55 bài tập trắc nghiệm hệ tọa độ trong không gian mức độ nhận biết

Hình vẽ tham khảo

Do \(H\) là trực tâm \(\Delta ABC\Rightarrow AH\bot BC\).

Mặt khác \(OA\bot \left( OBC \right)\)\(\Rightarrow OA\bot BC\)\(\Rightarrow BC\bot \left( OAH \right)\)\(\Rightarrow OH\bot BC\).

Tương tự: \(OH\bot AB\)\(\Rightarrow OH\bot \left( ABC \right)\) hay \(\overrightarrow{OH}=\left( 1;1;-3 \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Hơn nữa, \(\left( P \right)\) đi qua \(H\left( 1;1;-3 \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(x+y-3z-11=0\).

Chọn C

\(\overrightarrow b \) ngược hướng với \(\overrightarrow a \) và \(\left| {\overrightarrow b } \right| = 2\left| {\overrightarrow a } \right|\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow b  =  - 2\overrightarrow a \,\, \Rightarrow \)\(\overrightarrow b  = \left( { - 2;4; - 6} \right)\).

Chọn: D

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 4;3} \right),\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {2; - 1; - 3} \right)\)\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {15;9;7} \right)\).

Chọn A

Ta có : \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow j  - 2\overrightarrow k  = 0.\overrightarrow i  + 1.\overrightarrow j  - 2.\overrightarrow k  \Rightarrow A\left( {0;1; - 2} \right)\).

Chọn A.

\(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = 1.2 + 2.\left( { - 2} \right) + {\log _2}3.{\log _3}2 = 2 - 4 + 1 =  - 1\).

Chọn: B

Gọi tọa độ điểm \(C\left( {x;y;z} \right)\) ta có \(\overrightarrow {OC}  = \left( {x;y;z} \right),\overrightarrow {BA}  = \left( { - 6; - 1; - 1} \right)\).

\(\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {BA}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 6\\y =  - 1\\z =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow C\left( { - 6; - 1; - 1} \right)\).

Chọn A.

Chọn D.

\(\overrightarrow u  = 2\overrightarrow i  - \overrightarrow j  + \overrightarrow k  \Rightarrow \overrightarrow u \left( {2; - 1;1} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt 6 \)

Chọn A

Ta có: \(\overrightarrow {OM}  = 2\overrightarrow i  + \overrightarrow j \) nên \(M\left( {2;1;0} \right)\).

Chọn B.

\(M\left( {2; - 4;1} \right)\,;N\left( {3;0; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {1;4; - 2} \right)\).

Chọn: A

Ta có \(\overrightarrow b \left( {2;2;0} \right);\overrightarrow c \left( {1;1;1} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow b .\overrightarrow c  = 2.1 + 2.1 + 0.1 = 4 \ne 0.\)

Suy ra \(\overrightarrow b \) không vuông góc với \(\overrightarrow c \), do đó khẳng định D sai.

Chọn D.

\(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2} + {0^2}}  = \sqrt {25}  = 5.\)

Chọn D.

Khoảng cách từ điểm \(M\left( {1; - 2;5} \right)\) đến trục \(Oz\) là \(d\left( {M;Oz} \right) = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt 5 \).

Chọn A.

Ta có \(M\left( {3; - 4;12} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {OM}  = 3\overrightarrow i  - 4\overrightarrow j  + 12\overrightarrow k \)

Chọn D.

Điểm đối xứng của \(A\left( {4;1; - 2} \right)\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) là điểm \(A'\left( {4; - 1; - 2} \right)\)

Chọn A.

Ta có \(\overrightarrow x  = \overrightarrow i  - 3\overrightarrow j  + 2\overrightarrow k  \Rightarrow \overrightarrow x  = \left( {1; - 3;2} \right)\)

Chọn B.

Gọi \(I\left( {{x_I};\,\,{y_I};\,\,{z_I}} \right)\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow I\left( {1;\,\,1;\, - 1} \right).\)

Chọn A. 

Trong không gian \(Oxyz,\) vecto đơn vị trên trục \(Oy\) là:  \(\overrightarrow j \left( {0;\,\,1;\,\,0} \right).\)

Chọn A.

\(AB = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 + 1} \right)}^2}}  = \sqrt {10} \).

Chọn C.

Hình chiếu của điểm \(M\left( {1; - 3; - 5} \right)\) trên trục Ox là \(M'\left( {1;0;0} \right)\).

Chọn B.

Cho hai vecto \(\overrightarrow u  = \left( {1;\,\,4;\,\,1} \right)\) và \(\overrightarrow v  = \left( { - 1;\,\,1; - 3} \right)\) 

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v } \right) = \dfrac{{1.\left( { - 1} \right) + 4.1 + 1.\left( { - 3} \right)}}{{\sqrt {{1^2} + {4^2} + {1^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = 0\\ \Rightarrow \angle \left( {\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v } \right) = {90^0}.\end{array}\)

Chọn B.

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {0; - 2;0} \right),\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {0; - 1;1} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 2;0;0} \right)\).

Vậy  \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {0^2} + {0^2}}  = 1.\)

Chọn A.

Hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {1; - 2;\,\,3} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là \(A\left( {0;\, - 2;\,\,3} \right).\)

Chọn B.

Ta có \(\overrightarrow {OA}  = 3\overrightarrow i  - 2\overrightarrow j  - 1\overrightarrow k  \Rightarrow A\left( {3; - 2; - 1} \right)\).

Chọn B.

Đáp án A: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - 1.2 + 1.2 + 0.0 = 0\) nên \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b \) hay A đúng.

Đáp án B: \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {0^2}}  = \sqrt 2 \) nên B đúng.

Đáp án C: \(\left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}}  = \sqrt 3 \) nên C đúng.

Đáp án D: \(\overrightarrow c .\overrightarrow b  = 1.2 + 1.2 + 1.0 = 4 \ne 0\) nên \(\overrightarrow c \) và \(\overrightarrow b \) không vuông góc hay D sai.

Chọn D.