35 bài tập phương trình bậc hai với hệ số thực mức độ nhận biết

Phương trình: \({{z}^{2}}-(3-i)z+4-3i=0\)

Có: \(\Delta ={{\left( 3-i \right)}^{2}}-4(4-3i)=9-6i+{{i}^{2}}-16+12i\)

           \(=-8+6i=1+2.3i+9{{i}^{2}}={{\left( 1+3i \right)}^{2}}\)

       \(\Rightarrow \sqrt{\Delta }=\sqrt{{{\left( 1+3i \right)}^{2}}}=\left| 1+3i \right|\)

Phương trình có \(2\) nghiệm là: \({{z}_{1}}=\frac{3-i-1-3i}{2}=1-2i\);\({{z}_{2}}=\frac{3-i+1+3i}{2}=2+i\)

Chọn A

Ta có \({{z}^{2}}-z+4=0\Leftrightarrow {{z}^{2}}-2.z.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=-\,\frac{15}{4}\Leftrightarrow {{\left( z-\frac{1}{2} \right)}^{2}}={{\left( \frac{i\sqrt{15}}{2} \right)}^{2}}\Rightarrow \left[ \begin{align} z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{15}}{2}i \\  z=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{15}}{2}i \\ \end{align} \right..\)

Vậy số nghiệm phức có phần ảo dương là \(z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{15}}{2}i.\)

Chọn C

\({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}+z+1=0\) nên theo định lí Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{align}  & {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-\frac{b}{a}=-1 \\  & {{z}_{1}}{{z}_{2}}=\frac{c}{a}=1 \\ \end{align} \right.\)

\(P=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-{{z}_{1}}{{z}_{2}}={{\left( -1 \right)}^{2}}-1=0\)

Chọn C

Sử dụng MTCT ta tính được nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình trên là \(z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\Rightarrow \left\{ \begin{align}  a=\frac{1}{2} \\  b=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{align} \right.\Rightarrow a+\sqrt{3}b=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2\)

Chọn A.

Ta có \(2{{z}^{2}}+6z+5=0\,\,\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{z}_{1}}=-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}i \\  & {{z}_{2}}=-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i \\ \end{align} \right.\).

Vậy \({{z}_{1}}+3{{z}_{2}}=-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}i+3\left( -\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i \right)=-\,6-i.\)

Chọn C

\({z_1} = 2 + 3i,\,\,{z_2} = 3 - 2i \Rightarrow {z_1}.{z_2} = \left( {2 + 3i} \right).\left( {3 - 2i} \right) = 6 - 4i + 9i - 6{i^2} = 6 - 4i + 9i + 6 = 12 + 5i\)

Chọn: C

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {2 - 3i} \right)\left( {2 + 3i} \right) = 13\\\left( {2 - 3i} \right) + \left( {2 + 3i} \right) = 4\end{array} \right.\).

Vậy hai số phức \(2 + 3i\) và \(2 - 3i\) là nghiệm của phương trình \({z^2} - 4z + 13 = 0\).

Chọn C.

\(z = 1 - i \Rightarrow {z^2} = {\left( {1 - i} \right)^2} =  - 2i\), có điểm biểu diễn là: \(N\left( {0; - 2} \right)\).

Chọn: D

Phương trình \(\left( {z - \sqrt 3 i} \right)\left( {z + \sqrt 3 i} \right) = 0 \Leftrightarrow {z^2} + 3 = 0\) nhận được hai số phức \( - \sqrt 3 i\) và \(\sqrt 3 i\) là nghiệm.

Chọn: B

\({z^2} - 2z + 10 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + 3i\\z = 1 - 3i\end{array} \right.\)

Vậy số phức \(z\) có phần ảo dương thỏa mãn \({z^2} - 2z + 10 = 0\) là \(z = 1 + 3i\).

Chọn A

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a,b,c \in \mathbb{R}} \right)\) có hai nghiệm phức phân biệt khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\{b^2} - 4ac < 0\end{array} \right.\)

Chọn C

\({z^2} - 3z + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i\\{z_2} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i\end{array} \right. \Rightarrow \left| {{z_1}^2} \right| = {\left| {{z_2}} \right|^2} = 3\).

Vậy \({\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 6\)

Chọn C

\(\begin{array}{l}{z^2} - 6z + 25 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 3 + 4i\\{z_2} = 3 - 4i\end{array} \right. \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 5\\ \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + {z_1}.{z_2} = 5 + 5 + \left( {3 + 4i} \right)\left( {3 - 4i} \right) = 10 + 25 = 35\end{array}\)

Chọn D.

Phương trình \(3{z^2} - 2z + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{{\sqrt {35} }}{3}i\\{z_2} = \dfrac{1}{3} - \dfrac{{\sqrt {35} }}{3}i\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 2\).

Vậy \(M = 2\left| {{z_1}} \right| - 3\left| {{z_2}} \right| = 2.2 - 3.2 =  - 2.\)

Chọn C.

\({z^2} + 4z + 13 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} =  - 2 - 3i\\{z_2} =  - 2 + 3i\end{array} \right.\).

Chọn B.