40 bài tập trắc nghiệm đường tiệm cận của đồ thị hàm số mức độ nhận biết, thông hiểu

Đường thẳng y = a là tiệm cận ngang của hàm số y = f(x) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = a\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = a\)

Hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang \(y = 1\\) và \(y = –1\).

Chọn B. 

Hàm số đã cho có giao \(2\) đường tiệm cận là \(I(–2;1)\)

Chọn đáp án D

Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang \(y = 0\).

Chọn đáp án A

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y =  - \infty \). Suy ra : \(x =  - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = 2\). Suy ra \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Đáp án B

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{3 - x}}{{x - 2}} =  - \infty  \Rightarrow x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Chọn C.

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{1 - 2x}}{{1 + x}}\) có 2 đường tiệm cận là \(x =  - 1;\,\,y =  - 2\)

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{{4 - {x^2}}}\) có 3 đường tiệm cận là \(x = 2;\,\,x =  - 2;\,\,y = 0\)

Đồ thị hàm số\(y = \dfrac{x}{{{x^2} - x + 9}}\) có 1 đường tiệm cận là \(y = 0\)

Đồ thị hàm số\(y = \dfrac{{x + 3}}{{5x - 1}}\) có 2 đường tiệm cận là \(x = \dfrac{1}{5};\,\,y = \dfrac{1}{5}\)

Chọn: B.

Vì \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0\) nên đường thẳng \(y=0\) (trục hoành \(Ox\)) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chọn D

Ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{x - 1}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{x - 1}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }} = - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} \frac{{x - 1}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} \frac{{x - 1}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }} = + \infty \end{array} \right.\)

Vậy \(x =  \pm 4\) là tiệm cận đồ thị hàm số đã cho.

Chọn A.

Vì \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=2;\)\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=2\) nên đường thẳng \(y=2\)là tiệm cận ngang của (C).

Chọn: A.

Ta có \(\underset{x\,\to \,2}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\,\to \,2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{x-2}=\infty \,\,\Rightarrow \,\,x=2\) là tiệm cận đứng của ĐTHS.

Chọn A

Ta có \(\underset{x\,\to \,\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\,\to \,\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{ax+b}{2x+c}=\frac{a}{2}\Rightarrow y=\frac{a}{2}\) là tiệm cận ngang của ĐTHS \(\Rightarrow \,\,\frac{a}{2}=2\Rightarrow a=4.\)

Và \(\underset{x\,\to \,-\,\frac{c}{2}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\,\to \,-\,\frac{c}{2}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ax+b}{2x+c}=\infty \Rightarrow x=-\frac{c}{2}\) là tiệm cận đứng của ĐTHS \(\Rightarrow \,\,-\frac{c}{2}=1\Rightarrow c=-\,2.\)

Vậy tổng \(a+c=4-2=2.\)

Chọn B.

Đồ thị hàm số \(y=\frac{ax+1}{bx-2}\) có hai đường tiệm cận là \(y=\frac{a}{b}\) (TCN) và \(x=\frac{2}{b}\) (TCĐ).

Yêu cầu bài toán tương đương với \(\frac{2}{b}=1;\,\,\frac{a}{b}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=1 \\  & b=2 \\ \end{align} \right..\)

Chọn A.

TXĐ: \(D=R\backslash \left\{ -2 \right\}\)

Ta có \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=3;\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-3\Rightarrow \) Đồ thị hàm số có hai TCN là \(y=3\) và \(y=-3\)

\(\underset{x\to {{\left( -2 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty ;\,\,\underset{x\to {{\left( -2 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có hai TCĐ là \(x=-2\).

Chọn D.

Ta có \(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-1}{x-1}=+\infty \) nên \({{d}_{1}}:x=1\) là tiệm cận đứng của \(\left( H \right).\)

Ta cũng có \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-1}{x-1}=2,\) nên \({{d}_{2}}:y=2\) là tiệm cận ngang của \(\left( H \right).\)

Giả sử \(M\left( {{x}_{0}};\frac{2{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}-1} \right).\) Ta có \(y'\left( x \right)=-\frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}},\) phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\) có dạng

\(y-y\left( {{x}_{0}} \right)=y'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)\Leftrightarrow y=-\frac{1}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{2{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}-1}\,\,\left( {{d}_{3}} \right).\)

Ta tìm được \({{d}_{1}}\cap {{d}_{3}}=B\left( 1;\frac{2{{x}_{0}}}{{{x}_{0}}-1} \right),{{d}_{2}}\cap {{d}_{3}}=A\left( 2{{x}_{0}}-1;2 \right).\) Giả sử \(I={{d}_{1}}\cap {{d}_{2}}\Rightarrow I\left( 1;2 \right).\) Tam giác tạo thành là tam giác vuông \(IAB\) vuông tại \(I.\) Ta tính được \(\overrightarrow{IA}=\left( 2{{x}_{0}}-2;0 \right),\,\overrightarrow{IB}=\left( 0;\frac{2}{{{x}_{0}}-1} \right)\Rightarrow IA=2\left| {{x}_{0}}-1 \right|,\,\,IB=\left| \frac{2}{{{x}_{0}}-1} \right|.\)

Diện tích tam giác \(IAB\) là \(S=\frac{1}{2}IA.IB=\frac{1}{2}.2\left| {{x}_{0}}-1 \right|.\left| \frac{2}{{{x}_{0}}-1} \right|=2.\)

Chọn đáp án D.

Làm tương tự câu 2 ta tìm được tiệm cận đứng là \({{d}_{1}}:x=2,\) tiệm cận ngang là \({{d}_{2}}:y=3.\) Giả sử \(M\left( {{x}_{0}};\frac{3{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}-2} \right).\) Khi đó ta tính được các khoảng cách \(d\left( M;{{d}_{1}} \right)=\left| {{x}_{0}}-2 \right|,\,\,d\left( M;{{d}_{2}} \right)=\left| \frac{3{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}-2}-3 \right|=\left| \frac{5}{{{x}_{0}}-2} \right|.\)

Do đó

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,d\left( {M;{d_1}} \right) + d\left( {M;{d_2}} \right) = 6 \Leftrightarrow \left| {{x_0} - 2} \right| + \frac{5}{{\left| {{x_0} - 2} \right|}} = 6 \Leftrightarrow {\left| {{x_0} - 2} \right|^2} - 6\left| {{x_0} - 2} \right| + 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\left| {{x_0} - 2} \right| - 1} \right)\left( {\left| {{x_0} - 2} \right| - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {{x_0} - 2} \right| = 1\\\left| {{x_0} - 2} \right| = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = 3\\{x_0} =  - 3\\{x_0} = 7\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( {1; - 2} \right)\\B\left( {3;8} \right)\\C\left( { -3;2} \right)\\D\left( {7;4} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn đáp án A.

Ta có: \(y=\frac{{{x}^{2}}-3x-4}{{{x}^{2}}-16}=\frac{\left( x+1 \right)\left( x-4 \right)}{\left( x-4 \right)\left( x+4 \right)}=\frac{x+1}{x+4}\).

Vậy đồ thị hàm số chỉ có \(1\)tiệm cận đứng \(x=-4\).

Đáp án C

Cách 1: Thử đáp án

Với \(m = 0\) ta có \(x = 0\) là nghiệm của đa thức \(2{x^2} - 3{\rm{x}}\) trên tử

\( \Rightarrow y = 2{\rm{x}} - 3\left( {x \ne 0} \right)\) không có tiệm cận đứng.

Với \(m = 1\) ta có \(x = 1\) là nghiệm của đa thức \(2{x^2} - 3{\rm{x + 1}}\) trên tử

\( \Rightarrow y = 2{\rm{x}} - 1\left( {x \ne 1} \right)\) không có tiệm cận đứng.

Cách 2: Chia đa thức

Để hàm số không có tiệm cận đứng thì tử số phải chia hết cho mẫu số

\( \Leftrightarrow 2{m^2} - 2m = 0 \Leftrightarrow m = 0\) hoặc \(m = 1\)

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là \(y = 1\)

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là \(x = 3\)

Giả sử \(M\left( {{x_0};\frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} - 3}}} \right)\)

Từ đề bài ta có phương trình

\(5\left| {{x_0} - 3} \right| = \left| {\dfrac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} - 3}} - 1} \right| \Leftrightarrow 5\left| {{x_0} - 3} \right| = \left| {\dfrac{5}{{{x_0} - 3}}} \right| \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 3} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 =  - 1\\x - 3 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = 4\end{array} \right.\)

Vậy ta có hai điểm thỏa mãn đề bài là \(\left( {2; - 4} \right)\) và \(\left( {4;6} \right)\)

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=-m\,\,\left( d \right),M\in d\Rightarrow 2=-m\Rightarrow m=-2.\)

Chọn B.

Ta có \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{{{x}^{2}}-mx+1}=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{x}-\frac{2}{{{x}^{2}}}}{1-\frac{m}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}=0\Rightarrow \) Đồ thị hàm số luôn có TCN y = 0 với mọi giá trị của m.

Để đồ thị hàm số có đúng 3 đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có 2 đường tiệm cận đứng

\(\Leftrightarrow \) phương trình \({{x}^{2}}-mx+1=0\) có hai nghiệm phân biệt khác 2

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta = {m^2} - 4 > 0\\
{2^2} - 2m + 1 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > 2\\
m < - 2
\end{array} \right.\\
m \ne \frac{5}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m > 2\\
m \ne \frac{5}{2}
\end{array} \right.\\
m < - 2
\end{array} \right.\)

Chọn A.