120 bài tập phép đối xứng tâm

Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua tâm I \(\Rightarrow I\) là trung điểm của MM’.

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  {{x}_{M'}}=2{{x}_{I}}-{{x}_{M}}=-1 \\  {{y}_{M'}}=2{{y}_{I}}-{{y}_{M}}=5 \\ \end{align} \right.\Rightarrow M'\left( -1;5 \right)\)

Chọn B.

Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó.

Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có đường thẳng đáp án C song song với đường thẳng d đã cho.

Chọn C.

Hình vuông có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.

Hình tròn có tâm đối xứng là tâm của nó.

Hình thoi có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.

Tam giác đều không có tâm đối xứng.

Chọn C.

Hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính có tâm đối xứng duy nhất là trung điểm có đoạn thẳng nối tâm hai đường tròn đó.

Chọn B.

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(K\left( 1;3 \right)\) và có bán kính \(R=4\)

Đ\(_{I}\left( A \right)\,=\,B,\) Đ\(_{I}\left( C \right)\,=\left( C' \right)\Rightarrow B\left( a;b \right)\) là tâm của đường tròn \(\left( C' \right)\)  và đường tròn \(\left( C' \right)\) có bán kính \(R'=R=4\). Vậy phương trình đường tròn \(\left( C' \right)\) là: \({{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}=16\)

Chọn D.

Đ\(_{I}\left( A \right)\,=A'\Rightarrow I\) là trung điểm của AA’ \(\Rightarrow I\left( 1;3 \right)\)

Đ\(_{I}\left( B \right)\,=B'\Rightarrow I\) là trung điểm của BB’ \(\Rightarrow B\left( 1;7 \right)\)

Chọn A.

Đ\(_{{{O}_{1}}}\left( M \right)={{M}_{1}}\Rightarrow {{O}_{1}}\) là trung điểm của \(M{{M}_{1}}\)

Đ\(_{{{O}_{2}}}\left( {{M}_{1}} \right)={{M}_{2}}\Rightarrow {{O}_{2}}\) là trung điểm của \({{M}_{1}}{{M}_{2}}\)

\(\Rightarrow {{O}_{1}}{{O}_{2}}\) là đường trung bình của tam giác \(M{{M}_{1}}{{M}_{2}}\)

\(\Rightarrow {{O}_{1}}{{O}_{2}}//M{{M}_{2}}\) và \(2{{O}_{1}}{{O}_{2}}=M{{M}_{2}}\)

 \(\Rightarrow \overrightarrow{M{{M}_{2}}}=2\overrightarrow{{{O}_{1}}{{O}_{2}}}\)

Chọn A.

Giả sử đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. Điểm \(M\left( x;y \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\Rightarrow M'\left( -x;-y \right)\) là điểm đối xứng với M qua gốc tọa độ O cũng thuộc đồ thị hàm số  \(y=f\left( x \right)\)

\(\Rightarrow -y=f\left( -x \right)\Rightarrow f\left( -x \right)=-f\left( x \right)\Rightarrow y=f\left( x \right)\) là hàm số lẻ.

Vậy hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

Dựa vào các đáp án ta thấy đáp án D có : \(f\left( -x \right)=\sin \left( -x \right)\sqrt{{{\left( -x \right)}^{2}}+1}=-\sin x\sqrt{{{x}^{2}}+1}=-f\left( x \right)\)

\(\Rightarrow \) Hàm số \(y=\sin x\sqrt{{{x}^{2}}+1}\) là hàm số lẻ và nhận gốc tọa độ O là tâm đối xứng.

Chọn D.

Lấy điểm \(M\left( x;y \right)\in \Delta \), gọi \(\left\{ \begin{array}{l}x + x' = 2a\\y + y' = 2b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2a - x'\\y = 2b - y'\end{array} \right.\) 

Thay vào phương trình \(\Delta \) ta có:

\(\begin{align}  A\left( 2a-x' \right)+B\left( 2b-y' \right)+C=0 \\  \Leftrightarrow 2aA-Ax'+2bB-By'+C=0 \\  \Leftrightarrow Ax'+By'-C-2aA-2bB=0 \\ \end{align}\)

Do \(M'\left( x';y' \right)\in \Delta '\), do đó phương trình đường thẳng \(\Delta '\) có dạng:  \(\left( \Delta ' \right):\,\,Ax+By-C-2aA-2bB=0\)

Chọn D.

Gọi \(M\left( x;y \right)\) là điểm bất kì thuộc (P). Gọi \(M'\left( x';y' \right)\) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm A \(\Rightarrow A\) là trung điểm của MM’, do đó ta có : \(\left\{ \begin{align}  x=-x' \\  y=2-y' \\ \end{align} \right.\,\,\left( 1 \right)\)

Gọi \(M''\left( x'';y'' \right)\) là ảnh của điểm M’ qua phép đối xứng tâm B \(\Rightarrow B\) là trung điểm của M’M’’, do đó ta có:

\(\left\{ \begin{align}  x'=4-x'' \\  y'=-2-y'' \\ \end{align} \right.\,\,\,\left( 2 \right)\) , thay vào (1) ta có: \(\left\{ \begin{align}  x=-4+x'' \\  y=4+y'' \\ \end{align} \right.\Rightarrow M\left( -4+x'';4+y'' \right)\)

Do điểm \(M\in \left( P \right)\Rightarrow \) Thay tọa độ điểm M vào phương trình parabol (P) ta có:

\(\begin{align}  4+y''={{\left( -4+x'' \right)}^{2}}\Leftrightarrow 4+y''=x'{{'}^{2}}-8x''+16 \\  \Leftrightarrow y''=x'{{'}^{2}}-8x''+12 \\ \end{align}\)

\(\begin{align}  \left( P \right)\,\xrightarrow{{{Đ}_{A}}}\,\left( P' \right)\,\xrightarrow{{{Đ}_{B}}}\,\left( P'' \right) \\  M\,\,\xrightarrow{{{Đ}_{A}}}\,\,\,M'\xrightarrow{{{Đ}_{B}}}\,M'' \\ \end{align}\)

Do đó \(M''\in \left( P'' \right)\) , vậy phương trình (P’’) có dạng \(y={{x}^{2}}-8x+12\)

Chọn C.

\(A\left( { - 1;2} \right),\,B\left( {3;4} \right),\,C\left( {4; - 3} \right) \Rightarrow \)Trọng tâm tam giác \(ABC\) là: \(G\left( {2;1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + x' = 2.1\\1 + y' = 2.2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 0\\y' = 3\end{array} \right.\,\,\,\, \Rightarrow G'\left( {0;3} \right)\)

Chọn: D

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 2.1 - x = 2 - x\\y' = 2.2 - y = 4 - y\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - x'\\y = 4 - y'\end{array} \right.\).

\(M' = {D_I}\left( M \right)\)\( \Rightarrow M':\,\,\left\{ \begin{array}{l}x' = 2 - \left( { - 2} \right) = 4\\y' = 4 - 3 = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M'\left( {4;1} \right)\).

\(\left( {C'} \right) = {D_I}\left( C \right)\)\( \Rightarrow {\left( {2 - x'} \right)^2} + {\left( {4 - y'} \right)^2} + 2\left( {2 - x'} \right) - 6\left( {4 - y'} \right) + 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow x{'^2} + y{'^2} - 6x' - 2y' + 6 = 0\).

Vậy \(\left( {C'} \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 6x - 2y + 6 = 0\).

Chọn B.

Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(O\) và vuông góc với \(AB\) \( \Rightarrow EF \bot AB\)

Mà \(AB\parallel CD\) (tính chất hình bình hành) \( \Rightarrow EF \bot CD\)

Các cặp điểm trên hình vẽ đối xứng với nhau qua tâm \(O\) là:

     +) \(A\) đối xứng với \(C\) qua \(O\).

      +) \(B\) đối xứng với \(D\) qua \(O\).

            +) \(C\) đối xứng với \(F\) qua \(O\).

Phép đối xứng biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó

+ Gọi đường thẳng \(d'\) có ảnh là \(d \Rightarrow d'\parallel d\).

\( \Rightarrow d'\) có dạng: \(x - y + c = 0\)

+ Chọn điểm \(A\left( {0;4} \right) \in d\).

+ Phép đối xứng tâm \(I\) biến điểm \(A\) thuộc \(d\) thành \(A'\) thuộc \(d'\) \( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AA'\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_{A'}}}}{2}\\{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_{A'}}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_I} - {x_A}\\{y_{A'}} = 2{y_I} - {y_A}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 8\\{y_{A'}} =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {8; - 2} \right)\).

Vì \(A' \in d'\), thay điểm \(A'\) vào \(d'\) ta có: \(8 - \left( { - 2} \right) + c = 0 \Leftrightarrow c =  - 10\).

Vậy phương trình đường thẳng \(d':\,\,x - y - 10 = 0\).

Chọn B.

“TRÍ ĐỨC” có chữ I có tâm đối xứng.

Chọn B.