Bài 2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Đề bài

Hình chữ nhật ABCD có đường chéo AC = 5cm và cạnh BC = x (cm) thì cạnh \(AB = \sqrt {\left( {25 - {x^2}} \right)} \) (cm). Vì sao ? (h.2).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC.

Định lý Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Lời giải chi tiết

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại B có:

Đề bài

Với giá trị nào của \(a\) thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

a) \( \sqrt{\dfrac{a}{3}}\),         b) \(\sqrt{-5a}\);       c) \( \sqrt{4 - a}\);     d) \( \sqrt{3a + 7}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) \(\sqrt{A}\) xác định (hay có nghĩa) khi \(A\ge 0\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có:  \( \sqrt{\dfrac{a}{3}}\) có nghĩa khi \(\dfrac{a}{3}\geq 0\Leftrightarrow a\geq 0\)

b) Ta có: \(\sqrt{-5a}\) có nghĩa khi \(-5a\geq 0\Leftrightarrow a\leq \dfrac{0}{-5}\Leftrightarrow a\leq 0\)

Rút gọn các biểu thức sau: 

\(\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \)

Phương pháp giải:

+) Sử dụng hằng đẳng thức \( \sqrt{A^2}=\left| A \right| \).

+) Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối của số \(a\): Nếu \(a \ge 0\) thì \( \left| a \right| =a\). Nếu \( a< 0\) thì \( \left| a \right| = -a\). 

+) Sử dụng định lí so sánh các căn bậc hai số học: Với hai số \(a ,\ b\) không âm, ta có:

\[a< b \Leftrightarrow \sqrt{a}< \sqrt{b} \]

Lời giải chi tiết:

Chứng minh 

\((\sqrt{3}- 1)^{2}= 4 - 2\sqrt{3}\) 

Phương pháp giải:

+) Sử dụng hằng đẳng thức: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

+) Sử dụng công thức \((\sqrt{a})^2=a\), với \(a \ge 0\). 

+) Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối của số \(a\): Nếu \(a \ge 0\) thì \( \left| a \right| =a\). Nếu \( a< 0\) thì \( \left| a \right| = -a\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: VT=\({\left( {\sqrt 3  - 1} \right)^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - 2. \sqrt 3 .1 + {1^2}\)

\( = 3 - 2\sqrt 3  + 1\)

\(=(3+1)-2\sqrt 3 \)

Đề bài

Tìm x để mỗi căn thức sau có nghĩa:

a)\( \sqrt{2x + 7}\);                         c) \(\displaystyle \sqrt {{1 \over { - 1 + x}}} \)

b) \( \sqrt{-3x + 4}\)                      d) \( \sqrt{1 + x^{2}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) \(\sqrt A \) xác định (hay có nghĩa) khi \( A \ge 0 \).

+) Các tính chất của bất đẳng thức: 

     1) \(a < b \Leftrightarrow a.c < b.c\), nếu \(c > 0\).

     2) \(a< b \Leftrightarrow a.c > b.c\), nếu \(c <0\).

Đề bài

 Phân tích thành nhân tử:

a) \( x^{2}- 3\).                         b) \( x^{2}- 6\);

c) \( x^{2}\) + \( 2\sqrt{3}x + 3\);            d) \( x^{2}\) - \( 2\sqrt{5}x + 5\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Với \(a \ge 0\) ta luôn có: \(a={\left( {\sqrt a } \right)^2}\)

+) Sử dụng các hằng đẳng thức:

     1) \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)

     2) \({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)

Đề bài

Đố. Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh "Con muỗi nặng bằng con voi" dưới đây. 

Giả sử con muỗi nặng \(m\) (gam), còn con voi nặng \(V\) (gam). Ta có

                      \({m^2} + {V^2} = {V^2} + {m^2}\)

Cộng hai về với \(-2mV\), ta có

                      \({m^2} - 2mV + {V^2} = {V^2} - 2mV + {m^2},\)

hay                 \({\left( {m - V} \right)^2} = {\left( {V - m} \right)^2}\)

Đề bài

Bài 1. Tìm x để mỗi biểu thức sau có nghĩa :

a. \(A = \sqrt {x - 3}  - \sqrt {{1 \over {4 - x}}} \) 

b. \(B = {1 \over {\sqrt {x - 1} }} + {2 \over {\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}\)

Bài 2. Rút gọn biểu thức : \(A = \sqrt {11 - 6\sqrt 2 }  + 3 + \sqrt 2 \)

Bài 3. Tìm x, biết : 

a. \(\sqrt {{x^2}}  = 1\)

b. \(\sqrt {{x^2} - 2x + 1}  = 2\)

LG bài 1

Phương pháp giải:

Sử dụng: \(\sqrt A \) có nghĩa khi \(A\ge 0\)

Đề bài

Bài 1. Rút gọn : \(A = 3\sqrt 2  - \sqrt {6 - 4\sqrt 2 } \)

Bài 2. Cho biểu thức : \(P = \sqrt {9{x^2} - 6x + 1}  + 1 - 4x\)

Tìm \(x > 1\) sao cho \(P = -4\)

Bài 3. Tìm x để biểu thức sau có nghĩa : \(\sqrt {{{ - 3} \over {x - 5}}} \)

LG bài 1

Phương pháp giải:

Sử dụng \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: