-
Lớp 12
-
Lớp 11
-
Lớp 10
- SGK Toán 10 - Đại Số và Hình Học Toán 10
- SGK Toán 10 nâng cao
- SGK Tiếng Anh 10
- SGK Tiếng Anh 10 Mới
- Văn mẫu 10
- Soạn văn 10 chi tiết
- Soạn văn 10 ngắn gọn
- Soạn văn 10 siêu ngắn
- Tác giả - Tác phẩm văn 10
- SGK Vật lý 10
- SGK Vật lý 10 nâng cao
- SGK Hóa học 10
- SGK Hóa học 10 nâng cao
- SGK Sinh học 10
- SGK Sinh học 10 nâng cao
-
Lớp 9
-
Lớp 8
-
Lớp 7
-
Lớp 6
- Lớp 5
- Lớp 4
- Lớp 3
- Lớp 2
- Lớp 1
- Thông tin tuyển sinh
35 bài tập trắc nghiệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số mức độ thông hiểu
Lớp:
Môn học:
Bài học:
Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Câu trắc nghiệm:
Câu hỏi 1
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 1 - 2\cos x - {\cos ^2}x\).
Phương pháp giải :
Tìm GTLN, GTNN của hàm số dạng \(y = f(g(x))\)
+ Đặt ẩn phụ \(t = g(x)\), tìm tập giá trị \(T\) của \(g(x)\)
+ Xét hàm số \(y = f(t)\) trên \(T\)
+ Từ đó suy ra GTLN , GTNN của hàm số đã cho.
Lời giải chi tiết :
Đặt \(t = \cos x\), ta có \(t \in [–1;1]\)
Xét \(f\left( t \right) = 1-2t-{t^2}\)
\(f'\left( t \right) = -2-2t < 0,\forall t \in \left( {-1;1} \right)\)
\( \Rightarrow f\left( t \right) \leqslant f\left( {-1} \right) = 2,\forall t \in \left[ {-1;1} \right]\)
Vậy GTLN của hàm số đã cho là \(2\)
Chọn A
Đáp án A:
\(2\)
Đáp án B:
\(3\)
Đáp án C:
\(0\)
Đáp án D:
\(5\)
Câu hỏi 2
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Gọi \(m,\,\,M\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \dfrac{1}{2}x - \sqrt {x + 2} \) trên đoạn \(\left[ { - 1;34} \right]\). Tính tổng \(S = 3m + M\).
Phương pháp giải :
- Tính đạo hàm \(y'\) và tìm nghiệm của phương trình \(y' = 0\) thuộc \(\left[ { - 1;34} \right]\).
- Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và tại điểm là nghiệm của phương trình \(y' = 0\) thuộc \(\left[ { - 1;34} \right]\).
- So sánh các giá trị này và kết luận GTNN, GTLN.
Lời giải chi tiết :
TXĐ : \(D = \left[ { - 2; + \infty } \right)\).
Ta có : \(y' = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{2\sqrt {x + 2} }} = \dfrac{{\sqrt {x + 2} - 1}}{{2\sqrt {x + 2} }}\).
Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x + 2} - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \sqrt {x + 2} = 1 \Leftrightarrow x = - 1 \in \left[ { - 1;34} \right]\).
Lại có : \(y\left( { - 1} \right) = - \dfrac{3}{2},y\left( {34} \right) = 11\) nên \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;34} \right]} y = y\left( { - 1} \right) = - \dfrac{3}{2};\,\,M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;34} \right]} y = y\left( {34} \right) = 11\).
Vậy \(3m + M = 3.\left( { - \dfrac{3}{2}} \right) + 11 = \dfrac{{13}}{2}\).
Chọn A.
Đáp án A:
\(S = \dfrac{{13}}{2}\)
Đáp án B:
\(S = \dfrac{{63}}{2}\)
Đáp án C:
\(S = \dfrac{{25}}{2}\)
Đáp án D:
\(S = \dfrac{{11}}{2}\)
Câu hỏi 3
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} - 2x + 1}}{{x + 2}}\) trên đoạn\(\left[ {0;3} \right]\) bằng
Phương pháp giải :
Để tìm GTNN, GTLN của hàm số \(f\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), ta làm như sau:
- Tìm các điểm \({x_1};{x_2};...;{x_n}\) thuộc khoảng \(\left( {a;b} \right)\) mà tại đó hàm số \(f\) có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
- Tính \(f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right);\,\,f\left( a \right);\,f\left( b \right)\)
- So sánh các giá trị vừa tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của \(f\) trên \(\left[ {a;b} \right]\); số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của \(f\) trên \(\left[ {a;b} \right]\).
Lời giải chi tiết :
\(y = \dfrac{{{x^2} - 2x + 1}}{{x + 2}}\), \(x \in \left[ {0;3} \right]\)
Ta có: \(y' = \dfrac{{\left( {2x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x^2} + 4x - 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left[ {0;3} \right]\\x = - 5 \notin \left[ {0;3} \right]\end{array} \right.\)
Hàm số đã cho liên tục trên \(\left[ {0;3} \right]\), có: \(y\left( 0 \right) = \dfrac{1}{2},y\left( 1 \right) = 0,\,y\left( 3 \right) = \dfrac{4}{5}\,\,.\)
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = \dfrac{4}{5}\).
Chọn D.
Đáp án A:
\(0\).
Đáp án B:
\(\dfrac{1}{2}\).
Đáp án C:
\(\dfrac{3}{2}\).
Đáp án D:
\(\dfrac{4}{5}\).
Câu hỏi 4
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^2} + \dfrac{2}{x}\) trên đoạn \(\left[ {\dfrac{1}{2};2} \right]\) bằng:
Phương pháp giải :
- Tính \(f'\left( x \right)\), giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) và xác định các nghiệm \({x_i} \in \left[ {\dfrac{1}{2};2} \right]\).
- Tính \(f\left( {\dfrac{1}{2}} \right),\,\,f\left( 2 \right),\,\,f\left( {{x_i}} \right)\).
- Kết luận: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\dfrac{1}{2};2} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( {\dfrac{1}{2}} \right);\,\,f\left( 2 \right);\,\,f\left( {{x_i}} \right)} \right\}\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\dfrac{1}{2};2} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( {\dfrac{1}{2}} \right);\,\,f\left( 2 \right);\,\,f\left( {{x_i}} \right)} \right\}\).
Lời giải chi tiết :
Hàm số đã cho xác định trên \(\left[ {\dfrac{1}{2};2} \right]\).
Ta có \(y' = 2x - \dfrac{2}{{{x^2}}} = \dfrac{{2\left( {{x^3} - 1} \right)}}{{{x^2}}}\), \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \left[ {\dfrac{1}{2};2} \right]\).
Ta có \(y\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{{17}}{4};\,\,y\left( 2 \right) = 5,\,\,y\left( 1 \right) = 3\).
Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\dfrac{1}{2};2} \right]} y = y\left( 2 \right) = 5,\,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ {\dfrac{1}{2};2} \right]} y = y\left( 1 \right) = 3\).
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\dfrac{1}{2};2} \right]} y.\mathop {\min }\limits_{\left[ {\dfrac{1}{2};2} \right]} y = 5.3 = 15\).
Chọn B.
Đáp án A:
\(\dfrac{{84}}{4}\)
Đáp án B:
\(15\)
Đáp án C:
\(\dfrac{{51}}{4}\)
Đáp án D:
\(8\)
Câu hỏi 5
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = - 2{x^4} + 4{x^2} + 10\) trên đoạn \(\left[ {0;\,\,2} \right]\) bằng:
Phương pháp giải :
Cách 1:
+) Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;\;b} \right]\) bằng cách:
+) Giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_i}.\)
+) Tính các giá trị \(f\left( a \right),\;f\left( b \right),\;\;f\left( {{x_i}} \right)\;\;\left( {{x_i} \in \left[ {a;\;b} \right]} \right).\) Khi đó:
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\},\;\;\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\}.\)
Cách 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên \(\left[ {a;\;b} \right].\)
Lời giải chi tiết :
Xét hàm số \(f\left( x \right) = - 2{x^4} + 4{x^2} + 10\) trên \(\left[ {0;\,\,2} \right]\) ta có:
\(f'\left( x \right) = - 8{x^3} + 8x\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) = - 8{x^3} + 8x = 0\) \( \Leftrightarrow 8x\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\, \in \left[ {0;\,\,2} \right]\\x = 1\,\, \in \left[ {0;\,\,2} \right]\\x = - 1\,\, \notin \left[ {0;\,\,2} \right]\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 10\\f\left( 1 \right) = 12\\f\left( 2 \right) = - 6\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{\left[ {0;\,\,2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 12.\)
Chọn C.
Đáp án A:
\(6\)
Đáp án B:
\(8\)
Đáp án C:
\(12\)
Đáp án D:
\(4\)
Câu hỏi 6
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;\,\,3} \right]\) bằng:
Phương pháp giải :
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {a;\,\,b} \right]\,\,\,\left( {a < b} \right)\) thì \(\mathop {Min}\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} f\left( x \right) = f\left( a \right).\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {a;\,\,b} \right]\,\,\,\left( {a < b} \right)\) thì \(\mathop {Min}\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} f\left( x \right) = f\left( b \right).\)
Lời giải chi tiết :
Xét hàm số \(y = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;\,\,3} \right]\) ta có:
\(y' = \dfrac{{1 + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \in \left[ {0;\,\,3} \right]\)
\( \Rightarrow \) Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left[ {0;\,\,3} \right].\)
\( \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;\,\,3} \right]} \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}} = y\left( 0 \right) = - 1.\)
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\,\,3} \right]} y = - 1.\)
Chọn A.
Đáp án A:
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\,\,3} \right]} y = - 1\)
Đáp án B:
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\,\,3} \right]} y = 1\)
Đáp án C:
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\,\,3} \right]} y = \dfrac{1}{2}\)
Đáp án D:
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\,\,3} \right]} y = - 3\)
Câu hỏi 7
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Xét các khẳng định sau:
i. Nếu giá trị nhỏ nhất của hàm đa thức bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) bằng \(m\) thì có số thực \({x_1}\) thỏa mãn \(f\left( {{x_1}} \right) = m,\,\,f\left( x \right) > m\,\,\forall x \in \left( { - \infty ; + \infty } \right)\backslash \left\{ {{x_1}} \right\}\).
ii. Nếu giá trị nhỏ nhất của hàm đa thức bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) bằng \(m\) thì có số thực \({x_1}\) thỏa mãn \(f\left( {{x_1}} \right) = m,\,\,f\left( x \right) \ge m\,\,\forall x \in \left( { - \infty ; + \infty } \right)\backslash \left\{ {{x_1}} \right\}\).
iii. Nếu giá trị lớn nhất của hàm đa thức bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) bằng \(M\) thì có số thực \({x_2}\) thỏa mãn \(f\left( {{x_2}} \right) = M,\,\,f\left( x \right) < M\,\,\forall x \in \left( { - \infty ; + \infty } \right)\backslash \left\{ {{x_2}} \right\}\).
iv. Nếu giá trị lớn nhất của hàm đa thức bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) bằng \(M\) thì có số thực \({x_2}\) thỏa mãn \(f\left( {{x_2}} \right) = M,\,\,f\left( x \right) \le M\,\,\forall x \in \left( { - \infty ; + \infty } \right)\backslash \left\{ {{x_2}} \right\}\).
Số khẳng định đúng là:
Phương pháp giải :
Dựa vào khái niệm GTLN, GTNN của hàm số.
Lời giải chi tiết :
Có hai khẳng định đúng là:
ii. Nếu giá trị nhỏ nhất của hàm đa thức bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) bằng \(m\) thì có số thực \({x_1}\) thỏa mãn \(f\left( {{x_1}} \right) = m,\,\,f\left( x \right) \ge m\,\,\forall x \in \left( { - \infty ; + \infty } \right)\backslash \left\{ {{x_1}} \right\}\).
iv. Nếu giá trị lớn nhất của hàm đa thức bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) bằng \(M\) thì có số thực \({x_2}\) thỏa mãn \(f\left( {{x_2}} \right) = M,\,\,f\left( x \right) \le M\,\,\forall x \in \left( { - \infty ; + \infty } \right)\backslash \left\{ {{x_2}} \right\}\).
Chọn D.
Đáp án A:
\(4\)
Đáp án B:
\(3\)
Đáp án C:
\(1\)
Đáp án D:
\(2\)
Câu hỏi 8
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + x + 3}}{{x - 2}}\) trên \(\left[ { - 2;\,\,1} \right].\) Giá trị của \(M + m\) bằng:
Phương pháp giải :
Cách 1:
+) Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;\;b} \right]\) bằng cách:
+) Giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_i}.\)
+) Tính các giá trị \(f\left( a \right),\;f\left( b \right),\;\;f\left( {{x_i}} \right)\;\;\left( {{x_i} \in \left[ {a;\;b} \right]} \right).\) Khi đó:
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\},\;\;\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\}.\)
Cách 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên \(\left[ {a;\;b} \right].\)
Lời giải chi tiết :
Xét hàm số: \(y = \dfrac{{{x^2} + x + 3}}{{x - 2}}\) trên \(\left[ { - 2;\,\,1} \right]\) ta có:
\(y' = \dfrac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) - {x^2} - x - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{2{x^2} - 3x - 2 - {x^2} - x - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)\( = \dfrac{{{x^2} - 4x - 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)
\( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 5 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 \in \left[ { - 2;\,\,1} \right]\\x = 5\,\, \notin \left[ { - 2;\,\,1} \right]\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y\left( { - 2} \right) = - \dfrac{5}{4}\\y\left( { - 1} \right) = - 1\\y\left( 1 \right) = - 5\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \mathop {Min}\limits_{\left[ { - 2;\,\,1} \right]} y = - 5\\M = \mathop {Max}\limits_{\left[ { - 2;\,\,1} \right]} y = - 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow M + m = - 1 - 5 = - 6.\)
Chọn C.
Đáp án A:
\( - 5\)
Đáp án B:
\( - \dfrac{9}{4}\)
Đáp án C:
\( - 6\)
Đáp án D:
\( - \dfrac{{25}}{4}\)
Câu hỏi 9
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = x + \sqrt {8 - {x^2}} \) bằng:
Phương pháp giải :
Cách 1:
+) Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;\;b} \right]\) bằng cách:
+) Giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_i}.\)
+) Tính các giá trị \(f\left( a \right),\;f\left( b \right),\;\;f\left( {{x_i}} \right)\;\;\left( {{x_i} \in \left[ {a;\;b} \right]} \right).\) Khi đó:
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\},\;\;\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\}.\)
Cách 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên \(\left[ {a;\;b} \right].\)
Lời giải chi tiết :
Xét hàm số: \(f\left( x \right) = x + \sqrt {8 - {x^2}} \) ta có: TXĐ: \(D = \left[ { - 2\sqrt 2 ;\,\,2\sqrt 2 } \right]\)
\(f'\left( x \right) = 1 - \dfrac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 1 - \dfrac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }} = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {8 - {x^2}} - x = 0 \Leftrightarrow \sqrt {8 - {x^2}} = x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\8 - {x^2} = {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\2{x^2} = 8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = 2 \in \left[ { - 2\sqrt 2 ;\,\,2\sqrt 2 } \right]\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 2\sqrt 2 } \right) = - 2\sqrt 2 \\f\left( 2 \right) = 4\\f\left( {2\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{\left[ { - 2\sqrt 2 ;\,\,\,2\sqrt 2 } \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 4.\end{array}\)
Chọn D.
Đáp án A:
\(2\sqrt 2 \)
Đáp án B:
\( - 2\sqrt 2 \)
Đáp án C:
\(8\)
Đáp án D:
\(4\)
Câu hỏi 10
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right) = \sqrt {x - 1} + \sqrt {5 - x} \) trên đoạn \(\left[ {1;5} \right]\).
Phương pháp giải :
- Tìm TXĐ của hàm số.
- Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\), tìm các nghiệm \({x_i} \in \left[ {1;5} \right]\).
- Tính các giá trị \(f\left( 1 \right),\,\,f\left( 5 \right),\,\,f\left( {{x_i}} \right)\).
- Kết luận: \(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( 1 \right);f\left( 5 \right);f\left( {{x_i}} \right)} \right\}\).
Lời giải chi tiết :
TXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\5 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le 5\end{array} \right. \Rightarrow D = \left[ {1;5} \right]\).
Ta có \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} - \dfrac{1}{{2\sqrt {5 - x} }} = \dfrac{{\sqrt {5 - x} - \sqrt {x - 1} }}{{2\sqrt {x - 1} .\sqrt {5 - x} }}\).
Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {5 - x} = \sqrt {x - 1} \) \( \Leftrightarrow 5 - x = x - 1\) \( \Leftrightarrow 2x = 6\) \( \Leftrightarrow x = 3 \in \left[ {1;5} \right]\).
Mặt khác \(f\left( 1 \right) = 2,\,\,f\left( 3 \right) = 2\sqrt 2 ,\,\,f\left( 5 \right) = 2\).
Vậy \(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = 2\sqrt 2 \).
Chọn C.
Đáp án A:
\(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( x \right) = 3\sqrt 2 \)
Đáp án B:
\(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( x \right) = \sqrt 2 \)
Đáp án C:
\(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( x \right) = 2\sqrt 2 \)
Đáp án D:
\(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( x \right) = 2\)
Câu hỏi 11
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \left| {x - 3} \right|\sqrt {x + 1} \) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\). Tính\(M + 2N\).
Phương pháp giải :
- Tìm TXĐ của hàm số.
- Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\), tìm các nghiệm \({x_i} \in \left[ {0;4} \right]\).
- Tính các giá trị \(f\left( 0 \right),\,\,f\left( 4 \right),\,\,f\left( {{x_i}} \right)\).
- Kết luận: \(\mathop {max}\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( 0 \right),\,\,f\left( 4 \right),\,\,f\left( {{x_i}} \right)} \right\},\,\,\mathop {min}\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( 0 \right),\,\,f\left( 4 \right),\,\,f\left( {{x_i}} \right)} \right\}\).
Lời giải chi tiết :
Hàm số xác định trên \(\left[ {0;4} \right]\).
Ta có: \(f\left( x \right) = \left| {x - 3} \right|\sqrt {x + 1} = \sqrt {\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 3} \right)}^2}} \).
Xét hàm số \(g\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){\left( {x - 3} \right)^2}\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) ta có:
\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = {\left( {x - 3} \right)^2} + \left( {x + 1} \right).2\left( {x - 3} \right)\\g'\left( x \right) = \left( {x - 3} \right)\left( {x - 3 + 2x + 2} \right)\\g'\left( x \right) = \left( {x - 3} \right)\left( {3x - 1} \right)\\g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 \in \left[ {0;4} \right]\\x = \dfrac{1}{3} \in \left[ {0;4} \right]\end{array} \right.\end{array}\)
Ta có: \(g\left( 0 \right) = 9,\,\,g\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{{256}}{{27}},\,\,g\left( 3 \right) = 0,\,\,f\left( 4 \right) = 5\).
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = \sqrt {g\left( {\dfrac{1}{3}} \right)} = \dfrac{{16\sqrt 3 }}{9}\\N = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = \sqrt {g\left( 0 \right)} = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M + 2N = \dfrac{{16\sqrt 3 }}{9}\).
Chọn A.
Đáp án A:
\(\dfrac{{16\sqrt 3 }}{9}\)
Đáp án B:
\(\dfrac{{256}}{{27}}\)
Đáp án C:
\(3\)
Đáp án D:
\(\sqrt 5 \)
Câu hỏi 12
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \dfrac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x - 4\) trên đoạn \(\left[ { - 4;0} \right]\) lần lượt là \(M\) và \(m\). Giá trị của tổng \(M + m\) bằng bao nhiêu?
Phương pháp giải :
- Tìm đạo hàm của hàm số và tìm nghiệm \(y' = 0\).
- Lập bảng biến thiên của hàm số trong khoảng yêu cầu.
- Dựa vào bảng biến thiên để kết luận GTLN, GTNN của hàm số.
Lời giải chi tiết :
Hàm số \(y = \dfrac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x - 4\) có TXĐ \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = {x^2} + 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 3\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên trên đoạn \(\left[ { - 4;0} \right]\):
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên đoạn \(\left[ { - 4;0} \right]\); hàm số có:
Giá trị lớn nhất \(M = - 4\); giá trị nhỏ nhất \(m = - \dfrac{{16}}{3}\).
Vậy \(M + m = - 4 - \dfrac{{16}}{3} = - \dfrac{{28}}{3}.\)
Chọn C.
Đáp án A:
\(M + m = - \dfrac{4}{3}\).
Đáp án B:
\(M + m = \dfrac{4}{3}\).
Đáp án C:
\(M + m = - \dfrac{{28}}{3}\).
Đáp án D:
\(M + m = - 4\).
Câu hỏi 13
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Kí hiệu \(m,\,\,M\) là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + 3}}{{x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\). Giá trị của \(m + M\) bằng:
Phương pháp giải :
- Tính đạo hàm của hàm số, sử dụng công thức \(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).
- Giải phương trình
\(y' = 0\), xác định các nghiệm \({x_i} \in \left[ {0;2} \right]\).
- Tính các giá trị \(y\left( 0 \right),\,\,y\left( 2 \right),\,\,y\left( {{x_i}} \right)\).
- Kết luận: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = \min \left\{ {y\left( 0 \right),\,\,y\left( 2 \right),\,\,y\left( {{x_i}} \right)} \right\}\), \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = \max \left\{ {y\left( 0 \right),\,\,y\left( 2 \right),\,\,y\left( {{x_i}} \right)} \right\}\).
Lời giải chi tiết :
ĐKXĐ: \(x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 1\), do đó hàm số xác định trên \(\left[ {0;2} \right]\).
\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{2x\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left[ {0;2} \right]\\x = - 3 \notin \left[ {0;2} \right]\end{array} \right.\end{array}\)
Ta có: \(y\left( 0 \right) = 3,\,\,y\left( 2 \right) = \dfrac{7}{3},\,\,y\left( 1 \right) = 2\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow m = \mathop {min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = y\left( 1 \right) = 2\\\,\,\,\,\,M = \mathop {max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = y\left( 0 \right) = 3\end{array}\)
Vậy \(m + M = 2 + 3 = 5\).
Chọn D.
Đáp án A:
\(2\)
Đáp án B:
\(20\)
Đáp án C:
\(8\)
Đáp án D:
\(5\)
Câu hỏi 14
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + \left( {{m^2} + 1} \right)x + {m^2} - 2\) với \(m\) là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {0;\,\,2} \right]\) bằng \(7.\)
Phương pháp giải :
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + \left( {{m^2} + 1} \right)x + {m^2} - 2\) trên \(\left[ {0;\,\,2} \right]\) ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + {m^2} + 1 > 0\,\,\,\forall m\)
\( \Rightarrow \) Hàm số đống biến trên \(\mathbb{R}\) \( \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;\,\,2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 7\)
Lời giải chi tiết :
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + \left( {{m^2} + 1} \right)x + {m^2} - 2\) trên \(\left[ {0;\,\,2} \right]\) ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + {m^2} + 1 > 0\,\,\,\forall m\)
\( \Rightarrow \) Hàm số đống biến trên \(\mathbb{R}.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;\,\,2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 7\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2 = 7\\ \Leftrightarrow {m^2} = 9\\ \Leftrightarrow m = \pm 3.\end{array}\)
Chọn D.
Đáp án A:
\(m = \pm 1\)
Đáp án B:
\(m = \pm \sqrt 7 \)
Đáp án C:
\(m = \pm \sqrt 2 \)
Đáp án D:
\(m = \pm 3\)
Câu hỏi 15
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên bên dưới. Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) khi \(x \in \left[ { - 3;3} \right]\). Giá trị \(M - 2m\) bằng:
Phương pháp giải :
Dựa vào BBT để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {a;\,\,b} \right]\,\,\,\left( {a < b} \right)\) thì \(\mathop {Min}\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} f\left( x \right) = f\left( a \right).\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {a;\,\,b} \right]\,\,\,\left( {a < b} \right)\) thì \(\mathop {Min}\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} f\left( x \right) = f\left( b \right).\)
Lời giải chi tiết :
Dựa vào BBT ta thấy: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {Max}\limits_{\left[ { - 3;\,\,3} \right]} f\left( x \right) = 4\,\,\,khi\,\,\,x = 3\\\mathop {Min}\limits_{\left[ { - 3;\,\,3} \right]} f\left( x \right) = - 3\,\,\,khi\,\,\,x = - 3\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M = 4\\m = - 3\end{array} \right. \Rightarrow M - 2m = 4 - 2.\left( { - 3} \right) = 10.\)
Chọn B.
Đáp án A:
\( - 2\)
Đáp án B:
\(10\)
Đáp án C:
\(6\)
Đáp án D:
\(f\left( 2 \right)\).
Câu hỏi 16
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \dfrac{1}{{x + 1}} + x\) trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\) bằng?
Phương pháp giải :
- Khảo sát hàm số trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\) và lập BBT của hàm số.
- Dựa vào BBT xác định GTNN của hàm số.
Lời giải chi tiết :
Hàm số \(y = \dfrac{1}{{x + 1}} + x\)xác định trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\).
Ta có : \(y' = - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + 1 = \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \ge 0,\,\,\forall x \in \)\(\left[ {0; + \infty } \right)\)
BBT:
Dựa vào BBT ta có: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} y = y\left( 0 \right) = 1\).
Chọn C.
Đáp án A:
\(\dfrac{9}{{10}}\).
Đáp án B:
\(3\).
Đáp án C:
\(1\).
Đáp án D:
\(\dfrac{8}{9}\).
Câu hỏi 17
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Đợt xuất khẩu gạo của tỉnh A thường kéo dài trong 2 tháng (60 ngày). Người ta nhận thấy số lượng xuất khẩu gạo tính theo ngày thứ t được xác định bởi công thức \(S\left( t \right) = {t^3} - 72{t^2} + 405t + 3100\,\,\left( {1 \le t \le 60} \right)\). Hỏi trong mấy ngày đó thì ngày thứ mấy có số lượng xuất khẩu gạo cao nhất?
Phương pháp giải :
Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN của hàm số trên một đoạn.
Lời giải chi tiết :
Ta có: \(S'\left( t \right) = 3{t^2} - 144t + 405\), \(S'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = 45\end{array} \right.\)
BBT:
Như vậy, ngày thứ 3 có số lượng xuất khẩu gạo cao nhất.
Chọn: C
Đáp án A:
\(1.\)
Đáp án B:
\(60.\)
Đáp án C:
\(3.\)
Đáp án D:
\(45.\)
Câu hỏi 18
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Hàm số nào dưới đây có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định?
Phương pháp giải :
Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty \) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } = - \infty \) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = - \infty \) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) không có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định.
Lời giải chi tiết :
Các hàm số đã cho đều có TXĐ:\(D = \mathbb{R}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} - 3x + 2} \right) = - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - 2{x^3} + 3{x^2} - 1} \right) = - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {{x^4} - 2{x^2} - 1} \right) = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( { - {x^4} + 4{x^2}} \right) = - \infty \end{array}\)
Do đó, hàm số có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định là \(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\).
Chọn C.
Đáp án A:
\(y = {x^3} - 3x + 2\)
Đáp án B:
\(y = - 2{x^3} + 3{x^2} - 1\)
Đáp án C:
\(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\)
Đáp án D:
\(y = - {x^4} + 4{x^2}\)
Câu hỏi 19
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Gọi \(M\) và \(m\) là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2{\sin ^2}x - \cos x + 1\). Khi đó, giá trị của tổng \(M + m\) bằng:
Phương pháp giải :
- Sử dụng công thức \({\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x\).
- Đặt ẩn phụ \(t = \cos x\), điều kiện \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\).
- Đưa hàm số về hàm số ẩn \(t\), tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\).
- Giải phương trình \(y' = 0\), xác định các nghiệm \({x_i} \in \left[ { - 1;1} \right]\).
- Tính các giá trị \(y\left( { - 1} \right),\,\,y\left( 1 \right),\,\,y\left( {{x_i}} \right)\).
- Kết luận: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = \min \left\{ {y\left( { - 1} \right);y\left( 1 \right);y\left( {{x_i}} \right)} \right\}\), \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = \max \left\{ {y\left( { - 1} \right);y\left( 1 \right);y\left( {{x_i}} \right)} \right\}\).
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,y = 2{\sin ^2}x - \cos x + 1\\ \Rightarrow y = 2\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) - \cos x + 1\\ \Rightarrow y = - 2{\cos ^2}x - \cos x + 3\end{array}\)
Đặt \(\cos x = t\,\,\,\,\left( { - 1 \le t \le 1} \right)\), hàm số trở thành: \(y = - 2{t^2} - t + 3.\)
Ta có: \(y' = - 4t - 1 = 0 \Rightarrow t = - \dfrac{1}{4}\,\,\,\left( {tm} \right)\).
Bảng biến thiên:
Từ BBT ta suy ra \(M = \dfrac{{25}}{8},\,\,m = 0\).
Vậy \(M + m = \dfrac{{25}}{8}\).
Chọn A.
Đáp án A:
\(\dfrac{{25}}{8}\)
Đáp án B:
\(\dfrac{{25}}{6}\)
Đáp án C:
\(\dfrac{{25}}{2}\)
Đáp án D:
\(\dfrac{{25}}{4}\)
Câu hỏi 20
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên các khoảng \(\left( {\infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\). Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) như hình vẽ dưới. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Phương pháp giải :
Lập BBT của hàm số từ đồ thị hàm số đã cho
Từ BBT, tìm các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn.
Lời giải chi tiết :
Từ đồ thị của hàm số đã cho ta có bảng biến thiên của hàm số như sau :
Từ BBT ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right);\,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;5} \right]} f\left( x \right) = f\left( 5 \right)\).
Chọn D.
Đáp án A:
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\)
Đáp án B:
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;5} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\)
Đáp án C:
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 3} \right)\)
Đáp án D:
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;5} \right]} f\left( x \right) = f\left( 5 \right)\)
Câu hỏi 21
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \dfrac{{x + {m^2}}}{{x - 1}}\) trên đoạn \(\left[ {2;3} \right]\) bằng \(11\).
Phương pháp giải :
Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên \(\left[ {2;3} \right]\) để tìm giá trị lớn nhất của hàm số.
Thay giá trị lớn nhất của hàm số để tìm \(m\).
Lời giải chi tiết :
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Suy ra hàm số đã cho xác định là liên tục trên đoạn \(\left[ {2;3} \right]\).
Ta có :
\(\begin{array}{l}y = f\left( x \right) = \dfrac{{x + {m^2}}}{{x - 1}}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{1\left( {x - 1} \right) - 1.\left( {x + {m^2}} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - \left( {{m^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D\end{array}\)
Suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định hay hàm số nghịch biến trên đoạn \(\left[ {2;3} \right]\).
Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow 11 = \dfrac{{2 + {m^2}}}{{2 - 1}} \Leftrightarrow {m^2} = 9 \Leftrightarrow m = \pm 3\).
Chọn C.
Đáp án A:
\(m = 3\)
Đáp án B:
\(m = \sqrt {19} \)
Đáp án C:
\(m = \pm 3\)
Đáp án D:
\(m = \pm \sqrt {19} \)
Câu hỏi 22
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ { - 1;3} \right]\) và có bảng biến thiên như sau
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\) là
Phương pháp giải :
Dựa vào BBT để xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho.
Lời giải chi tiết :
Từ BBT ta thấy GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ { - 1;3} \right]\) là \( - 2 \Leftrightarrow x = 2.\)
Chọn D.
Đáp án A:
\(1.\)
Đáp án B:
\(5.\)
Đáp án C:
\(2.\)
Đáp án D:
\( - 2.\)
Câu hỏi 23
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( x \right) < f\left( 0 \right)\,\,\,\forall x \in \left( { - 2;2} \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\) thì:
Phương pháp giải :
Khái niệm cực trị của hàm số: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên khoảng \(\left( {a;\,\,b} \right)\) và điểm \({x_0} \in \left( {a;\,\,b} \right).\)
+) Nếu tồn tại số \(h > 0\) sao cho \(f\left( x \right) < f\left( {{x_0}} \right)\) với mọi \(x \in \left( {{x_0} - h;\,\,{x_0} + h} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì ta nói hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực đại tại \({x_0}.\)
+) Nếu tồn tại số \(h > 0\) sao cho \(f\left( x \right) > f\left( {{x_0}} \right)\) với mọi \(x \in \left( {{x_0} - h;\,\,{x_0} + h} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì ta nói hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \({x_0}.\)
Lời giải chi tiết :
Ta có: \(f\left( x \right) < f\left( 0 \right)\,\,\forall x \in \left( { - 2;\,\,2} \right)\backslash \left\{ 0 \right\} \Rightarrow x = 0\) là điểm cực đại của hàm số \(y = f\left( x \right).\)
Chọn B.
Đáp án A:
\(x = 0\) là một điểm cực tiểu của hàm số đã cho.
Đáp án B:
\(x = 0\) là một điểm cực đại của hàm số đã cho.
Đáp án C:
Hàm số đã cho có giá trị nhỏ nhất trên tập số \(\mathbb{R}\) bằng \(f\left( 0 \right).\)
Đáp án D:
Hàm số đã cho có giá trị lớn nhất trên tập số \(\mathbb{R}\) bằng \(f\left( 0 \right).\)
Câu hỏi 24
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right].\)
Phương pháp giải :
Cách 1:
+) Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;\;b} \right]\) bằng cách:
+) Giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_i}.\)
+) Tính các giá trị \(f\left( a \right),\;f\left( b \right),\;\;f\left( {{x_i}} \right)\;\;\left( {{x_i} \in \left[ {a;\;b} \right]} \right).\) Khi đó:
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\},\;\;\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\}.\)
Cách 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên \(\left[ {a;\;b} \right].\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {a;\,\,b} \right]\,\,\,\left( {a < b} \right)\) thì \(\mathop {Min}\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} f\left( x \right) = f\left( a \right).\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {a;\,\,b} \right]\,\,\,\left( {a < b} \right)\) thì \(\mathop {Min}\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} f\left( x \right) = f\left( b \right).\)
Lời giải chi tiết :
Xét hàm số \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \) trên \(\left[ { - 1;\,\,1} \right].\)
Ta có: \(y' = \dfrac{{ - 2x}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }} = \dfrac{{ - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \in \left[ { - 1;\,\,1} \right]\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y\left( { - 1} \right) = \sqrt 3 \\y\left( 0 \right) = 4\\y\left( 1 \right) = \sqrt 3 \end{array} \right. \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ { - 1;\,\,1} \right]} y = \sqrt 3 \,\,\,\,khi\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\end{array} \right..\end{array}\)
Chọn A.
Đáp án A:
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = \sqrt 3 .\)
Đáp án B:
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = 0.\)
Đáp án C:
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = 2.\)
Đáp án D:
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = \sqrt 2 .\)
Câu hỏi 25
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\) Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ {0;10} \right]\) bằng
Phương pháp giải :
Hàm số y = f (x) đồng biến trên [a; b] thì \(\mathop {Min}\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} f\left( x \right) = f\left( a \right);\,\,\mathop {Max}\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} f\left( x \right) = f\left( b \right).\)
Lời giải chi tiết :
Ta có: \(f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \) hàm số đồng biến trên R.
\( \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{\left[ {0;\,\,10} \right]} f\left( x \right) = f\left( {10} \right).\)
Đáp án A.
Đáp án A:
\(f\left( {10} \right).\)
Đáp án B:
\(10.\)
Đáp án C:
\(f\left( 0 \right).\)
Đáp án D:
\(0.\)
Câu hỏi 26
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = - 3{x^2} - 2019.\) Với các số thực \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(a < b,\) giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;\,\,b} \right]\) bằng:
Phương pháp giải :
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {a;\,\,b} \right]\,\,\,\left( {a < b} \right)\) thì \(\mathop {Min}\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} f\left( x \right) = f\left( a \right).\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {a;\,\,b} \right]\,\,\,\left( {a < b} \right)\) thì \(\mathop {Min}\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} f\left( x \right) = f\left( b \right).\)
Lời giải chi tiết :
Ta có: \(f'\left( x \right) = - 3{x^2} - 2019 \le 0\,\,\,\forall x \Rightarrow \) hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên tập xác định.
\( \Rightarrow y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {a;\,\,b} \right] \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} f\left( x \right) = f\left( b \right).\)
Chọn C.
Đáp án A:
\(f\left( {\sqrt {ab} } \right)\)
Đáp án B:
\(f\left( a \right)\)
Đáp án C:
\(\left( b \right)\)
Đáp án D:
\(f\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)\)
Câu hỏi 27
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - {m^2}}}\)(\(m\) là tham số thực) thoả mãn \(\mathop {\min }\limits_{[ - 3; - 2]} = \dfrac{1}{2}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Lời giải chi tiết :
Ta có: \(y' = \dfrac{{ - {m^2} - 1}}{{{{\left( {x - {m^2}} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - \left( {{m^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {x - {m^2}} \right)}^2}}} < 0\,\,\,\forall x \ne {m^2}\).
Vì hàm số nghịch biến nên \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3; - 2} \right]} y = y\left( { - 2} \right) = \dfrac{1}{2}\).
\( \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2 + 1}}{{ - 2 - {m^2}}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow - 2 - {m^2} = - 2 \Leftrightarrow {m^2} = 0 \Leftrightarrow m = 0\).
Chọn B
Đáp án A:
\(3 < m \le 4\).
Đáp án B:
\( - 2 < m \le 3\).
Đáp án C:
\(m > 4\).
Đáp án D:
\(m \le - 2\).
Câu hỏi 28
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Một chất điểm chuyển động theo phương trình \(S\left( t \right) = - 2{t^3} + 18{t^2} + 2t + 1,\) trong đó \(t\) tính bằng giây \(\left( s \right)\) và \(S\left( t \right)\) tính bằng mét \(m\). Thời gian vận tốc chất điểm đạt giá trị lớn nhất là:
Lời giải chi tiết :
+ Ta có \(S\left( t \right) = - 2{t^3} + 18{t^2} + 2t + 1 \Rightarrow v\left( t \right) = S'\left( t \right) = - 6{t^2} + 36t + 2\).
+ \(v\left( t \right)\,\,\max \Leftrightarrow - 6{t^2} + 36t + 2\,\,\,\max \Leftrightarrow t = - \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{{36}}{{2.\left( { - 6} \right)}} = 3\,\,\left( s \right)\).
Chọn C
Đáp án A:
\(t = 5\left( s \right)\).
Đáp án B:
\(t = 6\left( s \right)\).
Đáp án C:
\(t = 3\left( s \right)\)
Đáp án D:
\(t = 1\left( s \right)\).
Câu hỏi 29
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Hàm số \(y = \dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x - 1\)đạt giá trị nhỏ nhấttrên [0;2] là:
Lời giải chi tiết :
Ta có \(y' = {x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = - 2\,\,\,\left( {loai} \right)\end{array} \right.\).
Ta có \(y\left( 1 \right) = - \dfrac{{13}}{6};\,\,\,y\left( 0 \right) = - 1;\,\,y\left( 2 \right) = - \dfrac{1}{3}\).
\( \Rightarrow {y_{\min }} = y\left( 1 \right) = - \dfrac{{13}}{6}\).
Chọn B
Đáp án A:
\(\dfrac{{ - 1}}{3}\)
Đáp án B:
\( - \dfrac{{13}}{6}\)
Đáp án C:
\( - 1\)
Đáp án D:
\( - 4\)
Câu hỏi 30
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 2\) trên đoạn \(\left[ { - 3;\,\,3} \right]\) bằng:
Phương pháp giải :
Cách 1:
+) Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;\;b} \right]\) bằng cách:
+) Giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_i}.\)
+) Tính các giá trị \(f\left( a \right),\;f\left( b \right),\;\;f\left( {{x_i}} \right)\;\;\left( {{x_i} \in \left[ {a;\;b} \right]} \right).\) Khi đó:
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\},\;\;\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\}.\)
Cách 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên \(\left[ {a;\;b} \right].\)
Lời giải chi tiết :
Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3\)
\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right..\)
Ta có: \(f\left( { - 3} \right) = - 16;\,\,\,f\left( { - 1} \right) = 4;\,\,f\left( 1 \right) = 0;\,\,\,f\left( 3 \right) = 20.\)
\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;\,\,3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = 20.\)
Chọn B.
Đáp án A:
\( - 16\)
Đáp án B:
\(20\)
Đáp án C:
\(0\)
Đáp án D:
\(4\)