-
Lớp 12
-
Lớp 11
-
Lớp 10
- SGK Toán 10 - Đại Số và Hình Học Toán 10
- SGK Toán 10 nâng cao
- SGK Tiếng Anh 10
- SGK Tiếng Anh 10 Mới
- Văn mẫu 10
- Soạn văn 10 chi tiết
- Soạn văn 10 ngắn gọn
- Soạn văn 10 siêu ngắn
- Tác giả - Tác phẩm văn 10
- SGK Vật lý 10
- SGK Vật lý 10 nâng cao
- SGK Hóa học 10
- SGK Hóa học 10 nâng cao
- SGK Sinh học 10
- SGK Sinh học 10 nâng cao
-
Lớp 9
-
Lớp 8
-
Lớp 7
-
Lớp 6
- Lớp 5
- Lớp 4
- Lớp 3
- Lớp 2
- Lớp 1
- Thông tin tuyển sinh
Trang chủ » 50 bài tập trắc nghiệm một số phương trình lượng giác thường gặp mức độ vận dụng, vận dụng cao
50 bài tập trắc nghiệm một số phương trình lượng giác thường gặp mức độ vận dụng, vận dụng cao
Lớp:
Môn học:
Bài học:
Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp
Câu trắc nghiệm:
Câu hỏi 1
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Giải phương trình \(2{\sin ^2}2x + \sin 7x - 1 = \sin x\).
Phương pháp giải :
- Nhóm \(2{\sin ^2}2x - 1\), \(\sin 7x - \sin x\).
- Sử dụng công thức nhân đôi: \(\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha \), công thức biến đổi tổng thành tích: \(\sin a - \sin b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\sin \dfrac{{a - b}}{2}\).
- Đưa phương trình đã cho về dạng tích.
- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,2{\sin ^2}2x + \sin 7x - 1 = \sin x\\ \Leftrightarrow \left( {2{{\sin }^2}2x - 1} \right) + \sin 7x - \sin x = 0\\ \Leftrightarrow - \cos 4x + 2\cos 4x\sin 3x = 0\\ \Leftrightarrow \cos 4x\left( {2\sin 3x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 4x = 0\\\sin 3x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\3x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\3x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}\\x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\\x = \dfrac{{5\pi }}{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}\), \(x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\), \(x = \dfrac{{5\pi }}{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\).
Chọn C.
Đáp án A:
\(x = - \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k\pi }}{3}\), \(x = \dfrac{{5\pi }}{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{9}\).
Đáp án B:
\(x = \pm \dfrac{\pi }{{18}} + {{k2\pi }}\), \(x = \dfrac{{5\pi }}{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\).
Đáp án C:
\(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}\), \(x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\), \(x = \dfrac{{5\pi }}{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\).
Đáp án D:
\(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}\), \(x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k\pi }}{18}\), \(x = - \dfrac{{5\pi }}{{18}} + \dfrac{{k\pi }}{3}\).
Câu hỏi 2
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Giải phương trình \(1 + \sin x + \cos 3x = \cos x + \sin 2x + \cos 2x\).
Phương pháp giải :
- Nhóm \(1 - \cos 2x\), \(\sin x - \sin 2x\), \(\cos 3x - \cos x\).
- Sử dụng công thức nhân đôi: \(1 - \cos 2x = 2{\sin ^2}x\), công thức biến đổi tổng thành tích: \(\cos a - \cos b = - 2\sin \dfrac{{a + b}}{2}\sin \dfrac{{a - b}}{2}\).
- Đưa phương trình đã cho về dạng tích.
- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,1 + \sin x + \cos 3x = \cos x + \sin 2x + \cos 2x\\ \Leftrightarrow \left( {1 - \cos 2x} \right) + \left( {\sin x - \sin 2x} \right) + \left( {\cos 3x - \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}2x + \left( {\sin x - \sin 2x} \right) - 2\sin 2x\sin x = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin 2x\left( {\sin 2x - \sin x} \right) - \left( {\sin 2x - \sin x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin 2x - \sin x} \right)\left( {2\sin 2x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = \sin x\\\sin 2x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + k2\pi \\2x = \pi - x + k2\pi \\2x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\\x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = k2\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\), \(x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \), \(x = \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \).
Đáp án A:
\(x = k\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3}\), \(x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \), \(x = \dfrac{{5\pi }}{{7}} + k\pi \).
Đáp án B:
\(x = k2\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\), \(x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \), \(x = \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \).
Đáp án C:
\(x = k\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\), \(x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \), \(x = \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \).
Đáp án D:
\(x = k2\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\), \(x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \), \(x = \dfrac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \).
Câu hỏi 3
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Giải phương trình \(\cos 10x - \cos 8x - \cos 6x + 1 = 0\).
Phương pháp giải :
- Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \(\cos a - \cos b = - 2\sin \dfrac{{a + b}}{2}\sin \dfrac{{a - b}}{2}\) và công thức nhân đôi \(\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha \).
- Đưa phương trình đã cho về dạng tích.
- Tiếp tục sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \).
- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
- Kết hợp nghiệm.
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\cos 10x - \cos 8x - \cos 6x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\cos 10x - \cos 6x} \right) + \left( {1 - \cos 8x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow - 2\sin 8x\sin 2x + 2{\sin ^2}4x = 0\\ \Leftrightarrow - 4\sin 4x\cos 4x\sin 2x + 2{\sin ^2}4x = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin 4x\left( { - 2\cos 4x\sin 2x + \sin 4x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin 4x\left( { - 2\cos 4x\sin 2x + 2\sin 2x\cos 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4\sin 4x.\sin 2x\left( { - \cos 4x + \cos 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 8{\sin ^2}2x\cos 2x\left( { - \cos 4x + \cos 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 0\\\cos 2x = 0\\\cos 4x = \cos 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = k\pi \\2x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\4x = 2x + k2\pi \\4x = - 2x + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k\pi }}{2}\\x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\\x = k\pi \\x = \dfrac{{k\pi }}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k\pi }}{4}\\x = \dfrac{{k\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = \dfrac{{k\pi }}{4}\), \(x = \dfrac{{k\pi }}{3}\).
Chọn D.
Đáp án A:
\(x = \dfrac{{\pi }}{3} + k\pi\).
Đáp án B:
\(x = \dfrac{{\pi }}{3} + 2k\pi \), \(x = \dfrac{{k\pi }}{7}\).
Đáp án C:
\(x = \dfrac{{3k\pi }}{4}\)
Đáp án D:
\(x = \dfrac{{k\pi }}{4}\), \(x = \dfrac{{k\pi }}{3}\).
Câu hỏi 4
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Giải phương trình \(\sin 3x - \sin x + \sin 2x = 0\).
Phương pháp giải :
- Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \(\sin a - \sin b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\sin \dfrac{{a - b}}{2}\) và công thức nhân đôi \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\).
- Đưa phương trình đã cho về dạng tích.
- Sử dụng biến đổi: \(\).
- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sin 3x - \sin x + \sin 2x = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos 2x\sin x + 2\sin x\cos x = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin x\left( {\cos 2x + \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\cos 2x = - \cos x = \cos \left( {\pi - x} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\2x = \pi - x + k2\pi \\2x = x - \pi + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\\x = - \pi + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = k\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\).
Chọn A.
Đáp án A:
\(x = k\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\).
Đáp án B:
\(x =\pm \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\).
Đáp án C:
\(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi\), \(x = - \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\).
Đáp án D:
\(x = 2k\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{k\pi }}{3}\).
Câu hỏi 5
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Giải phương trình \(\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x + \sin 5x + \sin 6x = 0\).
Phương pháp giải :
- Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \(\sin a + \sin b = 2\sin \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}\).
- Đưa phương trình đã cho về dạng tích.
- Tiếp tục sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \(\cos a + \cos b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}\).
- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x + \sin 5x + \sin 6x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \sin 6x} \right) + \left( {\sin 2x + \sin 5x} \right) + \left( {\sin 3x + \sin 4x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin \dfrac{{7x}}{2}\cos \dfrac{{5x}}{2} + 2\sin \dfrac{{7x}}{2}\cos \dfrac{{3x}}{2} + 2\sin \dfrac{{7x}}{2}\cos \dfrac{x}{2} = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin \dfrac{{7x}}{2}\left( {\cos \dfrac{{5x}}{2} + \cos \dfrac{{3x}}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin \dfrac{{7x}}{2}\left[ {2\cos \dfrac{{3x}}{2}\cos x + \cos \dfrac{{3x}}{2}} \right] = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin \dfrac{{7x}}{2}.\cos \dfrac{{3x}}{2}\left( {2\cos x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \dfrac{{7x}}{2} = 0\\\cos \dfrac{{3x}}{2}\\\cos x = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{7x}}{2} = k\pi \\\dfrac{{3x}}{2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k2\pi }}{7}\\x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\\x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = \dfrac{{k2\pi }}{7}\), \(x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\), \(x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \).
Chọn A.
Đáp án A:
\(x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\), \(x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + 2k\pi \).
Đáp án B:
\(x = \dfrac{{k2\pi }}{7}\), \(x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\), \(x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \).
Đáp án C:
\(x = \dfrac{{k2\pi }}{3}\), \(x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\), \(x = + \dfrac{{\pi }}{7} + k2\pi \).
Đáp án D:
\(x = \dfrac{{k2\pi }}{7}+ k\pi \), \(x = \dfrac{2\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\).
Câu hỏi 6
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Giải phương trình \(\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x = 0\).
Phương pháp giải :
- Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \(\cos a + \cos b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}\).
- Đưa phương trình đã cho về dạng tích.
- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x + \cos 3x} \right) + \left( {\cos 2x + \cos 4x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos 2x\cos x + 2\cos 3x\cos x = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos x\left( {\cos 2x - \cos 3x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\cos 2x = \cos 3x\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\3x = 2x + k2\pi \\3x = - 2x + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = k2\pi \\x = \dfrac{{k2\pi }}{5}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), \(x = k2\pi \), \(x = \dfrac{{k2\pi }}{5}\).
Chọn B.
Đáp án A:
\(x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \), \(x = k\pi \), \(x = \dfrac{{k\pi }}{5}\).
Đáp án B:
\(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), \(x = k2\pi \), \(x = \dfrac{{k2\pi }}{5}\).
Đáp án C:
\(x = \dfrac{\pi }{2} + 2k\pi \), \(x = \dfrac{{k2\pi }}{3}\).
Đáp án D:
\(x = \pm \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), \(x = k2\pi \)
Câu hỏi 7
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Giải phương trình \(1 + \cos x + \cos 2x + \cos 3x = 0\).
Phương pháp giải :
- Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \(\cos a + \cos b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}\) và công thức nhân đôi: \(1 + \cos 2x = 2{\cos ^2}x\).
- Đưa phương trình đã cho về dạng tích.
- Sử dụng biến đổi: \(\cos x = \cos \left( {\pi - x} \right)\).
- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,1 + \cos x + \cos 2x + \cos 3x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \cos 2x} \right) + \left( {\cos x + \cos 3x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x + 2\cos 2x\cos x = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos x\left( {\cos x + \cos 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\cos x + \cos 2x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\\cos 2x = - \cos x = \cos \left( {\pi - x} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\2x = \pi - x + k2\pi \\2x = x - \pi + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\3x = \pi + k2\pi \\x = - \pi + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\\x = - \pi + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\).
Chọn C.
Đáp án A:
\(x =\pm \dfrac{\pi }{2} + 2k\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k\pi }}{3}\).
Đáp án B:
\(x = \dfrac{\pi }{2} + 2k\pi \), \(x = \pm \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\).
Đáp án C:
\(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\).
Đáp án D:
\(x = - \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3}\).
Câu hỏi 8
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Giải phương trình \(\sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x\).
Phương pháp giải :
- Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \(\sin a + \sin b = 2\sin \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}\),
\(\cos a + \cos b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}\) .
- Đưa phương trình đã cho về dạng tích.
- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\), \(\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \sin 3x} \right) + \sin 2x = \left( {\cos x + \cos 3x} \right) + \cos 2x\\ \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos x + \sin 2x = 2\cos 2x\cos x + \cos 2x\\ \Leftrightarrow \sin 2x\left( {2\cos x + 1} \right) = \cos 2x\left( {2\cos x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {2\cos x + 1} \right)\left( {\sin 2x - \cos 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\cos x + 1 = 0\\\sin 2x - \cos 2x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = - \dfrac{1}{2}\\\sin 2x = \cos 2x\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\\tan 2x = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\2x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2}\).
Chọn A.
Đáp án A:
\(x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2}\).
Đáp án B:
\(x = \pm \dfrac{{\pi }}{3} + k\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{3}\).
Đáp án C:
\(x = + \dfrac{{4\pi }}{3} + k2\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{8} + k\pi \).
Đáp án D:
\(x = - \dfrac{{\pi }}{3} + k2\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{3}\).
Câu hỏi 9
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Giải phương trình \(\cos 11x\cos 3x = \cos 17x\cos 9x\).
Phương pháp giải :
- Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \(\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]\).
- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\cos 11x\cos 3x = \cos 17x\cos 9x\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {\cos 14x + \cos 8x} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 26x + \cos 8x} \right)\\ \Leftrightarrow \cos 14x + \cos 8x = \cos 26x + \cos 8x\\ \Leftrightarrow \cos 14x = \cos 26x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}26x = 14x + k2\pi \\26x = - 14x + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}12x = k2\pi \\40x = k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k\pi }}{6}\\x = \dfrac{{k\pi }}{{20}}\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \dfrac{{k\pi }}{6},\,\,x = \dfrac{{k\pi }}{{20}}\).
Chọn B.
Đáp án A:
\(x = \dfrac{{k\pi }}{3},\,\,x = \dfrac{{k\pi }}{{20}}\).
Đáp án B:
\(x = \dfrac{{k\pi }}{6},\,\,x = \dfrac{{k\pi }}{{20}}\).
Đáp án C:
\(x = \dfrac{{2k\pi }}{3},\,\,x = \dfrac{{k\pi }}{{20}}\).
Đáp án D:
\(x = \dfrac{{-k\pi }}{6},\,\,x = \dfrac{{k\pi }}{{20}}\).
Câu hỏi 10
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Cho phương trình \(2m{\cos ^2}x + 2\sin 2x + m - 1 = 0\). Có bao nhiêu số nguyên của m để phương trình trên có đúng một nghiệm thuộc \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]\) ?
Phương pháp giải :
- Xét hai trường hợp \(\cos x = 0\) và \(\cos x \ne 0\).
- Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\), đặt ẩn phụ \(t = \tan x\).
- Tìm khoảng giá trị của \(t\) ứng với \(x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]\).
- Cô lập \(m\), đưa phương trình về dạng \(m = f\left( t \right)\).
- Lập BBT của hàm số \(y = f\left( t \right)\) và kết luận.
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,2m{\cos ^2}x + 2\sin 2x + m - 1 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ \Leftrightarrow 2m{\cos ^2}x + 4\sin x\cos x + m - 1 = 0\end{array}\)
TH1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\).
Khi đó phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Họ nghiệm này không có nghiệm thuộc \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right] \Rightarrow m = 1\) loại.
TH2: \(\cos x \ne 0\), chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2m + 4\tan x + \left( {m - 1} \right)\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right){\tan ^2}x + 4\tan x + 3m - 1 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Đặt \(\tan x = t\), với \(x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]\) thì \(t \in \left[ {0;1} \right]\), khi đó phương trình (2) trở thành:
\(\left( {m - 1} \right){t^2} + 4t + 3m - 1 = 0\,\,\,\,\left( 3 \right)\)
Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thuộc \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]\) thì phương trình (3) có nghiệm \(t\) duy nhất thuộc \(\left[ {0;1} \right].\)
Ta có: \(\left( 3 \right) \Leftrightarrow m\left( {{t^2} + 3} \right) = {t^2} - 4t + 1\)\( \Leftrightarrow m = \dfrac{{{t^2} - 4t + 1}}{{{t^2} + 3}}\,\,\left( * \right)\)
Đặt \(g\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} - 4t + 1}}{{{t^2} + 3}}\) ta có:
\(\begin{array}{l}g'\left( t \right) = \dfrac{{\left( {2t - 4} \right)\left( {{t^2} + 3} \right) - \left( {{t^2} - 4t + 1} \right)2t}}{{{{\left( {{t^2} + 3} \right)}^2}}}\\g'\left( t \right) = \dfrac{{2{t^3} + 6t - 4{t^2} - 12 - 2{t^3} + 8{t^2} - 2t}}{{{{\left( {{t^2} + 3} \right)}^2}}}\\g'\left( t \right) = \dfrac{{4{t^2} + 4t - 12}}{{{{\left( {{t^2} + 3} \right)}^2}}}\\g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{2}\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{2}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Bảng biến thiên:
Để phương trình (*) có nghiệm duy nhất \(t \in \left[ {0;1} \right]\) thì \(m \in \left[ { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3}} \right]\).
Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = 0\).
Vậy có duy nhất một giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn B.
Đáp án A:
\(3\)
Đáp án B:
\(1\)
Đáp án C:
\(0\)
Đáp án D:
\(2\)
Câu hỏi 11
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Số nghiệm của phương trình \({\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right)^2} + \sqrt 3 \cos x = 2\) với \(x \in {\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\) là:
Phương pháp giải :
Áp dụng phương pháp giải phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\) bằng cách chia cả 2 vế của phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \), sau đó đưa phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản.
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\left( {\sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right)^2} + \sqrt 3 \cos x = 2\\ \Leftrightarrow 1 + 2\sin \dfrac{x}{2}.\cos \dfrac{x}{2} + \sqrt 3 \cos x = 2\\ \Leftrightarrow \sin x + \sqrt 3 \cos x = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {\dfrac{\pi }{6}} \right).\sin x + \cos \left( {\dfrac{\pi }{6}} \right).\cos x = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right) = \cos \dfrac{\pi }{3}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{6} = - \dfrac{\pi }{3} + l2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = - \dfrac{\pi }{6} + l2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k,\,\,l \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Mà \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\), do đó \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \le \pi \\0 \le - \dfrac{\pi }{6} + l2\pi \le \pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{1}{4} \le k \le \dfrac{1}{4}\\\dfrac{1}{{12}} \le l \le \dfrac{7}{{12}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 0\\l \in \emptyset \end{array} \right..\)
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn B.
Đáp án A:
2
Đáp án B:
1
Đáp án C:
3
Đáp án D:
0
Câu hỏi 12
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Giải phương trình \({\sin ^2}3x - {\cos ^2}4x = {\sin ^2}5x - {\cos ^2}6x.\)
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\sin ^2}3x - {\cos ^2}4x = {\sin ^2}5x - {\cos ^2}6x.\\ \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 6x}}{2} - \frac{{1 + \cos 8x}}{2} = \frac{{1 - \cos 10x}}{2} - \frac{{1 + \cos 12x}}{2}\\ \Leftrightarrow \cos 6x + \cos 8x = \cos 10x + \cos 12x\\ \Leftrightarrow 2\cos 7x.\cos x = 2\cos 11x + \cos 12x\\ \Leftrightarrow 2\cos x\left( {\cos 7x - \cos 11x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\cos 7x = \cos 11x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\7x = 11x + k2\pi \\7x = - 11x + k2\pi \end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{{k\pi }}{9}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\) Vậy \(S = \left\{ {\frac{{k\pi }}{2};\frac{{k\pi }}{9},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn D.
Đáp án A:
\(S = \left\{ {k\pi ;\frac{{k2\pi }}{9},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án B:
\(S = \left\{ {\frac{{k\pi }}{2};\frac{{k2\pi }}{9},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án C:
\(S = \left\{ {k\pi ;\frac{{k\pi }}{9},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án D:
\(S = \left\{ {\frac{{k\pi }}{2};\frac{{k\pi }}{9},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Câu hỏi 13
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Tìm số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình \(\left| {\sin x - \cos x} \right| + 8\sin x\cos x = 1\) trên đường tròn lượng giác.
Phương pháp giải :
Đặt \(t = \sin x - \cos x\) tính \(\sin x\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{2}\) thay vào phương trình.
Giải phương trình và kết luận.
Lời giải chi tiết :
Đặt \(t = \sin x - \cos x\)\(\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right)\) thì \({t^2} = 1 - 2\sin x\cos x\)\( \Leftrightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{2}\)
Thay vào phương trình ta được \(\left| t \right| + 8.\dfrac{{1 - {t^2}}}{2} = 1\)\( \Leftrightarrow 2\left| t \right| + 8 - 8{t^2} = 2\)\( \Leftrightarrow 8{t^2} - 2\left| t \right| - 6 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| t \right| = 1\\\left| t \right| = - \dfrac{3}{4}\left( {VN} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow t = \pm 1\left( {TM} \right)\)
TH1 : \(t = 1\) thì \(\sin x - \cos x = 1\)\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\)
TH2 : \(\sin x - \cos x = - 1\)\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = - 1\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{4} = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\)
Vậy có bốn điểm biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác.
Chọn D.
Đáp án A:
\(2\)
Đáp án B:
\(3\)
Đáp án C:
\(1\)
Đáp án D:
\(4\)
Câu hỏi 14
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Giải phương trình : \({\sin ^2}x + 2\sqrt 3 \sin x\cos x - {\cos ^2}x = - 2\).
Phương pháp giải :
– Xét thay vào phương trình và kiểm tra.
- Xét \(\cos x \ne 0\) và chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x \ne 0\) đưa về phương trình bậc hai ẩn \(\tan x\).
- Giải phương trình và kết luận nghiệm.
Lời giải chi tiết :
+) Xét \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \). Khi đó \({\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x = 1\), thay vào phương trình ta được :
\(1 + 0 - 0 = - 2 \Leftrightarrow 1 = - 2\) (vô lí)
Suy ra \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi ;\,\,k \in \mathbb{Z}\) không phải là nghiệm.
+) Xét \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi ;\,\,k \in \mathbb{Z}\), chia hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x \ne 0\) ta được :
\(\begin{array}{l}\dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{2\sqrt 3 \sin x\cos x}}{{{{\cos }^2}x}} - \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = - \dfrac{2}{{{{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow {\tan ^2}x + 2\sqrt 3 \tan x - 1 = - 2\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\end{array}\)
\( \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x + 2\sqrt 3 \tan x + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow \tan x = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án A:
\(x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z} } \right)\)
Đáp án B:
\(x = - \dfrac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z} } \right)\)
Đáp án C:
\(x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z} } \right)\)
Đáp án D:
\(x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z} } \right)\)
Câu hỏi 15
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Giải phương trình lượng giác sau: \({\sin ^2}\left( {\dfrac{x}{2}} \right) - 2{\cos ^2}\left( {\dfrac{x}{4}} \right) + \dfrac{3}{4} = 0\).
Phương pháp giải :
Sử dụng công thức hạ bậc \({\sin ^2}\alpha = \dfrac{{1 - \cos 2\alpha }}{2};\) \({\cos ^2}\alpha = \dfrac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}\)
Lời giải chi tiết :
\({\sin ^2}\left( {\dfrac{x}{2}} \right) - 2{\cos ^2}\left( {\dfrac{x}{4}} \right) + \dfrac{3}{4} = 0\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{1 - \cos x}}{2} - 2.\dfrac{{1 + \cos \dfrac{x}{2}}}{2} + \dfrac{3}{4} = 0\) \( \Leftrightarrow 2 - 2\cos x - 4 - 4\cos \dfrac{x}{2} + 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {2\cos x - 1} \right) + 4\cos \dfrac{x}{2} = 0\) \( \Leftrightarrow {\cos ^2}\dfrac{x}{2} + 4\cos \dfrac{x}{2} = 0\) \( \Leftrightarrow \cos \dfrac{x}{2}\left( {\cos \dfrac{x}{2} + 4} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \dfrac{x}{2} = 0\\\cos \dfrac{x}{2} + 4 = 0\left( {VN} \right)\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) \( \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = \pi + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án A:
\(x = \pi + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án B:
\(x = \pi + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án C:
\(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{R} \)
Đáp án D:
\(x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{R} \)
Câu hỏi 16
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Giải phương trình lượng giác sau: \(\dfrac{{\sin x + \sin 2x}}{{\sin 3x}} = - 1\).
Phương pháp giải :
- Sử dụng công thức cộng \(\sin a + \sin b = 2\sin \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}\) biến đổi phương trình về dạng tích.
- Giải phương trình và đối chiếu điều kiện, kết luận nghiệm.
Lời giải chi tiết :
ĐK: \(\sin 3x \ne 0 \Leftrightarrow 3x \ne k\pi \) \( \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{3}\)
PT\( \Rightarrow \sin x + \sin 2x = - \sin 3x\) \( \Leftrightarrow \left( {\sin x + \sin 3x} \right) + \sin 2x = 0\)
\( \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos x + \sin 2x = 0\) \( \Leftrightarrow \sin 2x\left( {2\cos x + 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 0\\2\cos x + 1 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 0\\\cos x = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = k\pi \\x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k\pi }}{2}\\x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
Biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác ta được:
Quan sát hình vẽ ta thấy phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\) (hai điểm màu xanh).
Đáp án A:
\(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)
Đáp án B:
\(x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)
Đáp án C:
\(x =- \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)
Đáp án D:
\(x = \pm \dfrac{\pi }{4} + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)
Câu hỏi 17
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Giải phương trình \(\sin 3x + \cos 2x - \sin x = 0\)
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sin 3x + \cos 2x - \sin x = 0\\ \Leftrightarrow 3\sin x - 4{\sin ^3}x + 1 - 2{\sin ^2}x - \sin x = 0\\ \Leftrightarrow - 4{\sin ^3}x - 2{\sin ^2}x + 2\sin x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow - 2{\sin ^2}x\left( {2\sin x + 1} \right) + \left( {2\sin x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2\sin x + 1} \right)\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sin x + 1 = 0\\1 - 2{\sin ^2}x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{{ - 1}}{2}\\\cos 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy \(S = \left\{ {\frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi ;\frac{{7\pi }}{6} + k2\pi ,\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn B.
Đáp án A:
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án B:
\(S = \left\{ {\frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi ;\frac{{7\pi }}{6} + k2\pi ,\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án C:
\(S = \left\{ {\frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi ;\frac{{7\pi }}{6} + k2\pi ,\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án D:
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Câu hỏi 18
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Giải phương trình \(\frac{{\left( {1 + \sin x + \cos 2x} \right)\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}{{1 + \tan x}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x\,\,\,\left( 1 \right)\)
Lời giải chi tiết :
\(\frac{{\left( {1 + \sin x + \cos 2x} \right)\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}{{1 + \tan x}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x\,\,\,\left( 1 \right)\)
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}\tan x \ne - 1\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{{ - \pi }}{4} + k\pi \\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {1 + \sin x + \cos 2x} \right).sin\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\cos x.\frac{{\cos x + \sin x}}{{\cos x}}\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \sin x + \cos 2x} \right).\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos x + \sin x\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \sin x + \cos 2x} \right).\left( {\sin x + \cos x} \right) = \cos x + \sin x\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right).\left( {\sin x + \cos 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 0\\\sin x + \cos 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 0\\\sin x + 1 - 2{\sin ^2}x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt 2 .\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\\\sin x = 1\\\sin x = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {ktm} \right)\\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {ktm} \right)\\x = \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \,\,\left( {tm} \right)\\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(S = \left\{ {\frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi ;\frac{{7\pi }}{6} + k2\pi ;\,k \in \mathbb{Z} } \right\}\,\).
Chọn A.
Đáp án A:
\(S = \left\{ {\frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi ;\frac{{7\pi }}{6} + k2\pi ;\,k \in \mathbb{Z} } \right\}\,\)
Đáp án B:
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ;\,k \in \mathbb{Z} } \right\}\,\)
Đáp án C:
\(S = \left\{ {\frac{{ - \pi }}{3} + k2\pi ;\frac{{4\pi }}{3} + k2\pi ;\,k \in \mathbb{Z} } \right\}\,\)
Đáp án D:
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi ;\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ;\,k \in \mathbb{Z} } \right\}\,\)
Câu hỏi 19
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Giải phương trình \(\dfrac{1}{{\cos x}} - \dfrac{1}{{\sin x}} = 2\sqrt 2 \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right).\)
Lời giải chi tiết :
\(\dfrac{1}{{\cos x}} - \dfrac{1}{{\sin x}} = 2\sqrt 2 .\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x - \cos x}}{{\sin x.\cos x}} = - 2\left( {\sin x - \cos x} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x - \cos x} \right) + 2.\left( {\sin x - \cos x} \right).\sin x.\cos x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x - \cos x} \right)\left( {1 + \sin 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x - \cos x = 0\\1 + \sin 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt 2 .\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = 0\\\sin 2x = - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{4} = k\pi \\2x = \dfrac{{ - \pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ \pi }}{4} + k\pi \\x = \dfrac{{ - \pi }}{4} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{ \pi }}{4} + \dfrac{k\pi}{2} \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy \(S = \left\{ { \dfrac{{ \pi }}{4} + \dfrac{k\pi}{2} ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn A.
Đáp án A:
\(S = \left\{ { \dfrac{{ \pi }}{4} + \dfrac{k\pi}{2} ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Đáp án B:
\(S = \left\{ { - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án C:
\(S = \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án D:
\(S = \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Câu hỏi 20
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Giải phương trình \(\sqrt 2 \left( {\sin x - 2\cos x} \right) = 2 - \sin 2x\)
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sqrt 2 \left( {\sin x - 2\cos x} \right) = 2 - \sin 2x\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \left( {\sin x - 2\cos x} \right) = 2 - 2\sin x\cos x\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin x + 2\sin x.\cos x - 2\sqrt 2 \cos x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin x\left( {1 + \sqrt 2 \cos x} \right) - 2\left( {\sqrt 2 \cos x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt 2 \sin x - 2} \right)\left( {1 + \sqrt 2 \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt 2 \sin x - 2 = 0\\1 + \sqrt 2 \cos x = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \sqrt 2 \,\,\,\left( {loai} \right)\\\cos x = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }} = \cos \frac{{3\pi }}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \pm \frac{{3\pi }}{4} + 2k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy \(S = \left\{ { \pm \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn B.
Đáp án A:
\(S = \left\{ {\frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án B:
\(S = \left\{ { \pm \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án C:
\(S = \left\{ { \pm \frac{{3\pi }}{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án D:
\(S = \left\{ {\frac{{3\pi }}{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Câu hỏi 21
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Giải phương trình \({\rm{2sin}}x\left( {{\rm{1}} + {\rm{cos2}}x} \right) + \sin 2x = {\rm{1}} + {\rm{2}}\cos x\)
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\rm{2sin}}x\left( {{\rm{1}} + {\rm{cos2}}x} \right) + \sin 2x = {\rm{1}} + {\rm{2}}\cos x\\ \Leftrightarrow 2\sin x.2{\cos ^2}x + \sin 2x - 1 - 2\cos x = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin 2x.\cos x + \sin 2x - \left( {1 + 2\cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sin 2x\left( {2\cos x + 1} \right) - \left( {1 + 2\cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin 2x - 1} \right)\left( {2\cos x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \frac{{ - 1}}{2}\\\sin 2x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy \(S = \left\{ { \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,\,\,\frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn B.
Đáp án A:
\(S = \left\{ {\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,\,\,\frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án B:
\(S = \left\{ { \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,\,\,\frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án C:
\(S = \left\{ { \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,\,\,\frac{\pi }{4} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án D:
\(S = \left\{ {\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,\,\,\frac{\pi }{4} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Câu hỏi 22
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Giải phương trình \(\left( {\sin 2x + \cos {\rm{2}}x} \right)\cos x + 2\cos 2x - \sin x = 0\)
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left( {\sin 2x + \cos {\rm{2}}x} \right)\cos x + 2\cos 2x - \sin x = 0\\ \Leftrightarrow \sin 2x.\cos x + \cos 2x.\cos x + 2.\cos 2x - \sin x = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin x.{\cos ^2}x + \left( {\cos x + 2} \right).\cos 2x - \sin x = 0\\ \Leftrightarrow \sin x\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) + \left( {\cos x + 2} \right).\cos 2x = 0\\ \Leftrightarrow \sin x.\cos 2x + \left( {\cos x + 2} \right).\cos 2x = 0\\ \Leftrightarrow \cos 2x.\left( {\sin x + \cos x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\sin x + \cos x + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\\sqrt 2 .\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - \sqrt 2 \,\,\left( {Loai} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn C.
Đáp án A:
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án B:
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + \frac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án C:
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án D:
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Câu hỏi 23
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Giải phương trình \(3\sin x + 2\cos x = 2 + 3\tan x.\)
Lời giải chi tiết :
\(3\sin x + 2\cos x = 2 + 3\tan x\,\,\,\left( 1 \right)\).
Điều kiện: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\begin{array}{l}\left( 1 \right)\,\,\, \Leftrightarrow 3\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x = 2\cos x + 3\sin x\\ \Leftrightarrow 3\sin x\cos x - 3\sin x + 2{\cos ^2}x - 2\cos x = 0\\ \Leftrightarrow 3\sin x\left( {\cos x - 1} \right) + 2\cos x\left( {\cos x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3\sin x + 2\cos x} \right)\left( {\cos x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3\sin x + 2\cos x = 0\\\cos x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3\tan x + 2 = 0\\\cos x = 1\end{array} \right.\,\,\,\,\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = \frac{{ - 2}}{3}\\\cos x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arctan \frac{{ - 2}}{3} + k\pi \left( {tm} \right)\\x = k2\pi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(S = \left\{ {k2\pi ,\,\,\arctan \frac{2}{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn D.
Đáp án A:
\(S = \left\{ {k\pi ,\,\,\arctan \frac{2}{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án B:
\(S = \left\{ {k\pi ,\,\,\arctan \frac{2}{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án C:
\(S = \left\{ {k\pi ,\,\,\arctan \frac{1}{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án D:
\(S = \left\{ {k2\pi ,\,\,\arctan \frac{2}{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Câu hỏi 24
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Giải phương trình \(2\sin 2x - \cos 2x = 7\sin x + 2\cos x - 4\) .
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,2\sin 2x - \cos 2x = 7\sin x + 2\cos x - 4\\ \Leftrightarrow 4.\sin x.\cos x - 1 + 2{\sin ^2}x - 7\sin x - 2\cos x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {4\sin x\cos x - 2\cos x} \right) + \left( {2{{\sin }^2}x - 7\sin x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2.\cos x.\left( {2\sin x - 1} \right) + \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\sin x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right).\left( {2\cos x + \sin x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2\cos x + \sin x = 3\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)
+) Xét \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \,\,\,\,\,\end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
+) Xét \(\left( 2 \right):\,\,\sin x + 2\cos x = 3\).
Ta có: \(\sqrt {{A^2} + {B^2}} = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 < \sqrt {{3^2}} = 3 \Rightarrow \) Phương trình (2) vô nghiệm.
Vậy \(S = \left\{ {\frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn D.
Đáp án A:
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{6} + k\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án B:
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi ;\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án C:
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{3} + k\pi ;\frac{{2\pi }}{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án D:
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Câu hỏi 25
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Giải phương trình \(3\left( {\tan x + \cot x} \right) = 2\left( {2 + \sin 2x} \right).\)
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}3\left( {\tan x + \cot x} \right) = 2\left( {2 + \sin 2x} \right)\,\,\,\,\left( {x \ne \dfrac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow 3\left( {\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} + \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}} \right) = 2\left( {2 + 2\sin x.\cos x} \right) \\ \Leftrightarrow 3.\dfrac{1}{{\sin x.\cos x}} = 4\left( {1 + \sin x.\cos x} \right)\end{array}\)
Đặt \(\sin x.cosx = t\,\,\,\,\left( {t \ne 0} \right)\), khi đó phương trình trở thành:
\(\begin{array}{l}3.\dfrac{1}{t} = 4\left( {1 + t} \right) \Leftrightarrow - 4{t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{1}{2}\\t = \dfrac{{ - 3}}{2}\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x.\cos x = \dfrac{1}{2}\\\sin x.\cos x = \dfrac{{ - 3}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{1}{2}\sin 2x = \dfrac{1}{2}\\\dfrac{1}{2}\sin 2x = \dfrac{{ - 3}}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 1\\\sin 2x = - 3\,\,\left( {loai} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
Vậy \(S = \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\pi \,,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Đáp án A:
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + k2\pi ;\,\,\pi + k2\pi } \right\}\)
Đáp án B:
\(S = \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\,\, - \pi + k2\pi } \right\}\)
Đáp án C:
\(S = \left\{ { \frac{\pi }{4} + k\pi } \right\}\)
Đáp án D:
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + k2\pi ;\,\, - \pi + k2\pi } \right\}\)
Câu hỏi 26
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Giải phương trình \(2{\sin ^3}x - \cos 2x + \cos x = 0.\)
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,2{\sin ^3}x - \cos 2x + \cos x = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right).\sin x + \left( { - 2{{\cos }^2}x + \cos x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right).\sin x + \left( {1 - \cos x} \right)\left( {2\cos x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - \cos x} \right)\left[ {2\sin x\left( {1 + \cos x} \right) + 2\cos x + 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 1\,\,\,\left( 1 \right)\\2\sin x + 2\sin x\cos x + 2\cos x + 1 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2\left( {\sin x + \cos x} \right) + 2\sin x\cos x + 1 = 0\end{array}\)
Đặt \(\sin x + \cos x = t\,\,\,\,\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right)\), khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {\sin x + cosx} \right)^2} = {t^2} \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x.\cos x + {\cos ^2}x = {t^2}\\ \Leftrightarrow 1 + 2\sin x.\cos x = {t^2} \Leftrightarrow \sin x.\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\end{array}\)
Phương trình (2) trở thành:
\(\begin{array}{l}2t + 2.\dfrac{{{t^2} - 1}}{2} + 1 = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 2t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - 2\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \sin x + \cos x = 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - \pi }}{4} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\end{array}\)
Vậy \(S = \left\{ { - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \,,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Đáp án A:
\(x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,x = k2\pi \)
Đáp án B:
\(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,x = k2\pi \)
Đáp án C:
\(x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,x = k\pi \)
Đáp án D:
\(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,x = k\pi \)
Câu hỏi 27
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Giải phương trình \({\sin ^3}x + {\cos ^3}x = 2\left( {\sin x + \cos x} \right) - 1.\)
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\sin ^3}x + {\cos ^3}x = 2\left( {\sin x + \cos x} \right) - 1\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x.\cos x} \right) - 2\left( {\sin x + \cos x} \right) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( { - 1 - \sin x.\cos x} \right) + 1 = 0\end{array}\)
Đặt \(\sin x + \cos x = t\,\,\,\,\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right)\), khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {\sin x + cosx} \right)^2} = {t^2} \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x.\cos x + {\cos ^2}x = {t^2}\\ \Leftrightarrow 1 + 2\sin x.\cos x = {t^2} \Leftrightarrow \sin x.\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\end{array}\)
Phương trình trở thành:
\(\begin{array}{l} \Rightarrow t\left( { - 1 - \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow t\left( { - {t^2} - 1} \right) + 2 = 0 \Leftrightarrow - {t^3} - t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1\\ \Leftrightarrow \sin x + cosx = 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy \(S = \left\{ {k2\pi ,\,\,\dfrac{\pi }{2} + k2\pi \,,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Đáp án A:
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ;\,\,\pi + k\pi } \right\}\)
Đáp án B:
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\,\,\pi + k2\pi } \right\}\)
Đáp án C:
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\,\,k2\pi } \right\}\)
Đáp án D:
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ;\,\,\,k\pi } \right\}\)
Câu hỏi 28
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Giải phương trình \(\left( {1 + \tan x} \right)\left( {1 + \sin 2x} \right) = 1 + \tan x.\)
Lời giải chi tiết :
ĐK: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\) \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {1 + \tan x} \right)\left( {1 + \sin 2x} \right) = 1 + \tan x.\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \tan x} \right)\left( {1 + \sin 2x} \right) - \left( {1 + \tan x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \tan x} \right)\left( {1 + \sin 2x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \tan x} \right).sin2x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 + \tan x = 0\\\sin 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = - 1\\\sin 2x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - \pi }}{4} + k\pi \\2x = k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - \pi }}{4} + k\pi \,\,\left( {tm} \right)\\x = \frac{{k\pi }}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy \(S = \left\{ { - \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,\frac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn A.
Đáp án A:
\(S = \left\{ { - \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,\frac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án B:
\(S = \left\{ { - \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án C:
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,\frac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án D:
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Câu hỏi 29
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Giải phương trình \(\left| {\cos x - \sin x} \right| + 6\sin x\cos x = 1.\)
Lời giải chi tiết :
\(\left| {\cos x - \sin x} \right| + 6\sin x\cos x = 1. \Leftrightarrow \left| {\sin x - \cos x} \right| + 6\sin x.\cos x = 1\,\,\,\left( * \right)\)
Đặt \(\sin x - \cos x = t\,\,\,\,\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right)\), khi đó ta có:
\({\left( {\sin x - \cos x} \right)^2} = {t^2} \Leftrightarrow 1 - 2\sin x.\cos x = {t^2} \Leftrightarrow \sin x.\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{2}\).
Phương trình trở thành: \(\left| t \right| + 6\left( {\dfrac{{1 - {t^2}}}{2}} \right) = 1 \Leftrightarrow \left| t \right| + 3 - 3{t^2} = 1\,\,\,\left( 1 \right)\)
TH1: \(0 \le t \le \sqrt 2 \).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow - 3{t^2} + t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{ - 2}}{3}\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \sin x - \cos x = 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
TH2: \( - \sqrt 2 \le t < 0\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow - 3{t^2} - t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{2}{3}\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = - 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \sin x - \cos x = - 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = - 1\\ \Leftrightarrow sin\left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{4} = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy \(S = \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2};\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Đáp án A:
\(S = \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\,\,k2\pi } \right\}\)
Đáp án B:
\(S = \left\{ {\pi + k2\pi ;\,\,k2\pi } \right\}\)
Đáp án C:
\(S = \left\{ {\pi + k\pi ;\,\,k\pi } \right\}\)
Đáp án D:
\(S = \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2};\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Câu hỏi 30
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Giải phương trình \(\cos x\sin x + \left| {\cos x + \sin x} \right| = 1.\)
Lời giải chi tiết :
\(\cos x\sin x + \left| {\cos x + \sin x} \right| = 1 \Leftrightarrow \cos x\sin x + \left| {\sin x + \cos x} \right| = 1\,\,\left( 1 \right)\)
Đặt \(\left| {\sin x + \cos x} \right| = t\,\,\,\,\left( {0 \le t \le \sqrt 2 } \right)\), khi đó ta có:
\({\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = {t^2} \Leftrightarrow 1 + 2\sin x.cosx = {t^2} \Leftrightarrow \sin x.cosx = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\)
Khi đó phương trình trở thành: \(\dfrac{{{t^2} - 1}}{2} + t = 1 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - 3\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {\sin x + \cos x} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 1\\\sin x + \cos x = - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1\\\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{4} = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \pi + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy \(S = \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Đáp án A:
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ;\,\,\pi + k\pi } \right\}\)
Đáp án B:
\(S = \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Đáp án C:
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\,\,k2\pi } \right\}\)
Đáp án D:
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ;\,\,\,k\pi } \right\}\)
Câu hỏi 31
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Giải phương trình \(4\sin x\cos x + 1 = \cos x - \sin x.\)
Lời giải chi tiết :
\(4\sin x.\cos x + 1 = \cos x - \sin x \Leftrightarrow \sin x - \cos x + 4\sin x.\cos x + 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\)
Đặt \(\sin x - \cos x = t\,\,\,\,\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right)\), khi đó ta có:
\({\left( {\sin x - \cos x} \right)^2} = {t^2} \Leftrightarrow 1 - 2\sin x.\cos x = {t^2} \Leftrightarrow \sin x.\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{2}\).
Phương trình trở thành:
\(\begin{array}{l} \Rightarrow (*) \Leftrightarrow t + 4\left( {\dfrac{{1 - {t^2}}}{2}} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow - 2{t^2} + t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{3}{2}\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = - 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\t = - 1 \Leftrightarrow \sin x - \cos x = - 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = - 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {\dfrac{{ - \pi }}{4}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{4} = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy \(S = \left\{ {k2\pi ;\dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Đáp án A:
\(S = \left\{ {k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right\}\)
Đáp án B:
\(S = \left\{ {k\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k\pi } \right\}\)
Đáp án C:
\(S = \left\{ {k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right\}\)
Đáp án D:
\(S = \left\{ {k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right\}\)
Câu hỏi 32
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Giải phương trình \({\tan ^2}x + {\cot ^2}x + 2\tan x + 2\cot x = 6.\)
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{\tan ^2}x + {\cot ^2}x + 2\tan x + 2cotx = 6\,\,\,\left( {x \ne \dfrac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Rightarrow {\tan ^2}x + \dfrac{1}{{{{\tan }^2}x}} + 2\left( {\tan x + \dfrac{1}{{\tan x}}} \right) = 6\end{array}\)
Đặt \(\tan x + \dfrac{1}{{\tan x}} = t \Leftrightarrow {\tan ^2}x + \dfrac{1}{{{{\tan }^2}x}} + 2\tan x.\dfrac{1}{{\tan x}} = {t^2} \Leftrightarrow {\tan ^2}x + \dfrac{1}{{{{\tan }^2}x}} = {t^2} - 2\)
Thế vào phương trình ta có:
\(\begin{array}{l}{t^2} - 2 + 2t = 6 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = - 4\end{array} \right.\\ + )\,\,t = 2 \Leftrightarrow \tan x + \dfrac{1}{{\tan x}} = 2 \Leftrightarrow {\tan ^2}x - 2\tan x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\,\,\left( {tm} \right)\\ + )\,\,\,t = - 4 \Leftrightarrow \tan x + \dfrac{1}{{\tan x}} = - 4 \Leftrightarrow {\tan ^2}x + 4\tan x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\mathop{\rm tanx}\nolimits} = - 2 + \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - \pi }}{{12}} + k\pi \\{\mathop{\rm tanx}\nolimits} = - 2 - \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
Vậy \(S = \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,\dfrac{{ - \pi }}{{12}} + k\pi ;\,\,\dfrac{{ - 5\pi }}{{12}} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Đáp án A:
\(S = \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,\dfrac{{ - \pi }}{{12}} + k\pi ;\,\,\dfrac{{ - 5\pi }}{{12}} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Đáp án B:
\(S = \left\{ {-\dfrac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,\dfrac{{ - \pi }}{{12}} + k\pi ;\,\,\dfrac{{ - 5\pi }}{{12}} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Đáp án C:
\(S = \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,\dfrac{{ \pi }}{{12}} + k\pi ;\,\,\dfrac{{ - 5\pi }}{{12}} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Đáp án D:
\(S = \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,\dfrac{{ \pi }}{{12}} + k\pi ;\,\,\dfrac{{ 5\pi }}{{12}} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Câu hỏi 33
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Giải phương trình \(\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right) - 1 = \sin x\cos x.\)
Lời giải chi tiết :
\(\sqrt 2 \left( {\sin x + cosx} \right) - 1 = \sin x.cosx\,\,\,\left( * \right)\)
Đặt ,\(\sin x + \cos x = t\,\,\,\,\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right)\) khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {\sin x + cosx} \right)^2} = {t^2} \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x.\cos x + {\cos ^2}x = {t^2}\\ \Leftrightarrow 1 + 2\sin x.\cos x = {t^2} \Leftrightarrow \sin x.\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\end{array}\)
Phương trình trở thành:
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \sqrt 2 t - 1 = \frac{{{t^2} - 1}}{2} \Leftrightarrow {t^2} - 2\sqrt 2 t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1 + \sqrt 2 \,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\
t = - 1 + \sqrt 2 \,\,\left( {tm} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \sin x + \cos x = - 1 + \sqrt 2 \\
\Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \alpha \,\,\,\,\,\left( {Voi\,\,\sin \alpha = \frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }}} \right)\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + \frac{\pi }{4} = \alpha + k2\pi \\
x + \frac{\pi }{4} = \pi - \alpha + k2\pi
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \alpha - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
x = \frac{{3\pi }}{4} - \alpha + k2\pi
\end{array} \right.\left( {k \in } \right)
\end{array}\)
Đáp án A:
\(S = \left\{ {\alpha - \frac{\pi }{4} + k\pi ;\frac{{3\pi }}{4} - \alpha + k\pi } \right\}\)
Đáp án B:
\(S = \left\{ {\alpha - \frac{\pi }{4} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{4} - \alpha + k2\pi } \right\}\)
Đáp án C:
\(S = \left\{ {\alpha - \frac{\pi }{4} + k2\pi ;\alpha - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi } \right\}\)
Đáp án D:
\(S = \left\{ {\alpha - \frac{\pi }{4} + k\pi ;\alpha - \frac{{3\pi }}{4} + k\pi } \right\}\)
Câu hỏi 34
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
\(7\cos x = 4{\cos ^3}x + 4\sin 2x.\)
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}7\cos x = 4{\cos ^3}x + 4\sin 2x \\ \Leftrightarrow 7\cos x - 4{\cos ^3}x - 8\sin x.\cos x = 0\\ \Leftrightarrow \cos x\left( {7 - 4{{\cos }^2}x - 8\sin x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\7 - 4{\cos ^2}x - 8\sin x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\7 - 4\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) - 8\sin x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\\sin x = \frac{3}{2}(L)\\\sin x = \frac{1}{2}(TM)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)
Chọn B.
Đáp án A:
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Đáp án B:
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Đáp án C:
\(\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Đáp án D:
\(\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Câu hỏi 35
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
\({\cos ^3}x + 2\sin x{\cos ^2}x - 3{\sin ^3}x = 0.\)
Lời giải chi tiết :
\({\cos ^3}x + 2{\mathop{\rm sinx}\nolimits} .co{s^2}x - 3{\sin ^3}x = 0(1)\)
+Xét \(\cos x = 0 \Rightarrow (1) \Leftrightarrow {\mathop{\rm sinx}\nolimits} = 0(L)\)
+Xét \(\cos x \ne 0\)
Chia 2 vế của (1) cho \({\cos ^3}x\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow (1) \Leftrightarrow 1 + 2{\mathop{\rm tanx}\nolimits} - 3ta{n^3}x = 0\\ \Leftrightarrow {\mathop{\rm tanx}\nolimits} = 1\\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\end{array}\)
Chọn A.
Đáp án A:
\(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Đáp án B:
\(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Đáp án C:
\(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Đáp án D:
\(x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Câu hỏi 36
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
\(3{\cos ^4}x - 4{\sin ^2}x{\cos ^2}x + {\sin ^4}x = 0.\)
Lời giải chi tiết :
\(3{\cos ^4}x - 4{\sin ^2}x.{\cos ^2}x + {\sin ^4}x = 0\)
+ Xét \(\cos x = 0 \Rightarrow {\sin ^4}x = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
+ Xét \(\cos x \ne 0\). Chia cả 2 vế cho \({\cos ^4}x\)
\(\begin{array}{l}3 -4 {\tan ^2}x + {\tan ^4}x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\tan ^2}x = 3\\{\tan ^2}x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \\x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Chọn D.
Đáp án A:
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Đáp án B:
\(\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array} \right.\)
Đáp án C:
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Đáp án D:
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \\x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Câu hỏi 37
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Giải phương trình: \({\sin ^4}x + {\sin ^4}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) + {\cos ^4}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{9}{8}\)
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}{\sin ^4}x + {\sin ^4}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) + {\cos ^4}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{9}{8}\\ \Leftrightarrow {\sin ^4}x + {\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\sin \,x + \cos x} \right)} \right]^4} + {\left[ { - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\sin \,x - \cos x} \right)} \right]^4} = \dfrac{9}{8}\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^4}x + {\left( {\sin \,x + \cos x} \right)^4} + {\left( {\sin \,x - \cos x} \right)^4} = \dfrac{9}{2}\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^4}x + {\left[ {{{\left( {\sin \,x + \cos x} \right)}^2}} \right]^2} + {\left[ {{{\left( {\sin \,x - \cos x} \right)}^2}} \right]^2} = \dfrac{9}{2}\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^4}x + {\left( {1 + \sin 2x} \right)^2} + {\left( {1 - \sin 2x} \right)^2} = \dfrac{9}{2}\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^4}x + 2{\sin ^2}2x - \dfrac{5}{2} = 0\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^4}x + 8{\sin ^2}x.{\cos ^2}x - \dfrac{5}{2} = 0\end{array}\)
Đặt \({\sin ^2}x = t\,\,\,\,\left( {\left| t \right| \le 1} \right)\)
\(\begin{array}{l}4{t^2} - 8t\left( {1 - t} \right) - \dfrac{5}{2} = 0 \Leftrightarrow - 4{t^2} + 8t - \dfrac{5}{2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{4 + \sqrt 6 }}{4}\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = \dfrac{{4 - \sqrt 6 }}{4}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x = \dfrac{{4 - \sqrt 6 }}{4} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {1 - \cos 2x} \right) = \dfrac{{4 - \sqrt 6 }}{4}\\ \Leftrightarrow \cos 2x = \dfrac{{ - 2 + \sqrt 6 }}{2} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{1}{2}\arccos \dfrac{{ - 2 + \sqrt 6 }}{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Đáp án A:
\(x = \dfrac{1}{2}\arccos \dfrac{{ - 2 + \sqrt 6 }}{2} + k\pi \)
Đáp án B:
\(x = \pm \dfrac{1}{2}\arccos \dfrac{{ - 2 + \sqrt 6 }}{2} + k\pi \)
Đáp án C:
\(x = - \dfrac{1}{2}\arccos \dfrac{{ - 2 + \sqrt 6 }}{2} + k\pi \)
Đáp án D:
\(x = \pm \dfrac{1}{2}\arccos \dfrac{{ - 2 + \sqrt 6 }}{2} + k2\pi \)
Câu hỏi 38
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Giải phương trình \(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\cos 2x + 2\sin x + 1} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\)
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\cos 2x + 2\sin x + 1} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\\ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2 - 4{{\sin }^2}x + 2\sin x + 1} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\\ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( { - 4{{\sin }^2}x + 2\sin x + 3} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\\ \Leftrightarrow - 8{\sin ^3}x + 4{\sin ^2}x + 6\sin x + 4{\sin ^2}x - 2\sin x - 3 = 3 - 4{\cos ^2}x\\ \Leftrightarrow - 8{\sin ^3}x + 8{\sin ^2}x + 4\sin x - 3 = 3 - 4\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow - 8{\sin ^3}x + 8{\sin ^2}x + 4\sin x - 3 = 3 - 4 + 4{\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow - 8{\sin ^3}x + 4{\sin ^2}x + 4\sin x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\\sin x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\\sin x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\x = \frac{{ - \pi }}{4} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Hợp nghiệm \( \Rightarrow S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2};\frac{\pi }{6} + k2\pi ,\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,\,\,\kappa \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn A.
Đáp án A:
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2};\frac{\pi }{6} + k2\pi ,\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,\,\,\kappa \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án B:
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + \frac{{k\pi }}{2};\frac{\pi }{6} + k2\pi ,\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án C:
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2};\frac{\pi }{3} + k2\pi ,\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,\,\,\kappa \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án D:
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + \frac{{k\pi }}{2};\frac{\pi }{3} + k2\pi ,\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,\,\,\kappa \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Câu hỏi 39
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Cho phương trình \(\left( {2m + 1} \right){\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x - \left( {3m - 1} \right)\sin 2x - 3m + 1 = 0\)(\(m\) là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\).
Phương pháp giải :
Đặt ẩn phụ, tìm nghiệm phương trình bậc 2 rồi tìm m.
Lời giải chi tiết :
Ta có\(\left( {2m + 1} \right){\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x - \left( {3m - 1} \right)\sin 2x - 3m + 1 = 0\,\,\left( * \right)\).
Đặt \(t = \sin 2x \Rightarrow - 1 \le t \le 1\left( {x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)} \right)\)
Khi đó phương trình (*) có dạng:
\(\begin{array}{l}\left( {2m + 1} \right)\left( {1 - {t^2}} \right) - \left( {3m - 1} \right)t - 3m + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2m + 1} \right){t^2} + \left( {3m - 1} \right)t + m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {\left( {2m + 1} \right)t + m - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\\left( {2m + 1} \right)t + m - 2 = 0\end{array} \right.\end{array}\)
Nếu:\(t = - 1\,\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow \sin 2x = - 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x = \dfrac{{ - \pi }}{2} + k2\pi \left( {k \in {\rm Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - \pi }}{4} + k\pi \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{ - 3}}{4} < k < \dfrac{5}{4} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}\end{array}\)
Khi đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt là \(\dfrac{{ - \pi }}{4};\dfrac{{3\pi }}{4}\)
+)\(\left( {2m + 1} \right)t = 2 - m\,\,\left( 1 \right)\).
Nếu \(m = \dfrac{{ - 1}}{2};(1) \Rightarrow m = 2\,\,\left( {ktm} \right)\)
\( \Rightarrow m \ne \dfrac{{ - 1}}{2} \Rightarrow t = \dfrac{{2 - m}}{{2m + 1}}\)
Để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt thì
\(\left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{2 - m}}{{2m + 1}} = - 1\\t < - 1\\t > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 3\\\dfrac{{m + 3}}{{2m + 1}} < 0 \Leftrightarrow - 3 < m < \dfrac{{ - 1}}{2} \Leftrightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1} \right\}\\\dfrac{{3m - 1}}{{2m + 1}} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{2} < m < \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow m = 0\end{array} \right.\)
Vậy có 4 giá trị của \(m\) thỏa mãn.
Chọn B.
Đáp án A:
2
Đáp án B:
4
Đáp án C:
5
Đáp án D:
3
Câu hỏi 40
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) nhỏ hơn \(2018\) để phương trình \(\dfrac{3}{{{{\sin }^2}x}} + 3{\tan ^2}x + \tan x + \cot x = m\) có nghiệm?
Phương pháp giải :
- Sử dụng công thức \(\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x\).
- \(t = \tan x + \cot x\,\,\left( {\left| t \right| \ge 2} \right) \Rightarrow {\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} - 2\).
- Cô lập \(m\), lập BBT của vế còn lại và kết luận
Lời giải chi tiết :
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{3}{{{{\sin }^2}x}} + 3{\tan ^2}x + \tan x + \cot x = m\\ \Leftrightarrow 3\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) + 3{\tan ^2}x + \tan x + \cot x = m\\ \Leftrightarrow 3\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right) + \tan x + \cot x + 3 = m\end{array}\)
Đặt \(t = \tan x + \cot x\,\,\left( {\left| t \right| \ge 2} \right) \Rightarrow {\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} - 2\).
Phương trình trở thành: \(3\left( {{t^2} - 2} \right) + t + 3 = m \Leftrightarrow 3{t^2} + t - 3 = m\).
Yêu cầu bài toán: Tìm \(m\) để phương trình \(3{t^2} + t - 3 = m\) (*) có nghiệm thỏa mãn \(\left| t \right| \ge 2\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = 3{t^2} + t - 3\) ta có BBT:
Phương trình (*) có nghiệm \( \Leftrightarrow m \ge 7\).
Kết hợp điều kiện \(m\) nguyên, \(m < 2018 \Rightarrow \) Có \(2011\) giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn D
Đáp án A:
\(2000\)
Đáp án B:
\(2001\)
Đáp án C:
\(2010\)
Đáp án D:
\(2011\)