55 bài tập dao động điều hòa mức độ vận dụng

Đáp án A

Phương pháp : Áp dụng công thức tính tốc độ trung bình

 \(\Delta t = {1 \over {15}} = {T \over 6}\)

Để tốc độ trung bình lớn nhất thì quãng đường đi được lớn nhất và bằng A = 12cm.

 \({v_{tb}} = {{12} \over {1/15}} = 180cm/s\)

Phương pháp: Sử dụng vòng tròn lượng giác

Sau 0,25s => góc quét ∆φ = ω.∆t = 2π.0,25 = π/2 (rad)

=> x = 2.cosπ/3 = 1cm

Phương pháp: Sử dụng vòng tròn lượng giác

=> Khi pha dao động bằng 2π/3 thì vật có li độ x = - 6.cos(π/3) = -3 cm

Phương trình dao động x = 5cos(πt + π/2) cm

=> Chu kì dao động T = 2π/ω = 2 s. => Thời gian t = 2,5 = T + T/4

=> Quãng đường vật đi được trong 2,5 s kể từ khi bắt đầu dao động là s = 4A + A = 5A = 25 cm

Do đó tốc độ trung bình trong khoảng thời gian đó là v_tb = s/t = 25/2,5  = 10 cm/s

=> Đáp án D

Cách 1: Dùng vòng tròn lượng giác

x = 4sin(5πt – π/6) = 4cos(5πt – 2π/3) cm

Sau 0,5s  => Góc quét ∆φ = ω.∆t = 5π.0,5 = 2,5π = 2π + π/2 (rad)

=> v = 20π.cos(π/3) = 10π cm/s

      a = - 100π²cos(π/6) = - 50π² cm/s²

Cách 2: Thay t vào phương trình của v và a

x = 4sin(5πt – π/6) cm 

\( \Rightarrow \left\{ \matrix{ v = x' = 20\pi c{\rm{os}}(5\pi t - \pi /6) \hfill \cr a = v' = - 100{\pi ^2}\sin (5\pi t - \pi /6) \hfill \cr} \right.\)

Ở thời điểm t = 0,5s: 

\( \Rightarrow \left\{ \matrix{ v = 20\pi c{\rm{os}}(5\pi .0,5 - \pi /6) = 10\pi (cm/s) \hfill \cr a = v' = - 100{\pi ^2}\sin (5\pi .0,5 - \pi /6) = - 50\sqrt 3 {\pi ^2}(cm/{s^2}) \hfill \cr} \right.\)

Phương pháp: v = x’

x = 5cos(πt + π/6) cm => v = x’ = –5πsin(πt + π/6) cm/s

Cách 1: Dùng vòng tròn lượng giác

Sau 0,25s  => Góc quét ∆φ = ω.∆t = 2π.0,25 = 0,5π (rad)

=> a = - 80.cos(π/3) = - 40 cm/s²

Cách 2:  Thay t vào phương trình của gia tốc

x = 2cos(2πt – π/6) cm => a = x’’ = - 80.cos(2πt – π/6) cm/s²

Thời điểm t = 0,25s => a = - 80.cos(2π.0,25 – π/6) = - 40 cm/s²

Phương pháp : Sử dụng vòng tròn lượng giác

+ Tại t = 0 : x = 2.cos(π/6) =  cm ; v = - 80π.cos(π/3) = - 40π cm/s

+ Sau 1/20 s => góc quét ∆φ = ω.∆t = 20π. (1/20) = π rad

                     => x = - 2. cos(π/6) = - cm; v =  80π.cos(π/3) = 125,6 cm/s

+ Phương trình của li độ và gia tốc: 

\(\left\{ \matrix{
x = Ac{\rm{os}}\left( {\omega t + \varphi } \right) \hfill \cr
a = - {\omega ^2}Ac{\rm{os}}\left( {\omega t + \varphi } \right) \hfill \cr} \right.\)

+ Từ đồ thị ta thấy: T/2 = 8ô, 1ô = 0,1s  T = 1,6s \( \Rightarrow \omega  = {{5\pi } \over 4}rad/s\)

+ Tại t = 0,3s có x = 0 \(\Leftrightarrow A\cos \left( {{{5\pi } \over 4}t + \varphi } \right) = 0 \Rightarrow \varphi  = {\pi  \over 8}rad\)

+ Tại t = 0,2s có x = 2cm \(\Leftrightarrow A\cos \left( {{{5\pi } \over 4}.0,2 + {\pi  \over 8}} \right) = 2 \Rightarrow A = 5,226cm\)

=> Phương trình của gia tốc:  \(a =  - {\left( {{{5\pi } \over 4}} \right)^2}.5,226.c{\rm{os}}\left( {{{5\pi } \over 4}t + {\pi  \over 8}} \right)\)

+ Tại t = 0,9s \( \Rightarrow a =  - {\left( {{{5\pi } \over 4}} \right)^2}.5,226.c{\rm{os}}\left( {{{5\pi } \over 4}.0,9 + {\pi  \over 8}} \right) = 0,57m/{s^2}\)

Chọn B

Theo đề bài ta có \(\frac{{{x_1}}}{{{v_1}}} + \frac{{{x_2}}}{{{v_2}}} = \frac{{{x_3}}}{{{v_3}}}\) , đạo hàm hai vế của phương trình trên ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{{v_1^2 - {a_1}{x_1}}}{{v_1^2}} + \frac{{v_2^2 - {a_2}{x_2}}}{{v_2^2}} = \frac{{v_3^2 - {a_3}{x_3}}}{{v_3^2}} \Leftrightarrow \frac{{v_1^2 + \omega _1^2x_1^2}}{{v_1^2}} + \frac{{v_2^2 + \omega _2^2x_2^2}}{{v_2^2}} = \frac{{v_3^2 + \omega _3^2x_3^2}}{{v_3^2}}\\ \Leftrightarrow 1 + \frac{{x_1^2}}{{\frac{{v_1^2}}{{\omega _1^2}}}} + \frac{{x_2^2}}{{\frac{{v_2^2}}{{\omega _2^2}}}} = \frac{{x_3^2}}{{\frac{{v_3^2}}{{\omega _3^2}}}} \Leftrightarrow 1 + \frac{{x_1^2}}{{A_1^2 - x_1^2}} + \frac{{x_2^2}}{{A_2^2 - x_2^2}} = \frac{{x_3^2}}{{A_3^2 - x_3^2}}(*)\end{array}\)

Theo đề bài cho A₁ = 5cm, A₂ = 10 cm, A₃ = 5\(\sqrt 2 \)  cm; tại thời điểm t ta có: \(\left| {{x_1}} \right| = 4cm;\left| {{x_2}} \right| = 8cm\)

Thay vào biểu thức (*) ta tính được x₀ = x₃ = 6,4(cm)

Ta có  giá trị đại số của a cực tiểu thì x = A 

Quãng đường vật đi được: S =  A/2 + A + 2.4A = 57cm

Thời gian vật đi: t = T/3 +2T = 7/3 s

Tốc độ trung bình là: v = S/t =24,43 cm/s

Ta có: A = 5 cm

 $$\omega  = {{2\pi } \over T} = \pi {\rm{  }}rad/s$$

Tại t=0:

$$\left\{ \matrix{ x = Ac{\rm{os}}\varphi = 0 \hfill \cr {\rm{v = - A}}\omega {\rm{sin}}\varphi > 0 \hfill \cr} \right. \to \left\{ \matrix{ {\rm{cos}}\varphi {\rm{ = 0}} \hfill \cr \sin \varphi < 0 \hfill \cr} \right. \to \varphi = - {\pi \over 2}$$

=>x = 5cos(πt – π/2)

Ta có:  \(\Delta t = {{5T} \over 6} = {T \over 2} + {T \over 3} \Rightarrow {S_{\min }} = 2A + {S_{\min T/3}}\)

=> Góc quét được trong khoảng thời gian T/3 là 2π/3.

Quãng đường vật đi được trong ½ chu kì là 2A.

+ Vật có v = 0 khi qua vị trí biên => Trong cùng một khoảng thời gian vật đi được quãng đường nhỏ nhất khi đi xung quanh vị trí biên. Biểu diễn trên đường lượng giác ta có: 

\( \Rightarrow {S_{\min {\rm{T/3}}}} = {A \over 2} + {A \over 2} = A \Rightarrow {S_{\min }} = 2A + {S_{\min T/3}} = 2A + A = 3A\)

Ta có:  \(\Delta t = {{3T} \over 4} = {T \over 2} + {T \over 4} \Rightarrow {S_{m{\rm{ax}}}} = 2A + {S_{\max T/4}}\)

=> Góc quét được trong khoảng thời gian T/4 là π/2.

Quãng đường vật đi được trong ½ chu kì là 2A.

Vật có tốc độ cực đại khi qua vị trí cân bằng. Trong cùng một khoảng thời gian vật đi được quãng đường lớn nhất khi đi xung quanh vị trí cân bằng. Biểu diễn trên đường tròn lượng giác:

\( \Rightarrow {S_{m{\rm{axT/4}}}} = {5 \over {\sqrt 2 }} + {5 \over {\sqrt 2 }} = 5\sqrt 2 cm \Rightarrow {S_{m{\rm{ax}}}} = 2A + {S_{\max T/4}} = 2A + {A \over {\sqrt 2 }} + {A \over {\sqrt 2 }} = 2A + A\sqrt 2 \)

Ta có: T = 2s, A = 6cm.

Tại t: 

\(\left\{ \matrix{
x = - 3cm \hfill \cr
v > 0 \hfill \cr} \right.\)

Tại vị trí gia tốc cực tiểu => x = A

Tốc độ trung bình:  \({v_{tb}} = {S \over t} = {{0,5A + 5{\rm{A}}} \over {{T \over {12}} + {{5T} \over 4}}} = {{5,5{\rm{A}}} \over {{{4T} \over 3}}} = 12,375cm/s\)

=> Chọn C

+ Gia tốc của vật cực đại tại vị trí biên âm \(\to {x_1} =  - A\).

Vật đi từ \({{\rm{x}}_1} \to {x_7}\) hết nửa chu kì, vậy \({{\rm{x}}_7} =  + A \to \) các vị trí liên tiếp các nhau ứng với góc quét \(30^\circ  \to \Delta {x_{\max }} = 0,5A = 5\,\,cm\).