Bài 1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Đề bài

Xét hình 1. Hãy chứng minh hệ thức (3) (là \(bc=ah)\) bằng tam giác đồng dạng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng trường hợp đồng dạng góc góc rồi suy ra tỉ lệ cạnh và hệ thức cần tìm.

Lời giải chi tiết

Xét hai  tam giác vuông \(AHB\) và \(CAB\) có góc \(B\) chung nên \( \Delta ABH \backsim \Delta CBA\) (g-g)

Suy ra \(\dfrac{AB}{BC}=\dfrac {AH}{AC}\) \(\Rightarrow AB.AC=AH.BC\) hay \(b.c=a.h\) (đpcm)

Đề bài

Hãy tính \(x\) và \(y\) trong hình dưới đây:

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Tính độ dài cạnh huyền.

+) Sử dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền. Biết hình chiếu và cạnh huyền ta tính được cạnh góc vuông.

  \(b^2=a.b',\ c^2=a.c'\)

Lời giải chi tiết

Đặt tên các đỉnh như hình vẽ:

Đề bài

Hãy tính \(x\) và \(y\) trong hình sau:

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Sử dụng hệ thức liên quan đến đường cao và hình chiếu  \(h^2=b'.c'\). Biết \(h,\ c'\) tính được \(b'\).

+) Tính độ dài cạnh huyền: \(a=b'+c'\).

+) Sử dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền \(b^2=b'.a\). Biết \(a,\ b'\) tính được \(b\).

Đề bài

Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là \(1\) và \(2\). Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Tính cạnh huyền: \(a=b' +c'\).

+) Dùng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền \(b^2=b'.a;\ c^2=c'.a\), biết hình chiếu \(b',\ c'\) và cạnh huyền \(a\), tính được \(a,\ b\).

Lời giải chi tiết

Đề bài

Tìm \(x\) và \(y\) trong mỗi hình sau:

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Dùng hệ thức liên quan đến đường cao và hình chiếu \(h^2=b'.c'\), biết \(b',\ c'\) tính được \(h\).

b) +) Dùng hệ thức liên quan đến đường cao và hai cạnh góc vuông \(\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\) để tính \(y\).

Đề bài

Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH, biết \(AB = 15cm, BH = 9cm.\)

a. Tính AC, BC và đường cao AH

b. Gọi M là trung điểm của BC. Tính diện tích tam giác AHM

Lời giải chi tiết

a. Ta có: ∆ABC vuông tại A, đường cao AH (gt)

\(A{B^2} = BC.BH\) (định lí 1) 

\( \Rightarrow BC = {{A{B^2}} \over {BH}}= {{{{15}^2}} \over 9} = 25\,\left( {cm} \right)\)

Theo định lí Pi-ta-go \(A{C^2} = B{C^2} - A{B^2}\)

Đề bài

Cho \(∆ABC\) vuông tại A, biết \({{AB} \over {AC}} = {2 \over 3},\) đường cao \(AH = 6cm\). Tính các cạnh của tam giác

Lời giải chi tiết

Ta có: \(∆AHB\) đồng dạng \(∆CHA\) (g.g) (vì có \(\widehat {BAH} = \widehat C\) (cùng phụ với \(\widehat B\) ))

\( \Rightarrow {{HA} \over {HC}} = {{AB} \over {AC}} = {2 \over 3} \)

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H là hình chiếu của B lên AC. Tính cạnh đáy BC của tam giác, biết \(AH = 7cm, HC = 2cm.\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(∆ABC\) cân tại A nên :

\(AB = AC = AH + HC = 7 + 2 = 9\)\(\; (cm)\)

Xét tam giác vuông AHB, ta có:

\(B{H^2} = A{B^2} - A{H^2}\) (định lí Pi-ta-go)

\( = {9^2} - {7^2} = 32\)

Xét tam giác vuông BHC, ta có:

\(B{C^2} = B{H^2} + C{H^2}\) (định lí Pi-ta-go)

Đề bài

Cho ∆ABC vuông tại A. Đường phân giác AD chia cạnh BC thành hai đoạn \(BD = 36cm\) và \(CD = 60cm\). Kẻ đường cao AH của tam giác .

a. Tính tỉ số \({{HB} \over {HC}}\)

b. Tính chiều cao AH.

Lời giải chi tiết

a. Ta có: AD là phân giác của ∆ABC nên:

\({{AB} \over {AC}} = {{DB} \over {DC}} = {{36} \over {60}} = {3 \over 5} \Rightarrow {{A{B^2}} \over {A{C^2}}} = {9 \over {25}}\)

Lại có: ∆ABC vuông tại A, đường cao AH nên:

Đề bài

Cho \(∆ ABC\) cân tại A. Vẽ các đường cao AH, BK. Chứng minh rằng:

\({1 \over {B{K^2}}} = {1 \over {B{C^2}}} + {1 \over {4A{H^2}}}\)

Lời giải chi tiết

Ta có: ∆ABC cân tại A, đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến \( \Rightarrow HB = HC = {{BC} \over 2}\) (1)

Kẻ \(HI ⊥ AC\), ta có HI là đường trung bình của ∆BKC

\( \Rightarrow HI = {{BK} \over 2}\) (2)

Lại có: ∆AHC vuông có đường cao HI.