105 bài tập phương pháp quy nạp toán học

Với n = 0 ta có: S = 1

Với n = 1 ta có S = 1 – 2 + 3 = 2

Với n = 2 ta có S = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 = 3

Dự đoán S = n + 1 (*), ta sẽ chứng minh (*) đúng bằng quy nạp.

Với n = 0 đương nhiên (*) đúng.

Giả sử (*) đúng với n = k, tức là \({S_k} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2k + \left( {2k + 1} \right) = k + 1\), ta chứng minh (*) đúng với n = k + 1.

Ta có:

\(\eqalign{  & {S_{k + 1}} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2\left( {k + 1} \right) + \left( {2\left( {k + 1} \right) + 1} \right)  \cr   &  = \left( {1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2k + 2k + 1} \right) - \left( {2k + 2} \right) + \left( {2k + 3} \right) = {S_k} - \left( {2k + 2} \right) + \left( {2k + 3} \right) = k + 1 + 1. \cr} \).

Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên n. Tức là S = n + 1.

Chọn D.

Với n = 0 ta có: \({S_0} = 3\) chia hết cho 3, ta chứng minh \({S_n} = {n^3} + 3{n^2} + 5n + 3\) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n.

Giả sử mệnh đề trên đúng đến n = k, tức là \({S_k} = {k^3} + 3{k^2} + 5k + 3\) chia hết cho 3, ta chứng minh mệnh đề trên đúng đến n = k + 1, tức là \({S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 3{\left( {k + 1} \right)^2} + 5\left( {k + 1} \right) + 3\) cũng chia hết cho 3.

Ta có:

\(\eqalign{  & {S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 3{\left( {k + 1} \right)^2} + 5\left( {k + 1} \right) + 3 = {k^3} + 6{k^2} + 14k + 12  \cr   &  = {k^3} + 3{k^2} + 5k + 3 + 3{k^2} + 9k + 9 = \left( {{k^3} + 3{k^2} + 5k + 3} \right) + 3\left( {{k^2} + 3k + 3} \right) \cr} \)

Có: \({S_k} = {k^3} + 3{k^2} + 5k + 3\) chia hết cho 3 theo giả thiết quy nạp, \(3\left( {{k^2} + 3k + 3} \right)\,\, \vdots \,\,3\), do đó \({S_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,3\).

Vậy \({S_n}\,\, \vdots \,\,3\) với mọi số tự nhiên n.

Chọn A.

Với n = 1 ta có:\({S_1} = {1^3} + 2.1 = 3\) chia hết cho 3, ta sẽ chứng minh S­_n­ chia hết cho 3 với mọi n.

Giả sử khẳng định trên đúng đến n = k, tức là \({S_k} = {k^3} + 2k\) chia hết cho 3, ta chứng minh \({S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 2\left( {k + 1} \right)\) cũng chia hết cho 3.

Ta có: \({S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 2\left( {k + 1} \right) = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 2k + 2 = \left( {{k^3} + 2k} \right) + 3\left( {{k^2} + k + 1} \right)\)

Có: \(\left( {{k^3} + 2k} \right)\,\, \vdots \,\,3\) (theo giả thiết quy nạp), \(3\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow 3\left( {{k^2} + k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow {S_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,3.\)

Vậy S_n chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương n.

Chọn A.

Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến \(A\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge p\) ( p là một số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với \(n = p\)        

Chọn A.

Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến \(A\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge p\) ( p là một số tự nhiên). Ở bước 3 ta chứng minh mệnh đề \(A\left( n \right)\) đúng với \(n = k + 1\;\;\,(k \ge p).\)

Chọn D

Chỉ có bước 2, 3 đúng vì bước 1 phải là kiểm tra mệnh đề \(A\left( n \right)\) đúng với \(n = p\) .

Chọn B.

Khi n = 2 thì S = 1.2 = 2 \(=\frac{2\left( {{2}^{2}}-1 \right)}{3}\)

Khi n = 3 thì S = 1.2 + 2.3 = 8 \(=\frac{3\left( {{3}^{2}}-1 \right)}{3}\)

Khi n = 4 thì S = 1.2 +2.3 + 3.4 = 20\(=\frac{4\left( {{4}^{2}}-1 \right)}{3}\)

Dự đoán công thức: \(S=\frac{n\left( {{n}^{2}}-1 \right)}{3}\)

Ta chứng minh công thức trên đúng bằng phương pháp quy nạp.

Khi n = 2 thì công thức trên đúng.

Giả sử công thức trên đúng đến n = k, tứ là \(1.2+2.3+...+\left( k-1 \right)k=\frac{k\left( {{k}^{2}}-1 \right)}{3}\)

Ta chứng minh công thức trên đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh

\(1.2+2.3+...+\left( k-1 \right)k+k\left( k+1 \right)=\frac{\left( k+1 \right)\left[ {{\left( k+1 \right)}^{2}}-1 \right]}{3}\)

Từ giả thiết quy nạp ta có :

\(\begin{array}{l}1.2 + 2.3 + ... + \left( {k - 1} \right)k + k\left( {k + 1} \right) = \frac{{k\left( {{k^2} - 1} \right)}}{3} + k\left( {k + 1} \right) = \frac{{k\left( {{k^2} - 1} \right) + 3k\left( {k + 1} \right)}}{3}\\ = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k - 1} \right) + 3k\left( {k + 1} \right)}}{3} = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k - 1 + 3} \right)}}{3} = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{3}\\ = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 2k} \right)}}{3} = \frac{{\left( {k + 2} \right)\left[ {{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]}}{3}\end{array}\)

Vậy công thức trên đúng với n = k + 1 hay dự đoán ban đầu là đúng.

Vậy \(S = \frac{{n\left( {{n^2} - 1} \right)}}{3}\)

Chọn D.

Với n = 1 ta có: S = 1.

Với n = 2 ta có \(S = {1^3} + {2^3} = 9\), loại đáp án A, B và C.

Ta chứng minh đẳng thức ở đáp án D đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Giả sử đẳng thức đúng đến n = k, tức là \({S_k} = {1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {k^3} = {\left[ {{{k\left( {k + 1} \right)} \over 2}} \right]^2}\), ta chứng minh đẳng thức đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh \({S_{k + 1}} = {1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {\left( {k + 1} \right)^3} = {\left[ {{{\left( {k + 1} \right)\left( {\left( {k + 1} \right) + 1} \right)} \over 2}} \right]^2} = {\left[ {{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \over 2}} \right]^2}\)

Ta có: \({S_{k + 1}} = {1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {k^3} + {\left( {k + 1} \right)^3} = {\left[ {{{k\left( {k + 1} \right)} \over 2}} \right]^2} + {\left( {k + 1} \right)^3} = {{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left( {{k^2} + 4k + 4} \right)} \over 4} = {{{{\left( {k + 1} \right)}^2}{{\left( {k + 2} \right)}^2}} \over 4} = {\left[ {{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \over 2}} \right]^2}.\) Vậy đẳng thức đúng với mọi số nguyên dương n.

Chọn D.

Với n = 1 ta có: \({S_1} = 1\), loại đáp án A và B.

Ta chứng minh đáp án C đúng với mọi \(n \in N*\) bằng phương pháp quy nạp toán học.

Giả sử \({S_n} = {1^2} + {3^2} + ... + {\left( {2n - 1} \right)^2} = {{n\left( {4{n^2} - 1} \right)} \over 3}\,\,\left( * \right)\) đúng đến n = k, tức là \({S_k} = {1^2} + {3^2} + ... + {\left( {2k - 1} \right)^2} = {{k\left( {4{k^2} - 1} \right)} \over 3}\), ta chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh:

\({S_{k + 1}} = {1^2} + {3^2} + ... + {\left( {2\left( {k + 1} \right) - 1} \right)^2} = {{\left( {k + 1} \right)\left[ {4{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]} \over 3}\)

Ta có:

\(\eqalign{  & {S_{k + 1}} = {1^2} + {3^2} + ... + {\left( {2\left( {k + 1} \right) - 1} \right)^2} = {1^2} + {3^2} + ... + {\left( {2k + 1} \right)^2} = {1^2} + {3^2} + ... + {\left( {2k - 1} \right)^2} + {\left( {2k + 1} \right)^2}  \cr   &  = {{k\left( {4{k^2} - 1} \right)} \over 3} + {\left( {2k + 1} \right)^2} = {{k\left( {2k + 1} \right)\left( {2k - 1} \right) + 3{{\left( {2k + 1} \right)}^2}} \over 3} = {{\left( {2k + 1} \right)\left( {2{k^2} - k + 6k + 3} \right)} \over 3}  \cr   &  = {{\left( {2k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 3} \right)} \over 3} = {{\left( {k + 1} \right)\left( {4{k^2} + 8k + 3} \right)} \over 3} = {{\left( {k + 1} \right)\left[ {4{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]} \over 3}. \cr} \)

Vậy đẳng thức (*) đúng với mọi \(n \in N*\).

Chọn C.

Với n = 1 ta có \({13^1} - 1 = 12\,\, \vdots \,\,6\), ta sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh \({S_n} = {13^n} - 1\) chia hết cho 6 với mọi \(n \in N*\).

Giả sử khẳng đinh trên đúng đến n = k, tức là \({S_k} = {13^k} - 1\,\, \vdots \,\,6,\)  ta chứng minh đúng đến n = k + 1, tức là \({S_{k + 1}} = {13^{k + 1}} - 1\) cũng chia hết cho 6.

Ta có: \({S_{k + 1}} = {13^{k + 1}} - 1 = {13.13^k} - 1 = {13.13^k} - 13 + 12 = 13\left( {{{13}^k} - 1} \right) + 12\).

Theo giả thiết quy nạp ta có: \({S_k} = {13^k} - 1\,\, \vdots \,\,6,\) mà \(12\,\, \vdots \,\,6 \Rightarrow {S_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,6.\)

Vậy \({S_n} = {13^n} - 1\,\, \vdots \,\,6\,\,\forall n \in N*\).

\({S_3} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} = \frac{1}{5} + \frac{1}{{45}} + \frac{1}{{117}} = \frac{3}{{13}}.\)

Chọn C.

Thiếu bước 1 là kiểm tra với \(n = 1\), khi đó ta có \({8^1} + 1 = 9\) không chia hết cho 7.

Chọn D.

Ta có sau 1 năm tức 12 tháng thì chị X nhận được số tiền là:\(T = A{\left( {1 + r\% } \right)^{12}}\)

Chị X gửi ngân hàng 20 triệu đồng với lãi suất \(0,5\% \) thì \(\left\{ \begin{array}{l}A = {20.10^6}\\r = 0,5\% \end{array} \right.\)

Khi đó \(T = {20.10^6}{\left( {1 + 0,5\% } \right)^{12}} = 21234000\).

Chọn C.

Với n = 2 ta có: \({3^2} = 9 > 3.2 + 2\)

Ta chứng minh đáp án C đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Bất đẳng thức đúng với n = 2, giả sử bất đẳng thức đúng đến n = k, tức là \({3^k} > 3k + 2\), ta chứng minh bất đẳng thức đúng đến n = k + 1, tức là cần phải chứng minh \({3^{k + 1}} > 3\left( {k + 1} \right) + 2 = 3k + 5\)

Ta có: \({3^{k + 1}} = {3.3^k} > 3\left( {3k + 2} \right) = 9k + 6 > 3k + 5\). Vậy bất đằng thức đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\)

Chọn C.

Với n = 1 ta có: \({S_1} = 5.2 + {3^2} = 19\,\, \vdots \,\,19\)

Ta sẽ chứng minh S_n chia hết cho 19 với mọi số nguyên dương n.

Giả sử khẳng định trên đúng đến n = k, tức là \({S_k} = {5.2^{3k - 2}} + {3^{3k - 1}}\) chia hết cho 19, ta chứng minh \({S_{k + 1}} = {5.2^{3\left( {k + 1} \right) - 2}} + {3^{3\left( {k + 1} \right) - 1}}\) cũng chia hết cho 19.

Ta có:

\(\eqalign{  & {S_{k + 1}} = {5.2^{3\left( {k + 1} \right) - 2}} + {3^{3\left( {k + 1} \right) - 1}} = {5.2^{3k - 2 + 3}} + {3^{3k - 1 + 3}} = {5.2^{3k - 2}}{.2^3} + {3^{3k - 1}}{.3^3} = {8.5.2^{3k - 2}} + {27.3^{3k - 1}}  \cr   &  = {8.5.2^{3k - 2}} + {8.3^{3k - 1}} + {19.2^{3k - 1}} = 8\left( {{{5.2}^{3k - 2}} + {3^{3k - 1}}} \right) + {19.2^{3k - 1}} \cr} \)

Có \(\left( {{{5.2}^{3k - 2}} + {3^{3k - 1}}} \right)\,\, \vdots \,\,19\) (giả thiết quy nạp), \(19\,\, \vdots \,\,19 \Rightarrow {19.2^{3k - 1}}\,\, \vdots \,\,19 \Rightarrow {S_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,19.\)

Vậy S_n chia hết cho19 với mọi số nguyên dương n.

Chọn D.

Với n = 2 ta có: \({1 \over {2 + 1}} + {1 \over {2 + 2}} = {7 \over {12}} \Rightarrow \) Loại được các đáp án A, B, C. Ta chứng minh \({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {2n}} > {{13} \over {24}}\) đúng với mọi số nguyên dương n > 1.

Bất đẳng thức đúng với n = 2. Giả sử bất đẳng thức đúng đến n = k, tức là  \({1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} > {{13} \over {24}}\), ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là cần phải chứng minh \({1 \over {k + 2}} + {1 \over {k + 3}} + ... + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)}} > {{13} \over {24}}\)

Ta có:

\(\eqalign{  & {1 \over {k + 2}} + {1 \over {k + 3}} + ... + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)}} = {1 \over {k + 2}} + {1 \over {k + 3}} + ... + {1 \over {k + 1 + k - 1}} + {1 \over {k + 1 + k}} + {1 \over {k + 1 + k + 1}}  \cr   &  > {{13} \over {24}} - {1 \over {k + 1}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2k + 2}}. \cr} \)

Cần chứng minh \( - {1 \over {k + 1}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2k + 2}} > 0\)

Ta có:

\(\eqalign{  &  - {1 \over {k + 1}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2k + 2}} = {{ - 4{k^2} - 6k - 2 + 2{k^2} + 4k + 2 + 2{k^2} + 3k + 1} \over {\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)\left( {2k + 2} \right)}}  \cr   &  = {{k + 1} \over {\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)\left( {2k + 2} \right)}} = {1 \over {\left( {2k + 1} \right)\left( {2k + 2} \right)}} > 0  \cr   &  \Rightarrow  - {1 \over {k + 1}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2k + 2}} > 0  \cr   &  \Rightarrow {{13} \over {24}} - {1 \over {k + 1}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2k + 2}} > {{13} \over {24}} \cr} \)

Bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Chọn D.

Đặt \({S_n} = 1.1! + 2.2! + 3.3!... + n.n!\)  

Ta thấy: \({S_1} = 1 = 2! - 1\,\,;\,\,\,\,{S_2} = 5 = 3! - 1\) ;  \({S_3} = 23 = 4! - 1\,\,;\,\,\,\,{S_4} = 119 = 5! - 1\)

\( \Rightarrow \) Dự đoán: \({S_n} = \left( {n + 1} \right)! - 1\,\,\,\left( 1 \right)\)

*) Chứng minh (1) bằng quy nạp:

+ Bước 1: Với \(n = 1 \Rightarrow {S_1} = 1.1! = 1\) (luôn đúng)

+ Bước 2: Giả sử (1) đúng với 1 số tự nhiên bất kỳ \(n = k\,\,\left( {k \ge 1} \right)\) ta có:

\({S_k} = 1.1! + 2.2! + 3.3!... + k.k! = \left( {k + 1} \right)! - 1\) (giả thiết quy nạp)

+ Bước 3: Ta phải chứng minh công thức đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh:

\({S_{k + 1}} = \left( {k + 1 + 1} \right)! - 1 = \left( {k + 2} \right)! - 1\,\,\,\left( 2 \right)\)

Ta có: \({S_{k + 1}} = {S_k} + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)! = \left( {k + 1} \right)! - 1 + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)!\)

\( = \left( {k + 1} \right)!\left( {1 + k + 1} \right) - 1 = \left( {k + 1} \right)!\left( {k + 2} \right) - 1 = \left( {k + 2} \right)! - 1 = VP\)

\( \Rightarrow \left( 2 \right)\) luôn đúng \( \Rightarrow \left( 1 \right)\) được chứng minh. 

\( \Rightarrow S = {S_{2017}} = 2008! - 1\)

Chọn B.

Ta thấy: \({S_1} = \frac{1}{3} = \frac{3}{4} - \frac{5}{{12}}\,\,;\,\,\,\,{S_2} = \frac{5}{9} = \frac{3}{4} - \frac{7}{{36}};\;\;{S_3} = \frac{2}{3} = \frac{3}{4} - \frac{9}{{108}}\,\)  

\( \Rightarrow \) Dự đoán: \({S_n} = \frac{3}{4} - \frac{{2n + 3}}{{{{4.3}^n}}}\,\,\,\left( 1 \right)\)

*) Chứng minh (1)  bằng quy nạp:

+ Bước 1: Với \(n = 1 \Rightarrow {S_1} = \frac{1}{3} = \frac{3}{4} - \frac{5}{{12}}\,\) (luôn đúng)

+ Bước 2: Giả sử (1) đúng với 1 số tự nhiên bất kỳ \(n = k\,\,\left( {k \ge 1} \right)\) ta có:

\({S_k} = \frac{1}{3} + \frac{2}{{{3^2}}} + ... + \frac{k}{{{3^k}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 3}}{{{{4.3}^k}}}\) (giả thiết quy nạp)

+ Bước 3: Ta phải chứng minh công thức đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh:

\({S_{k + 1}} = \frac{3}{4} - \frac{{2\left( {k + 1} \right) + 3}}{{{{4.3}^{k + 1}}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 5}}{{{{4.3}^{k + 1}}}}\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Ta có: \({S_{k + 1}} = {S_k} + \frac{{k + 1}}{{{3^{k + 1}}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 3}}{{{{4.3}^k}}} + \frac{{k + 1}}{{{3^{k + 1}}}}\)

        \( = \frac{3}{4} - \frac{{3\left( {2k + 3} \right) - 4\left( {k + 1} \right)}}{{{{4.3}^{k + 1}}}} = \frac{3}{4} - \frac{{6k + 9 - 4k - 4}}{{{{4.3}^{k + 1}}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 5}}{{{{4.3}^k}}} = VP\)

\( \Rightarrow \left( 2 \right)\) luôn đúng \( \Rightarrow \left( 1 \right)\) được chứng minh.

Chọn D.

+)  Ta chứng minh I) đúng.

Với \(n = 1\), ta có \({u_1} = {1^3} + {3.1^2} + 5.1 = 9 \vdots 3\) đúng.

Giả sử mệnh đề đúng khi \(n = k\,\,\left( {k \ge 1} \right)\), tức là \({u_k} = {k^3} + 3{k^2} + 5k \vdots 3\) .

Ta có \({u_{k + 1}} = \left( {{k^3} + 3{k^2} + 5k} \right) + 3{k^2} + 9k + 9 = {u_k} + 3\left( {{k^2} + 3k + 3} \right) \vdots 3\)

Kết thúc chứng minh.

+) Mệnh đề II) sai vì với \(n = 1\), ta có \(VT = \frac{1}{2} = \frac{{12}}{{24}} > \frac{{13}}{{24}}\)  Vô lý.

Chọn A

Với \(n = 3\)  ta có tổng ba góc trong tam giác bằng \({180^0}.\)

Với \(n = 4\)  ta có tổng bốn góc trong tứ giác bằng \({360^0}.\)

\( \Rightarrow \) Dự đoán: đáp án C

Chứng minh:

\( \bullet \) Với \(n = 3\) ta có tổng ba góc trong tam giác bằng \({180^0}.\)

\( \bullet \) Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với  \(3 \le k < n,\) ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng cho n-giác. Ta có thể chia n-giác bằng một đường chéo thành ra hai đa giác. Nếu số cạnh của một đa giác là \(k+1\), thì số cạnh của đa giác kia là \(n - k + 1,\) hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n. Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác này lần lượt là \(\left( {k - 1} \right){180^0}\) và \(\left( {n - k - 1} \right){180^0}\).

Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là \(\left( k-1+n-k-1 \right){{180}^{0}}=\left( n-2 \right){{180}^{0}}\). 

Suy ra mệnh đề đúng với mọi \(n \ge 3.\)

Chọn C