45 bài tập phương trình đường thẳng trong không gian mức độ nhận biết

Phương trình tham số của d₁ và d₂ là:

\(\begin{array}{l}{d_1}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y + 2}}{{3/2}} = \frac{{z - 6}}{2} \Rightarrow {d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + t\\y =  - 2 + \frac{3}{2}t\\z = 6 + 2t\end{array} \right.\\{d_2}:\frac{{x - 5}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{4} = \frac{{z - 2}}{8} \Rightarrow {d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - t'\\y =  - 1 + 4t'\\z = 2 + 8t'\end{array} \right.\end{array}\)

 Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng d₁ và d₂. Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}M \in {d_1}\\M \in {d_2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( { - 3 + t; - 2 + \frac{3}{2}t;6 + 2t} \right)\\M\left( {5 - t'; - 1 + 4t';2 + 8t'} \right)\end{array} \right. \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 + t = 5 - t'\\ - 2 + \frac{3}{2}t =  - 1 + 4t'\\6 + 2t = 2 + 8t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t + t' = 8\\\frac{3}{2}t - 4t' = 1\\2t - 8t' =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 6\\t' = 2\end{array} \right.\)

Vậy \(M(3;7;18)\)

Chọn A

\({{\overrightarrow{u}}_{d}}=\left( 2;-1;1 \right)\)

Gọi \(B=\left( d \right)\cap \left( {{d}_{1}} \right)\Rightarrow B\left( 2t+4;1-t;t \right)\) suy ra \(\overrightarrow{AB}=\left( 2t+4;-\,t;t-2 \right).\)

Vì \(\left( {{d}_{1}} \right)\bot \left( d \right)\) suy ra \(\overrightarrow{AB}.{{\vec{u}}_{d}}=0\)\(\Leftrightarrow 2\left( 2t+4 \right)+t+t-2=0\Leftrightarrow t=-\,1.\)

Suy ra \(\overrightarrow{AB}=\left( 2;1;-\,3 \right).\) Vậy phương trình đường thẳng \(\left( {{d}_{1}} \right)\) là \(\left( {{d}_{1}} \right):\frac{x}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{-\,3}.\)

Chọn A.

\(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2;3; - 2} \right);\,\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {3;2;2} \right)\) lần lượt là 1 VTCP của d₁ và d_2­. Dễ thấy \(\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương, do đó lại C và D.

Lấy \(A\left( {1; - 1;1} \right) \in {d_1};\,\,B\left( {1; - 2; - 1} \right) \in {d_2} \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {0; - 1; - 2} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {10; - 10; - 5} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB}  = 10.0 - 10.\left( { - 1} \right) - 5\left( { - 2} \right) = 20 \ne 0 \Rightarrow {d_1}\) và d₂ chéo nhau.

Chọn A.

\({\overrightarrow u _d} = \left( {{m^2}; - n;4} \right)\) và \({\overrightarrow u _\Delta } = \left( {1; - 2;1} \right)\) lần lượt là VTCP của d và \(\Delta \).

Để \(d//\Delta  \Rightarrow {\overrightarrow u _d}\) và \({\overrightarrow u _\Delta }\) cùng phương với nhau \( \Rightarrow {{{m^2}} \over 1} = {{ - n} \over { - 2}} = {4 \over 1} \Rightarrow \left\{ \matrix{  {m^2} = 4 \hfill \cr   n = 8 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left[ \matrix{  m = 2;n = 8 \hfill \cr   m =  - 2;n = 8 \hfill \cr}  \right.\)

Chọn D.

Chọn D.

Đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 5}}{3}\)có 1 VTCP là \(\overrightarrow u \left( {1; - 2;3} \right)\).

Chọn D

Đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 5}}{3}\)có 1 VTCP là \(\overrightarrow u \left( {1; - 2;3} \right)\).

Chọn D

Đường thẳng d : \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 1 + 2t\\z = 2 - t\end{array} \right.\) đi qua điểm \(M\left( { - 1;1;2} \right)\)và có 1 VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {1;2; - 1} \right)\), có phương trình chính tắc là:

\(\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}\)

Chọn C.

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {0; - 1;4} \right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {3; - 1;5} \right)\) có phương trình tham số là\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y =  - 1 - t\\z = 5 + 4t\end{array} \right..\)

Chọn C.

Thay tọa độ điểm \(\left( {0;6;8} \right)\) vào phương trình đường thẳng ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}0 = 1 + t\\6 = 2 - 4t\\8 = 3 - 5t\end{array} \right. \Leftrightarrow t =  - 1\). Vậy điểm \(\left( {0;6;8} \right)\) thuộc đường thẳng d.

Chọn D.

Gọi đường thẳng d là đường thẳng đi qua \(M\left( {0;1;0} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z = 0\)

Suy ra vecto chỉ phương của đường thẳng d chính là vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z = 0\)

Nên \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1; - 2;1} \right)\)

Đường thẳng d đi qua \(M\left( {0;1;0} \right)\) và có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1; - 2;1} \right)\) có phương trình là \(\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{z}{1}\)

Chọn A.

Điểm \(M\left( {1;2;m} \right)\) thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}1 + 2t = 1\\2 - t = 2\\ - 2 + 2t = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\m =  - 2\end{array} \right.\).

Chọn C.

Đường thẳng đi qua \(A\left( {2; - 1;1} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 2;3} \right)\) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 1 - 2t\\z = 1 + 3t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right).\)

Chọn C.

Đường thẳng \(\Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 2t\\z = 1 - 3t\end{array} \right.\) có VTCP là: \(\overrightarrow u  = \left( {0;\,\,2; - 3} \right).\)  

Chọn C.

Trong không gian tọa độ \(Oxyz,\) đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {3; - 2;4} \right)\)và có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;6} \right)\) có phương trình là: \(\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 4}}{6}\).

Chọn A.

Thay tọa độ điểm M(3;-2;-1) vào phương trình đường thẳng ta được:

\(\dfrac{{3 - 3}}{1} = \dfrac{{ - 2 + 2}}{{ - 1}}\)\( = \dfrac{{ - 1 + 1}}{2} = 0\) nên đường thẳng đã cho đi qua \(M\left( {3; - 2; - 1} \right)\)

Chọn B.

Đường thẳng \(\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = 2 + 3t\end{array} \right.\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1; - 1;3} \right)\).

Vì \(d \bot \left( P \right)\) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_P}}  =  - 2\overrightarrow {{u_d}}  = \left( { - 2;2; - 6} \right)\).

Chọn C.

Ta có: \(\left( P \right):\,\,2x - 3y + 4z - 2 = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2; - 3;\,\,4} \right).\)

Đường thẳng \(d \bot \left( P \right)\) \( \Rightarrow d\) nhận CTVPT của \(\left( P \right)\) làm VTCP \( \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2; - 3;\,\,4} \right)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(d\)  qua \(M\left( { - 3;\,\,5;\,\,6} \right)\) và vuông góc với \(\left( P \right)\)  là:

\(\dfrac{{x + 3}}{2} = \dfrac{{y - 5}}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 6}}{4}\)

Chọn B.

Đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x + 3}}{2} = \dfrac{y}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 1}}{1}\) có VTCP là: \(\left( {2; - 3;\,\,1} \right).\) 

Chọn A.

Hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {1;\,\,2;\,\,3} \right)\) trên trục \(Oz\) là điểm \(M'\left( {0;\,\,0;\,\,3} \right).\) 

Chọn D.

Đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 2 + t\\z = 3t\end{array} \right.\) có 1 vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {2;1;3} \right).\)

Chọn A.