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{{k_1}.v}}{{2{f_1}}} = \dfrac{{{k_2}.v}}{{2{f_2}}} \Leftrightarrow \dfrac{{{k_1}}}{{{f_1}}} = \dfrac{{{k_2}}}{{{f_2}}}\\ \Rightarrow {f_2} = \dfrac{{{k_2}{f_1}}}{{{k_1}}} = \dfrac{{9.50}}{{15}} = 30Hz\end{array}\)

Chọn C.

Phương trình vận tốc của điểm M:

\(\begin{gathered}
{v_M} = 20\pi \sin \left( {10\pi t + \varphi } \right) \hfill \\
\Rightarrow {u_M} = 2\cos \left( {10\pi t + \varphi - \frac{\pi }{2}} \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {cm} \right) \hfill \\
\end{gathered} \)

Biên độ của bụng sóng là:

\({a_{\max }} = 2A = 2.2 = 4\,\,\left( {cm} \right)\)

Bề rộng của một bụng sóng là:

\(L = 2{a_{\max }} = 2.4 = 8\,\,\left( {cm} \right)\)

Chọn A.

Khi bụng sóng có kích thước 4a thì biên độ A_max = 2a.

Hai điểm dao động cùng biên độ, cùng pha gần nhất đối xứng nhau qua một điểm bụng.

Áp dụng công thức \(a = 2a.\cos \frac{{2\pi x}}{\lambda }\)

Vì hai điểm đó cách nhau 20cm nên x = 1 cm.

Ta có :

\(\begin{array}{l}
a = 2a.\cos \frac{{2\pi x}}{\lambda } \Rightarrow \cos \frac{{2\pi .10}}{\lambda } = \frac{1}{2}\\
\Rightarrow \frac{{2\pi .10}}{\lambda } = \frac{\pi }{3} \Rightarrow \lambda = 60cm
\end{array}\)

Điều kiện để có sóng dừng trên dây hai đầu cố định là :

\(l = k.\frac{\lambda }{2} \Rightarrow 120 = k.\frac{{60}}{2} \Rightarrow k = 4.\)

Với k = 4 là số bụng sóng.

Chọn A.

A và B dao động ngược pha => A và B nằm ở hai bó sóng cạnh nhau

Khoảng cách gần nhất giữa AB là λ/2 = 20cm => λ = 40cm

Gọi A_b là biên độ của bụng sóng. Khoảng cách xa nhất giữa A và B là:

\(2\sqrt{{{10}^{2}}+A_{b}^{2}}=10\sqrt{5}\Rightarrow {{A}_{b}}=5cm\)

C cách A 35cm => C cách nút sóng gần nó nhất đoạn d = 5cm

Biên độ dao động tại C: \({{A}_{C}}\text{=A}\sin \frac{2\pi d}{\lambda }=2,5\sqrt{2}cm\)

Thời điểm ban đầu v_A = 50πcm/s và thời điểm t = T/4 có v_A = \(-50\pi \sqrt{3}\)cm/s được biểu diễn như hình vẽ

Ta có: \({{\left( \frac{50\pi }{\omega A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{50\pi \sqrt{3}}{\omega A} \right)}^{2}}=1\Rightarrow \omega =20\pi (rad/s)\Rightarrow T=0,1s\)

Phương trình dao động của ba điểm A, B, C là :

            \({{x}_{A}}=5\cos (20\pi t-\frac{\pi }{6})cm\)

\({{x}_{B}}=5\cos (20\pi t-\frac{\pi }{6}+\pi )cm=5\cos (20\pi t+\frac{5\pi }{6})cm\)

\({{x}_{C}}=2,5\sqrt{2}\cos (20\pi t-\frac{\pi }{6}-\frac{2\pi .35}{40})cm=2,5\sqrt{2}\cos (20\pi t-\frac{23\pi }{12})cm\)

Ba điểm A, B, C thằng hàng khi

\({{x}_{B}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{C}}}{2}\Rightarrow {{x}_{A}}+{{x}_{C}}-2{{x}_{B}}=0\Rightarrow x=2,5\sqrt{2}\text{cos(20}\pi \text{t +}\frac{7\pi }{12})=0\)

Trong 1 chu kỳ x = 0 hai lần

Sau thời gian t =  1009T có 2018 lần x = 0 và đi tới vị trí ban đầu

Thời điểm x = 0 lần thứ 2019 là  1009T+ \(\frac{11}{24}T\) = 100,945s

Chọn D

Vì A là điểm nút nên u_A = 0

Khoảng cách ngắn nhất giữa A và B là khi điểm B dao động qua VTCB.

Khi đó \(AB=\frac{\lambda }{4}=\sqrt{144}=12cm\Rightarrow \lambda =48cm\) ở thời điểm t = 0,05s

Khoảng cách lớn nhất giữa A và B là khi B dao động cực đại (là điểm bụng). Khi đó :

            \(AB=\sqrt{{{\left( \frac{\lambda }{4} \right)}^{2}}+{{A}^{2}}}=\sqrt{169}=13cm\)

=> Biên độ dao động ở bụng sóng : A = 5cm

N có vị trí cân bằng là trung điểm AB nên vị trí cân bằng của N cách A đoạn d = AB/2 = 6cm

Biên độ dao động tại N là : \({{a}_{N}}=\left| {{A}_{b}}\text{cos}\frac{2\pi d}{\lambda } \right|=\left| \text{5cos}\frac{2\pi 6}{48} \right|=2,5\sqrt{2}cm\)

Thời gian ngắn nhất từ lúc điểm B ở VTCB đến khi tới biên là T/4 = 0,05s => T = 0,2s

Tần số góc của dao động \(\omega =\frac{2\pi }{T}=10\pi rad/s\)

Gia tốc lớn nhất của N là a_max  = ω²a_N = \({{10}^{2}}{{\pi }^{2}}.2,5\sqrt{2}=250{{\pi }^{2}}\sqrt{2}cm/{{s}^{2}}=2,5{{\pi }^{2}}\sqrt{2}m/{{s}^{2}}\)

Chọn C

Sóng dừng trên dây với 3 bụng sóng, chiều dài dây là:

\({\rm{l = k}}\dfrac{\lambda }{2} \Rightarrow 60 = 3.\dfrac{\lambda }{2} \Rightarrow \lambda  = 40\,\,\left( {cm} \right)\)

Biên độ dao động của điểm bụng là: \({a_{\max }} = 2{a_0}\)

Biên độ dao động của điểm M là:

\({a_M} = 2{a_0}\sin \dfrac{{2\pi d}}{\lambda } = \dfrac{2}{3}.2{a_0} \Rightarrow \sin \dfrac{{2\pi d}}{\lambda } = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{2\pi d}}{\lambda } \approx 0,73 \Rightarrow d \approx 4,65\,\,\left( {cm} \right)\)

Khoảng cách từ điểm M tới bụng gần nhất là:

\(d' = \dfrac{\lambda }{4} - d = \dfrac{{40}}{4} - 4,65 = 5,35\,\,\left( {cm} \right)\)

Vậy để hai điểm M, N gần nhất, chúng đối xứng nhau qua nút → điểm P là nút sóng có biên độ dao động bằng 0.

Chọn D.

Số nút sóng \(3 + 2 = 5\) \( \Rightarrow \) Số bụng sóng \(k = 4\)

\(l = 40cm = 0,4m = 4\dfrac{\lambda }{2} \Rightarrow \lambda  = 0,2m = 20cm\)

Ta có: \({v_{max}} = 1,5\pi  = \omega {A_b} \Rightarrow {A_b} = 0,03m = 3cm\)

Xét hai tử dây tại 2 điểm bụng gần nhau nhất trong quá trình dao động

+ Khoảng cách nhỏ nhất của hai phần tử dây tại 2 điểm bụng gần nhau nhất trong quá trình dao động: \(y = 10cm\) (khi 2 điểm ở vị trí cân bằng)

+ Khoảng cách lớn nhất của hai phần tử dây tại 2 điểm bụng gần nhau nhất trong quá trình dao động: \(x = \sqrt {{{10}^2} + {6^2}}  = 2\sqrt {34} cm\) (khi 2 điểm ở vị trí biên)

\( \Rightarrow \) Tỉ số \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{{2\sqrt {34} }}{{10}} = 1,17\)

Chọn A

Khoảng cách gần nhất giữa hai điểm của hai bó sóng cạnh nhau có cùng biên độ là:

\(2x = 2 \Rightarrow x = 1\,\,\left( {cm} \right)\)

Biên độ của 2 điểm đó là:

\({A_M} = {A_{bung}}.\left| {\sin \dfrac{{2\pi x}}{\lambda }} \right| \Rightarrow 1 = 2.\left| {\sin \dfrac{{2\pi .1}}{\lambda }} \right| \Rightarrow \lambda  = 12\,\,\left( {cm} \right)\)

Tốc độ truyền sóng trên dây là:

\(v = \lambda f = 12.5 = 60\,\,\left( {cm/s} \right) = 0,6\,\,\left( {m/s} \right)\)

Chọn D.

Biên độ của điểm có sóng tới và sóng phản xạ lệch pha nhau \( \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \) là:

\({A_P} = \sqrt {{A^2} + {A^2} + 2.A.A.cos\left( { \pm \dfrac{\pi }{3}} \right)}  = A\sqrt 3 \)

Hai điểm gần nhau nhất dao động ngược pha khi chúng đối xứng qua nút sóng \( \Rightarrow x = \dfrac{a}{2}\)

Biên độ của điểm cách nút sóng khoảng x là:

\({A_P} = {A_{bung}}.\left| {\sin \dfrac{{2\pi x}}{\lambda }} \right| \Rightarrow A\sqrt 3  = 2A.\left| {\sin \dfrac{{2\pi .\dfrac{a}{2}}}{\lambda }} \right| \Rightarrow \lambda  = 3a\)

Số bó sóng trên dây là: \(n = \dfrac{{2{\rm{l}}}}{\lambda } = \dfrac{{2.9a}}{{3a}} = 6\)

Ta có hình vẽ:

Hai điểm M, N xa nhất dao động cùng pha khi điểm M nằm trên bó sóng thứ 1, điểm N nằm trên bó sóng thứ 5

Biên độ dao động của điểm M và N là:

\({A_M} = {A_{bung}}.\left| {\sin \dfrac{{2\pi x}}{\lambda }} \right| \Rightarrow \dfrac{{{A_{bung}}}}{2} = {A_{bung}}.\left| {\sin \dfrac{{2\pi x}}{\lambda }} \right| \Rightarrow x = \dfrac{\lambda }{{12}}\)

Khoảng cách MN là:

\(MN = {\rm{l}} - \dfrac{\lambda }{2} - 2.x = 9a - \dfrac{{3a}}{2} - 2.\dfrac{a}{4} = 7a\)

Chọn C.

Các điểm trong khoảng MN luôn dao động với biên độ lớn hơn \(2\sqrt 2 \,\,cm\) → M và N đối xứng qua bụng sóng

Biên độ dao động của điểm M là:

\(\begin{array}{l}{A_M} = {A_{bung}}.\left| {\cos \dfrac{{2\pi y}}{\lambda }} \right| \Rightarrow 2\sqrt 2  = 4.\left| {\cos \dfrac{{2\pi y}}{{30}}} \right|\\ \Rightarrow y = 3,75\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Do M, N đối xứng qua bụng sóng, khoảng cách MN là:

\(MN = 2y = 2.3,75 = 7,5\,\,\left( {cm} \right)\)

Chọn C.

Khoảng cách giữa hai điểm N và B là:

\(NB = \dfrac{\lambda }{4} = 25 \Rightarrow \lambda  = 100\,\,\left( {cm} \right)\)

Biên độ tại điểm C là:

\(\begin{array}{l}{A_M} = {A_{bung}}.\left| {\cos \dfrac{{2\pi .BC}}{\lambda }} \right| \Rightarrow {A_B}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = {A_B}.\left| {\cos \dfrac{{2\pi .BC}}{\lambda }} \right|\\ \Rightarrow \left| {\cos \dfrac{{2\pi .BC}}{\lambda }} \right| = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left| {\cos \dfrac{{2\pi .BC}}{{100}}} \right| = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BC = \dfrac{{25}}{3} = \dfrac{{50}}{6}\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Chọn B.