120 bài tập phép đối xứng trục

Các từ có trục đối xứng là "H, A, T, U".

Chọn A.

Gọi \(A’\) là ảnh của A qua phép đối xứng trục d. Gọi d’ là đường thẳng đi qua A và vuông góc với d, khi đó phương trình d’ có dạng: x + 2y + c = 0.

Vì \(A\in d’\) nên \(4+2\left( -3 \right)+c=0\Rightarrow c=2\). Khi đó \(\left( d' \right):x+2y+2=0\)

Gọi \(H=d\cap d'\Rightarrow H\left( -\frac{2}{5};-\frac{4}{5} \right)\Rightarrow \) H là trung điểm của AA’. Khi đó

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A}\\{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2.\left( { - \frac{2}{5}} \right) - 4 =  - \frac{{24}}{5}\\{y_{A'}} = 2\left( { - \frac{4}{5}} \right) + 3 = \frac{7}{5}\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - \frac{{24}}{5};\frac{7}{5}} \right)\)

Chọn B.

\(\left\{ \begin{align} {{x}_{G}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3}=\frac{1+2+3}{3}=2 \\ {{y}_{G}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3}=\frac{3-4-2}{3}=-1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow G\left( 2;-1 \right)\Rightarrow G'\left( 2;1 \right)\) right)\)

Chọn B.

Phương pháp:

Lấy hai điểm bất kì thuộc \(d\) và cho đối xứng qua \(Ox\) ta được hai điểm mới.

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm này ta được phương trình cần tìm.

Cách giải:

Xét hai điểm \(A\left( 0;3 \right),B\left( -\frac{3}{2};0 \right)\in d\).

Ảnh của \(A,B\) qua phép đối xứng trục \(Ox\) là \(A'\left( 0;-3 \right),B'\left( -\frac{3}{2};0 \right)\).

\(\overrightarrow{A'B'}=\left( -\frac{3}{2};3 \right)\) nên \(d'\) nhận \(\overrightarrow{n}=\left( 2;1 \right)\)  làm véc tơ pháp tuyến.

Phương trình \(d':2\left( x-0 \right)+1\left( y+3 \right)=0\Leftrightarrow 2x+y+3=0\).

Chọn A.

Hình thoi có 2 trục đối xứng.

Hình vuông có 4 trục đối xứng.

Elip có 2 trục đối xứng

Hình tròn có vô số trục đối xứng là các đường thẳng đi qua tâm.

Chọn D.

Đường tròn (C) có tâm I(5; 1), bán kính \(R=\sqrt{25+1-23}=\sqrt{3}\).

Ảnh của (C) qua phép đối xứng trục d là đường tròn có tâm là ảnh của I qua phép đối xứng trục d và có bán kính bằng \(\sqrt{3}\).

Gọi I’ là ảnh của I qua phép đối xứng trục d. Gọi d’ là đường thẳng đi qua I và vuông góc với d ta có phương trình d’ có dạng x + y + c = 0.

\(I\in d'\Rightarrow 5+1+c=0\Rightarrow c=-6\Rightarrow \left( d' \right):x+y-6=0\)

Gọi \(H=d\cap d'\Rightarrow H\left( 2;4 \right)\) là trung điểm của II’, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = 2{x_H} - {x_I}\\{y_{I'}} = 2{y_H} - {y_I}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = 2.2 - 5 =  - 1\\{y_{I'}} = 2.4 - 1 = 7\end{array} \right. \Rightarrow I'\left( { - 1;7} \right)\)

Vậy phương trình đường tròn (C’) là \({{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-7 \right)}^{2}}=3\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-14y+47=0\)

Chọn B.

Phép đối xứng trục không bào toàn hướng của vector.

Chọn A.

\(\left( C \right):\,\,y=\left| x \right|=\left[ \begin{align} x\,\,khi\,\,x\ge 0\,\,\,\,\,\,\left( {{d}_{1}} \right) \\ -x\,\,khi\,\,x<0\,\,\,\left( {{d}_{2}} \right) \\ \end{align} \right.\)

\({{d}_{1}}\cap \left( x=1 \right)=A\left( 1;1 \right)\)

Lấy \(B\left( 2;2 \right)\in {{d}_{1}}\Rightarrow \) đường thẳng đi qua B và vuông góc với \(\left( x=1 \right)\) có phương trình y = 2.

Gọi H là giao điểm của đường thẳng x = 1 và y = 2 \(\Rightarrow H\left( 1;2 \right)\)

Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua đường thẳng x = 1 \(\Rightarrow H\) là trung điểm của BB’ \(\Rightarrow B'\left( 0;2 \right)\)

\(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng AB’ là \(\frac{x-1}{0-1}=\frac{y-1}{2-1}\Leftrightarrow -x+1=y-1\Leftrightarrow x+y=2\)

\(\Rightarrow x+y=2\) là đường thẳng đối xứng với đường thẳng y = x qua đường thẳng x = 1.

\({{d}_{2}}\cap \left( x=1 \right)=C\left( 1;-1 \right)\)

Lấy \(D\left( 0;0 \right)\in {{d}_{2}}\Rightarrow \) Đường thẳng đi qua D và vuông góc với đường thẳng x = 1 có phương trình y = 0.

Gọi K là giao điểm của đường thẳng x = 1 và y = 0 \(\Rightarrow K\left( 1;0 \right)\)

Gọi D’ là điểm đối xứng với D qua đường thẳng x = 1 \(\Rightarrow K\) là trung điểm của DD’ \(\Rightarrow D'\left( 2;0 \right)\)

\(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(CD’\) là : \(\frac{x-1}{2-1}=\frac{y+1}{0+1}\Leftrightarrow x-1=y+1\Leftrightarrow x-y=2\)

\(\Rightarrow x-y=2\) là đường thẳng đối xứng với đường thẳng \(y=-x\) qua đường thẳng \(x=1\)

\( \Rightarrow \left( {C'} \right):\,\,\left[ \begin{array}{l}x + y = 2\\x - y = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y =  - x + 2\\y = x - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow y = \left| {x - 2} \right|\)

Chọn D.

Gọi B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng với A qua trục Ox và đường thẳng y = x ta có : \(AB=BB',AC=CC’\)

Dễ thấy \(B'\left( 2;-1 \right)\)

AC’ là đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng y = x nên có phương trình x + y – 3 = 0.

Gọi H là giao điểm của đường thẳng y = x và x + y – 3 = 0 \(\Rightarrow H\left( \frac{3}{2};\frac{3}{2} \right)\) là trung điểm của AC’ \(\Rightarrow C'\left( 1;2 \right)\)

Chu vi tam giác ABC

\(\begin{align} C=AB+BC+CA=B'B+BC+CC'\ge B'C' \\ \Rightarrow {{C}_{\min }}=B'C'\Leftrightarrow B=Ox\cap B'C',\,\,C=\left( y=x \right)\cap B'C' \\ \end{align}\)

Phương trình B’C’ :

\(\frac{x-2}{1-2}=\frac{y+1}{2+1}\Leftrightarrow -x+2=\frac{y+1}{3}\Leftrightarrow -3x+6=y+1\Leftrightarrow 3x+y-5=0\)

\(\Rightarrow B\left( \frac{5}{3};0 \right),C\left( \frac{5}{4};\frac{5}{4} \right)\)

Chọn B.

Trong một tam giác, điểm đối xứng của trực tâm H qua một cạnh của nó thì nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Đây là một kiến thức cơ bản. Tuy nhiên ta có thể chứng minh lại bài toán này như sau:

Kẻ các đường cao AM, BN, CP và gọi D là điểm đối xứng của H qua BC.

Ta có tứ giác ANHP là một tứ giác nội tiếp, suy ra: \(\widehat{PAN}+\widehat{PHN}={{180}^{o}}\) hay \(\widehat{BAC}+\widehat{BHC}={{180}^{o}}\).

Mặt khác, có D là điểm đối xứng của H qua BC nên \(\widehat{BDC}=\widehat{BHC}\).

Do đó: \(\widehat{BAC}+\widehat{BDC}={{180}^{o}}\).

Suy ra D nằm trên đường tròn (O) ngoại tiếp \(\Delta ABC\).

Chọn D.

Gọi \(A\left( {{x}_{0}};\ 0 \right)\) là giao điểm của \(\Delta \) và \(Ox\Rightarrow A\left( 2;\ 0 \right).\)

Đường thẳng \(\Delta '\) đối xứng với \(\Delta \) qua trục hoành \(\Rightarrow A\in \Delta '\)  

Phương trình đường thẳng \(\Delta '\) đi qua \(A\) và có hệ số góc \(k\) là: \(y=k\left( x-2 \right)\Leftrightarrow kx-y-2k=0\)  

Gọi \(B\left( 1;\ 1 \right)\in \Delta \Rightarrow B'\left( 1;-k \right)\in \Delta '\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(Ox\)  

\(\Rightarrow d\left( {B;\;Ox} \right) = d\left( {B';\;Ox} \right) \Leftrightarrow \left| k \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
k = - 1 \Rightarrow \Delta ':\;\; - x - y + 2 = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 = 0\;\;\;\left( {ktm} \right)\\
k = 1 \Rightarrow \Delta ':\;x - y - 2 = 0\;\;\left( {tm} \right)\;
\end{array} \right.\)

Chọn B.

Ảnh của đường tròn \(\left( C \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) bán kính \(R = 2\) qua phép đối xứng trục Ox là: \(\left( C \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\) có tâm \(I'\left( {1;2} \right)\) bán kính \(R = 2\).

Chọn: C

Có duy nhất 1 đường thẳng (d) thỏa mãn điều kiện phép đối xứng trục (d) biến \(\left( \Delta  \right)\) thành \(\left( {\Delta '} \right)\) là \(\left( d \right):\,\,x - y - 2 = 0\).

Chọn B.

Do \(ABCD\) nên hai đường chéo \(AC \bot BD\) và \(AC \cap BD\) tại trung điểm của mỗi đường.

\( \Rightarrow AC\) là trung trực của \(BD \Rightarrow \) Đ\(_{AC}\left( D \right) = B\).

Chọn C

Cách 1: Gọi Đ\(_\Delta \left( M \right) = M'.\)

Bước 1: Dựng phương trình đường thẳng \(d'\) qua M và vuông góc với \(d\).

\( \Rightarrow d':\,\,x + y + c = 0\).

Thay \(M:\,\,2 + 3 + c = 0 \Leftrightarrow c =  - 5 \Rightarrow t:\,\,x + y - 5 = 0\).

Bước 2: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên \(d \Rightarrow H = d \cap d'\).

\( \Rightarrow H\,\,\left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\x + y - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{2}\\y = \frac{5}{2}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{5}{2};\frac{5}{2}} \right)\).

Bước 3: Do M, M’ đối xứng nhau qua \(d \Rightarrow H\) là trung điểm của MM’

\( \Leftrightarrow M'\,\,\left\{ \begin{array}{l}x' = 2{x_H} - {x_M}\\y' = 2{y_H} - {y_M}\end{array} \right. \Rightarrow M'\,\,\left\{ \begin{array}{l}x' = 2.\frac{5}{2} - 2 = 3\\y' = 2.\frac{5}{2} - 3 = 2\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( {3;2} \right)\).

Cách 2: Công thức giải nhanh: \(M' = M - 2nT\)

\(T = \frac{{x - y}}{{{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2 - 3}}{2} = \frac{{ - 1}}{2}\)

\( \Rightarrow M'\,\,\left\{ \begin{array}{l}x' = 2 - 2.1.\frac{{ - 1}}{2} = 3\\y' = 3 - 2.\left( { - 1} \right).\frac{{ - 1}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( {3;2} \right)\).

Chọn A