Bài 9. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

LG a

Tính nhanh giá trị của biểu thức \(x^2 + 2x + 1 - y^2\) tại x = 94,5 và y = 4,5

Phương pháp giải:

Áp dụng: Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, phương pháp nhóm hạng tử.

\(1)\,{\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)

\(3)\,{A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(x^2 + 2x + 1 - y^2\) 

\( = \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - {y^2}\)

\(= (x + 1)^2-y^2\)

Đề bài

Chứng minh rằng \((5n + 2)^2- 4\) chia hết cho \(5\) với mọi số nguyên \(n\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng tính chất chia hết của một tích:

Nếu trong một tích các số nguyên có một thừa số chia hết cho một số nào đó thì tích cũng chia hết cho số đó.

Sử dụng: 

\({A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\) 

Lời giải chi tiết

Ta có :

\({(5n + 2)^2} - 4 \)

\(= {(5n + 2)^2} - {2^2}\)

\(= (5n + 2 - 2)(5n + 2 + 2)\)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

LG a

\({x^3} + {\rm{ }}2{x^2}y{\rm{ }} + {\rm{ }}x{y^2}-{\rm{ }}9x\);     

Phương pháp giải:

- Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm, hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung.

- Áp dụng hằng đẳng thức:

\(\eqalign{
& {\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2} \cr 
& {A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right) \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Tính nhanh giá trị của đa thức:

LG a.

\(x^2+ \dfrac{1}{2}x+ \dfrac{1}{16}\) tại \(x = 49,75\); 

Phương pháp giải:

Phân tích các đa thức đó thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức rồi thay các giá trị tương ứng của \(x, y\) để tính giá trị của đa thức đó.

Lời giải chi tiết:

\(x^2+ \dfrac{1}{2}x+ \dfrac{1}{16}\) tại \(x = 49,75\)

Ta có: \(x^2+ \dfrac{1}{2}x+ \dfrac{1}{16} \)

\(= x^2+ 2 . x . \dfrac{1}{4} + \left ( \dfrac{1}{4} \right )^{2}\)

Đề bài

Chứng minh rằng \({n^3} - n\) chia hết cho \(6\) với mọi số nguyên \(n.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phân tích đa thức đã cho thành nhân tử, sau đó áp dụng tính chất: Một số chia hết cho \(2\) và \(3\) thì số đó chia hết cho \(6.\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \({n^3} - n = n({n^2} - 1) = n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\)

Với \(n ∈\mathbb Z\) thì \(n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\) là tích của ba số nguyên liên tiếp.