Bài 4. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Đề bài

Vì sao một đường thẳng và một đường tròn không thể có nhiều hơn hai điểm chung?

Lời giải chi tiết

Nếu đường thẳng và đường tròn có nhiều hơn hai điểm chung thì khi đó đường tròn sẽ đi qua ít nhất ba điểm thẳng hàng. Điều này vô lí. Vậy một đường thẳng và một đường tròn không thể có nhiều hơn hai điểm chung.

Đề bài

Cho đường thẳng a và có một điểm O cách a là 3cm. Vẽ đường tròn tâm O bán kính 5cm.

a) Đường thẳng a có vị trí như thế nào đối với đường tròn (O) ? Vì sao ?

b) Gọi B và C là các giao điểm của đường thẳng a và đường tròn (O). Tính độ dài BC.

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng a cắt đường tròn (O) tại 2 điểm phân biệt, vì khoảng cách d< R  (3cm<5cm) 

b) Kẻ \(OH\bot BC\) tại H. 

Đề bài

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(A(3;4)\). Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn \((A;3)\) và các trục tọa độ.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho đường tròn \((O;R)\) và đường thẳng \(a\), gọi \(d=OH\) là khoảng cách từ \(a\) đến tâm \(O\). Khi đó:

+) \(a\) và \((O)\) không giao nhau nếu \(d > R\).

+) \(a\) và \((O)\) tiếp xúc nhau nếu \(d = R\);

Lời giải chi tiết

Đề bài

Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(6cm\) và một điểm \(A\) cách \(O\) là \(10cm\). Kẻ tiếp tuyến \(AB\) với đường tròn (\(B\) là tiếp điểm). Tính độ dài \(AB\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Sử dụng định lí Pytago: \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\) thì \(BC^2=AC^2+AB^2\).

Lời giải chi tiết

Đề bài

Cho ∆ABC vuông tại A có \(AB = 3cm, AC = 4cm\). Vẽ đường tròn tâm A bán kính 2,8cm. Hãy xác định vị trí tương đối của đường thẳng BC và đường tròn (A; 2,8cm)

Lời giải chi tiết

Kẻ \(AH ⊥ BC\). Trong tam giác vuông ABC, ta có:
\({1 \over {A{H^2}}} = {1 \over {A{B^2}}} + {1 \over {A{C^2}}}\) (định lí 4)

hay \({1 \over {A{H^2}}} = {1 \over {{3^2}}} + {1 \over {{4^2}}} = {{25} \over {144}}\)

Đề bài

Cho ∆ABC cân tại A, đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.

Lời giải chi tiết

Gọi O là tâm đường tròn đường kính AI. Hiển nhiên K thuộc (O) (vì \(\widehat {AKI} = 90^\circ \) )

∆ABC cân tại A có AH là đường cao (gt) nên AH đồng thời là đường trung tuyến \(⇒ HB = HC.\)

Xét ∆BKC vuông tại K có KH là đường trung tuyến nên \(KH = BH = {{BC} \over 2}\)