55 bài tập trắc nghiệm khảo sát hàm số mức độ nhận biết, thông hiểu

+ Đồ thị hàm số có dạng chữ “N” \( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số bậc 3

+ Khi \(x \to  + \infty \) thì \(y \to  + \infty  \Rightarrow \) Hệ số của \({x^3}\) là dương

Từ hai kết luận trên ta thấy chỉ có hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) thỏa mãn

Chọn đáp án C

- Quan sát bảng biến thiên ta thấy:

+) \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y=2\) nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=-1\).

+) \(\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty ;\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty \) nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y=2\)

+ Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-1 \right)\) và \(\left( -1;+\infty \right)\).

Đáp án A: Đồ thị hàm số \(y=\frac{x+1}{2x-1}\) có tiệm cận đứng \(x=\frac{1}{2}\Rightarrow \) loại.

Đáp án B: Đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+1}\) có tiệm cận ngang \(y=2\) và tiệm cận đứng \(x=-1\).Lại có \(y'=\frac{2\left( x+1 \right)-2x+1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\frac{3}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}>0,\forall x\ne -1\) nên hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-1 \right)\) và \(\left( -1;+\infty \right)\Rightarrow \)thỏa mãn.

Đáp án C: \(y'=\frac{2\left( x+1 \right)-2x-3}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\frac{-1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}<0,\forall x\ne -1\) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-1 \right)\) và \(\left( -1;+\infty \right)\Rightarrow \)loại.

Đáp án D: Đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x-1}\) có tiệm cận đứng \(x=1\Rightarrow \) loại.Chọn B.

Từ đồ thị ta quan sát thấy \(y\left( 0 \right)=-1,y\left( 1 \right)=0\) do đó loại A và C.

Hàm số bậc ba nhận nghiệm của phương trình y’’=0 làm tâm đối xứng. Đồ thị đối xứng qua điểm A (1; 0) nên phương trình y’’=0 có nghiệm x = 1.

Đáp án D ta có: \(y'=3{{x}^{2}}\Rightarrow y''=6x=0\Leftrightarrow x=0\ne 1\Rightarrow \)D sai

Do đó chỉ có hàm số \(y={{\left( x-1 \right)}^{3}}\) thỏa mãn.

Chọn đáp án B.

+) Đáp án A: Ta có: \({\left( { - 2} \right)^4} - 2.{\left( { - 2} \right)^2} + 1 = 9 \ne 1 \Rightarrow \) loại đáp án A.

+) Đáp án B: \(1 - 2.1 + 1 = 0 \ne 1 \Rightarrow \) loại đáp án B.

+) Đáp án C: \(1 - 2.1 + 1 = 0 \ne 4 \Rightarrow \) loại đáp án C.

+) Đáp án D: \(0 - 2.0 + 1 = 1 \Rightarrow \) đáp án D đúng.

Chọn D.

Đáp án A: Đồ thị là dạng đồ thị hàm số bậc ba (có thể là đáp án đúng)

Đáp án B: Đồ thị là dạng đồ thị hàm phân thức nên loại B.

Đáp án C: Đồ thị là dạng đồ thị hàm số bậc hai hoặc bậc 4 trùng phương nên loại C.

Đáp án D: Đồ thị là dạng đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương nên loại D.

Đáp án A

A sai vì trên đoạn \(\left( {0;2} \right)\) vẫn có cực trị tại \(x = 1\)

C sai vì hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\) không phải cực tiểu

D sai vì ta chưa biết giá trị \(f\left( 0 \right)\) có bé hơn \(f\left( 2 \right)\)hay không

Dựa vào BBT ta thấy đồ thị hàm có TCĐ là \(x = 1\) và TCN là \(y =  - 1\)

\( \Rightarrow \) Loại đáp án B.

Hàm số đã cho là hàm số nghịch biến.

+) Xét đáp án A: \(y = \dfrac{{ - x + 3}}{{x - 1}}\) có \(y' = \dfrac{{1 + 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{4}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0\)

\( \Rightarrow \) Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định \( \Rightarrow \) Loại đáp án A.

+) Xét đáp án C: \(y = \dfrac{{ - x + 3}}{{x - 1}}\) có \(y' = \dfrac{{1 - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\)

\( \Rightarrow \) Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định \( \Rightarrow \) Loại đáp án C.

Chọn C.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có nét cuối đi lên \( \Rightarrow a > 0\)

\( \Rightarrow \) Loại đáp án B.

Hàm số có 3 điểm cực trị và \(a > 0\) \( \Rightarrow b < 0\) \( \Rightarrow \) Loại đáp án A.

Ta thấy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm \( \Rightarrow c < 0\) \( \Rightarrow \) Loại đáp án C.

Chọn D.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số cần tìm là hàm bậc 4

Nét cuối của hàm số đi xuống nên \(a > 0 \Rightarrow \) loại đáp án A và C.

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị \( \Rightarrow ab < 0 \Rightarrow \) loại đáp án B.

Chọn D.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt \( \Rightarrow \) Hàm số cần tìm là hàm số bậc ba \( \Rightarrow \) Loại đáp án D.

Ta thấy nét cuối của đồ thị hàm số đi lên \( \Rightarrow a > 0\) \( \Rightarrow \) Loại đáp án C.

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( { - 2;\,\,2} \right)\)

+) Xét đáp án A: Thay tọa độ điểm \(\left( { - 2;\,\,2} \right)\) và hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 2\) ta được:

\({\left( { - 2} \right)^3} + 3.{\left( { - 2} \right)^2} - 2 = 2\) (luôn đúng).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 2\) thỏa mãn.

+) Xét đáp án B: Thay tọa độ điểm \(\left( { - 2;\,\,2} \right)\) và hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 2\) ta được:

\({\left( { - 2} \right)^3} - 3.{\left( { - 2} \right)^2} - 2 =  - 22 \ne 2\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 2\) không thỏa mãn.

Chọn A.

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy đồ thị hàm số có TCĐ là \(x = 1 \Rightarrow \) loại đáp án C và D.

Đồ thị hàm số có TCN là \(y = 1 \Rightarrow \) loại đáp án B.

Chọn A.

+) Xét đáp án A: Ta thấy đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2 - 2x}}{{1 - x}} = \dfrac{{2\left( {1 - x} \right)}}{{1 - x}} = 2\;\;\left( {x \ne 1} \right) \Rightarrow \) đồ thị hàm số không có tâm đối xứng.

+) Xét đáp án B: Ta có: \(y' = 6{x^2} - 12x + 1 \Rightarrow y'' = 12x - 12 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

\( \Rightarrow y\left( 1 \right) = 2 - 6 + 1 + 1 =  - 2 \Rightarrow I\left( {1; - 2} \right)\) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Chọn B.

- Nét cuối cùng của đồ thị hàm số đi lên \( \Rightarrow a > 0\).

- Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có hoành độ âm nên \(c < 0\).

- Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị nên \(ab < 0\), mà \(a > 0\) nên \(b < 0\).

Vậy \(a > 0,\,\,b < 0,\,\,c < 0\).

Chọn B.

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\).

Dựa vào BBT, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) =  - \infty \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{b} = \dfrac{1}{2}\\ - \dfrac{c}{b} = 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{b}{2}\\c =  - 3b\end{array} \right.\)

Ta có: \(f\left( x \right) = \dfrac{{ax - 1}}{{bx + c}}\, \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{ac + b}}{{{{\left( {bx + c} \right)}^2}}}\).

Dựa vào BBT ta thấy \(f'\left( x \right) < 0\,\,\,\forall x \ne 3 \Leftrightarrow ac + b < 0\,\,\forall x \ne 3\)\( \Leftrightarrow \dfrac{b}{2}.\left( { - 3b} \right) + b < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b < 0\\b > \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\).

Chọn A.

Dựa vào BBT ta thấy hàm số có giá trị cực tiểu bằng \( - 2\).

Chọn D.

Hình vẽ là dạng đồ thị của hàm đa thức bậc ba: \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,\) suy ra loại đáp án C và D.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty \) nên \(a < 0\), do đó loại đáp án A.

Chọn B.

Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy:

+) Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị nên hàm số là hàm bậc 4, không thể là hàm bậc 3.

+) Hàm số nhận đường thẳng \(x = 0\) là trục đối xứng nên là hàm bậc 4 trùng phương, có dạng \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\).

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  + \infty \) nên \(a > 0.\)

+) Hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 1\) nên \(c =  - 1.\)

Do đó, hàm số có đồ thị như hình vẽ là \(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\).

Chọn D.

Nhận xét: Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là \(y = 1\) và tiệm cận đứng là \(x =  - 1\)

Đồ thị hàm số đi qua 2 điểm \(\left( {2;\,0} \right)\) và \(\left( {0;\, - 2} \right)\)

Đáp án C và D không  có tiệm cận đứng là \(x =  - 1\) Þ Lọai đáp án C và D

Xét đáp án A và B đều có tiệm cận đứng là \(x =  - 1\) và tiệm cận ngang là \(y = 1\).

Vì đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {2;\,0} \right)\) thay \(x = 2, y = 0\) vào hàm số thì chỉ có đáp án A thỏa mãn.

Chọn A.

Quan sát BBT ta thấy:

- Đồ thị hàm số có TCĐ \(x = 1\) nên loại đáp án A.

- Đồ thị hàm số có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = 1 \Rightarrow \)TCN \(y = 1\) nên loại đáp án C.

- Hàm số nghịch biến trên TXĐ nên loại đáp án B (do đáp án B có \(y' = \dfrac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \ne 1\)).

Chọn D.

Đồ thị hàm số có nét cuối cùng đi xuống nên \(a < 0\). Suy ra loại đáp án A.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên \(d < 0\).

Ta có \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c\).

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số có 2 điểm cực trị cùng dương nên \(\left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{{2b}}{{3a}} > 0\\\dfrac{c}{{3a}} > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b > 0\\c < 0\end{array} \right..\)

Chọn B.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty  \Rightarrow a < 0\).

\(y' = 3a{x^2} + 2bx + c\).

Dựa vào BBT ta thấy hàm số có hai điểm cực trị \({x_1} =  - 1,\,\,{x_2} = 2\) nên phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(S = {x_1} + {x_2} = 1 > 0\), \(P = {x_1}{x_2} =  - 2 < 0\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {b^2} - 3ac > 0\\S = \dfrac{{ - 2b}}{{3a}} > 0\\P = \dfrac{c}{{3a}} < 0\end{array} \right.\).

Mà \(a < 0\) nên \(b > 0\) và \(c > 0\).

Dựa vào BBT ta thấy tại điểm \(x = 0\) thì \(y > 0\), do đó \(d > 0\).

Vậy trong 4 hệ số a, b, c, d chỉ có 1 số âm.

Chọn A.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(f'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\), do đó \(f'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {1;2} \right)\) \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\)\( \Rightarrow \frac{{2a + b}}{{2c + d}} = 3\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\) có TXĐ \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\} \Rightarrow \) \( - c + d = 0 \Leftrightarrow c = d\).

Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) đi qua điểm \(\left( {0; - 3} \right)\) \( \Rightarrow \frac{{ad - bc}}{{{d^2}}} =  - 3\).

\( \Rightarrow \frac{{ad - bd}}{{{d^2}}} =  - 3 \Leftrightarrow a - b =  - 3d =  - 3c\).

Lại có \(\frac{{2a + b}}{{2c + d}} = 3 \Leftrightarrow \frac{{2a + b}}{{2c + c}} = 3\) \( \Leftrightarrow 2a + b = 9c\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a - b =  - 3c\\2a + b = 9c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2c\\b = 5c\end{array} \right.\)\( \Rightarrow y = \frac{{2cx + 5c}}{{cx + c}}\).

Vậy \(y\left( { - 2} \right) = \frac{{ - 4c + 5c}}{{ - 2c + c}} =  - 1\).

Chọn D.

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x + b}}{{cx + d}}\) có \(\left\{ \begin{align}& \xrightarrow{TCN}y=\dfrac{2}{c}=2\Rightarrow c=1 \\  & \xrightarrow{TCD}x=-\dfrac{d}{c}=-\dfrac{d}{1}=-1\Rightarrow d=1 \\ \end{align} \right.\)

Hàm số có dạng \(y = \dfrac{{2x + b}}{{x + 1}}\left( C \right)\).

Ta có điểm \(\left( {0;1} \right) \in \left( C \right)\).

Thay \(x = 0\) và \(y = 1\) vào hàm số ta được \(1 = \dfrac{{2.0 + b}}{{0 + 1}} \Rightarrow b = 1\) \( \Rightarrow b + c + d = 3\). 

Chọn B.

Chọn A.

Từ hình vẽ ta thấy:

+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \,f\left( x \right) =  + \infty \) nên \(a > 0\)

+ Đồ thị hàm số có ba cực trị nên \(ab < 0\) mà \(a > 0 \Rightarrow b < 0\)

+ Đồ thị cắt trục tung tại điểm nằm dưới trục \(Ox\) nên \(c < 0\)

Từ đó ta có \(a > 0;b < 0;c < 0 \Rightarrow bc > 0\) .

Chọn B.