120 bài tập hàm số liên tục

Quan sát đồ thị ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = 3;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^{}}} f\left( x \right)\). Do đó hàm số gián đoạn tại điểm x = 1.

Chọn B.

\(f\left( 1 \right) = {1^2} - 1 = 0\)

Ta có \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 + m = 0 \Leftrightarrow m =  - 1\)

Chọn đáp án D

TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ { - 3; - 2} \right\} = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( { - 3; - 2} \right) \cup \left( { - 2; + \infty } \right)\) nên theo định lí 1, hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right);\,\,\left( { - 3; - 2} \right);\,\,\left( { - 2; + \infty } \right)\). Vì \(\left( {2;3} \right) \subset \left( { - 2; + \infty } \right) \Rightarrow \) Hàm số liên tục trên \(\left( {2;3} \right)\).

Chọn B.

\(\left. \matrix{  \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{{x^2}} \over {1 + x}} = 0 \hfill \cr   \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x\cos x} \right) = 0 \hfill \cr   f\left( 0 \right) = {0 \over {1 + 0}} = 0 \hfill \cr}  \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Rightarrow \) Hàm số liên tục tại x = 0.

\(\left. \matrix{  \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {x^3} = 1 \hfill \cr   \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{{x^2}} \over {1 + x}} = {1 \over {1 + 1}} = {1 \over 2} \hfill \cr}  \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \Rightarrow \) Không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) \Rightarrow \) Hàm số không kiên tục tại x = 1.

Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.

Chọn B.

Ta có: \(f\left( { - 2} \right) = 23,\,\,f\left( { - {1 \over 2}} \right) =  - {5 \over 2} \Rightarrow f\left( { - 2} \right).f\left( { - {1 \over 2}} \right) < 0 \Rightarrow \) Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong\(\left( { - 2; - {1 \over 2}} \right) \subset \left( { - 2;0} \right) \Rightarrow \) Đáp án A đúng.

\(f\left( { - {1 \over 2}} \right) =  - {5 \over 2},\,\,f\left( {{1 \over 2}} \right) = {1 \over 2} \Rightarrow f\left( { - {1 \over 2}} \right).f\left( {{1 \over 2}} \right) < 0 \Rightarrow \) Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong\(\left( { - {1 \over 2};{1 \over 2}} \right) \Rightarrow \) Đáp án C đúng.

\(f\left( {{1 \over 2}} \right) = {1 \over 2};\,\,f\left( 1 \right) =  - 1 \Rightarrow f\left( {{1 \over 2}} \right).f\left( 1 \right) < 0 \Rightarrow \) Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong\(\left( {{1 \over 2};1} \right).\)

Mà \(\left( { - 2; - {1 \over 2}} \right) \cap \left( { - {1 \over 2};{1 \over 2}} \right) \cap \left( {{1 \over 2};1} \right) = \emptyset  \Rightarrow \) Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt \( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.

Chọn D.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^3} + 2{x^2}} \over {{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^2}\left( {x + 2} \right)} \over {{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x + 2} \right) = 2\)

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì \(f\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 2\)

Chọn A.

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {1;\,\,2} \right\}.\)

\( \Rightarrow \) Hàm số đã cho liên tục tại mọi điểm thuộc \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {1;\,2} \right\}.\)

Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{1}{{x - 1}}\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{x - 1}} =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{x - 1}} = 1.\end{array}\)

Hàm số đã cho không xác định tại \(x = 1,\,\,x = 2\) nên hàm số gián đoạn tại \(x = 1,\,\,x = 2.\)

Chọn C.

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)

Ta thấy hàm số luôn xác định và liên tục trên tập xác định của nó.

Hàm số không xác định tại điểm \(x = 1  \Rightarrow \) hàm số gián đoạn tại điểm \(x = 1.\)

Vậy các đáp án A, B, C sai.

Chọn D.

Ta có: \(\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-2x}{x-2}=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( x-2 \right)}{x-2}=2;\,\,\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(mx-4)=2m-4\)và  \(f(2)=2m-4\).

Khi đó, để hàm số đã cho liên tục tại \(x=2\) thì \(\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(2)\) \(\Leftrightarrow 2m-4=2\Leftrightarrow m=3\).

Chọn C.

Ta có

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{2\left( {\sqrt {x + 3} - 2} \right)}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt {x + 3} + 2} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{2}{{\left( {\sqrt {x + 3} + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{1}{4}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {a{x^2} + bx + \dfrac{1}{4}} \right) = a + b + \frac{1}{4}\\f\left( 1 \right) = a - b - \dfrac{7}{4}\end{array}\)

Hàm số liên tục tại x = 1 nên ta có 

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} = a + b + \dfrac{1}{4} = a - b - \dfrac{7}{4} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\a - b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow A = 2018a + b = 2018 - 1 = 2017.\end{array}\)

Chọn B.

Ta có: \(\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+5}}{x-4}=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt{2x+1}-\sqrt{x+5} \right)\left( \sqrt{2x+1}+\sqrt{x+5} \right)}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{2x+1}+\sqrt{x+5} \right)}\)

       \(=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-4}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{2x+1}+\sqrt{x+5} \right)}=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\left( \sqrt{2x+1}+\sqrt{x+5} \right)}=\frac{1}{6}.\)

Mà \(f\left( 4 \right)=a+2.\)

\(\Rightarrow \) Hàm số liên tục tại \({{x}_{0}}=4\Leftrightarrow a+2=\frac{1}{6}\Leftrightarrow a=-\frac{11}{6}.\)

Chọn B.

\(\left. \matrix{  \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\tan x} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin x} \over x}.{1 \over {\cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin x} \over x}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {1 \over {\cos x}} = 1.{1 \over 1} = 1 \hfill \cr   f\left( 0 \right) = 0 \hfill \cr}  \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) \ne f\left( 0 \right) \Rightarrow \) Hàm số gián đoạn tại điểm x = 0, do đó loại các đáp án B, C, D.

Chọn A.

\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  \cos {{\pi x} \over 2}\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| \le 1 \hfill \cr   \left| {x - 1} \right|\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| > 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  \cos {{\pi x} \over 2}\,\,\,\,khi\,\, - 1 \le x \le 1 \hfill \cr   \left| {x - 1} \right|\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\left[ \matrix{  x > 1 \hfill \cr   x <  - 1 \hfill \cr}  \right. \hfill \cr}  \right.\)

Ta có:

\(\left. \matrix{  \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left| {x - 1} \right| = 0 \hfill \cr   \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \cos {{\pi x} \over 2} = \cos {\pi  \over 2} = 0 \hfill \cr   f\left( 1 \right) = \cos {\pi  \over 2} = 0 \hfill \cr}  \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow \) Hàm số liên tục tại x = 1.

\(\left. \matrix{  \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \cos {{\pi x} \over 2} = \cos {{ - \pi } \over 2} = 0 \hfill \cr   \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \left| {x - 1} \right| = 2 \hfill \cr}  \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} f\left( x \right) \Rightarrow \) Hàm số không liên tục tại \(x =  - 1\).

Chọn B.

Ta có: \(f\left( 1 \right)={{1}^{2}}+m.1=m+1.\)

\(\begin{align}  & \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+3-4}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{x+3}+2 \right)}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{4}. \\  & \underset{x\to 1-}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+mx \right)=1+m. \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow \) Hàm số liên tục \(\Leftrightarrow m+1=\frac{1}{4}\Leftrightarrow m=-\frac{3}{4}.\)

Chọn B.

Nhận xét: Hàm số đã cho luôn liên tục trên các khoảng \(\left( -\infty ;0 \right),\,\,\left( 0;+\infty  \right)\). Để hàm số liên tục trên R thì hàm số liên tục tại điểm \(x=0\) (*)

Ta có:

\(\begin{align}  \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt{x+1}-1 \right)\left( \sqrt{x+1}+1 \right)}{x\left( \sqrt{x+1}+1 \right)}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x\left( \sqrt{x+1}+1 \right)}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}=\frac{1}{2} \\  \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-m \right)=1-m \\  f(0)=\sqrt{{{0}^{2}}+1}-m=1-m \\ \end{align}\)

(*) \(\Leftrightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(0)\Leftrightarrow 1-m=\frac{1}{2}\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)

Chọn: B

Hàm số đã cho luôn xác định là liên tục với mọi \(x \in \left[ {0;\,\,4} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right).\,\)

Xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 4:\)

Ta có : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{1}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{1}{4} = f(4)\)

Hàm số liên tục tại điểm \(x = 4\).

Chọn A.

TXĐ : \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)

Ta có hàm số luôn xác định và liên tục trên \(\left( { - \infty ;\,2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\) Xét tính liên tục của hàm số tại điểm \(x = 2.\)

 Ta có : \(f(2) = 2 - 2 = 0.\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {2 - x} \right) = 2 - 2 = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{2{x^3} - 16}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{(x - 2)(x - 3)}}{{2(x - 2)({x^2} + 2x + 4)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x - 3}}{{2\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}} =  - \frac{1}{{24}}.\\ \Rightarrow f\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x)\end{array}\) 

\( \Rightarrow \) Hàm số không liên tục tại \(x = 2\).

Chọn D.

Dễ thấy hàm số liên tục tại \(x = 0\) vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 0\).

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} \Rightarrow \) Hàm số có đạo hàm tại \(x = 0\).

Chọn C.

Đặt \(f\left( x \right) = m{x^3} - x + 1\), hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}.\) Ta có:

+) Với \(m = 0\) thì \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow \)  phương trình có nghiệm duy nhất.

+) Với \(m \ne 0\) thì \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc \(3 \Rightarrow f\left( x \right) = 0\) luôn có nghiệm.

Chọn C.

Ta có: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sin x\,\,\,\,khi\,\,\,\left| x \right| \le \frac{\pi }{2}\\ax + b\,\,\,\,khi\,\,\,\,\left| x \right| > \frac{\pi }{2}\end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{l}\sin x\,\,\,\,khi\,\,\, - \frac{\pi }{2} \le x \le \frac{\pi }{2}\\ax + b\,\,\,\,khi\,\,\,\,x \in \left( { - \infty ; - \frac{\pi }{2}} \right) \cup \left( {\frac{\pi }{2}; + \infty } \right)\end{array} \right..\)

Hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{\pi }{2}} \right);\,\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right);\,\left( {\frac{\pi }{2}; + \infty } \right)\) .

Ta có:  \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1;\,\,f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) =  - 1.\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} \sin x =  - 1;\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}^ - }} \left( {ax + b} \right) =  - \frac{\pi }{2}a + b.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ - }} \sin x = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} \left( {ax + b} \right) = \frac{\pi }{2}a + b.\end{array}\)

Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \) hàm số liên tục tại \(x =  \pm \frac{\pi }{2}\)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}a + b = 1\\ - \frac{\pi }{2}a + b =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{\pi }\\b = 0\end{array} \right. \Rightarrow \frac{4}{{{a^2}}} + {b^2} = \frac{4}{{{{\left( {\frac{2}{\pi }} \right)}^2}}} + 0 = {\pi ^2}.\)

Chọn C.

Hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right);\,\,\left( {0;2} \right) ;\,\left( {2; + \infty } \right)\) .

Ta có: \(f\left( 0 \right) = b;\,\,\,f\left( 2 \right) = a.\)

 \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^3} - 3{x^2} + 2x}}{{x(x - 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x - 1} \right) =  - 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 3{x^2} + 2x}}{{x(x - 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x - 1} \right) = 1\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 1\end{array} \right..\)

Khi đó:  \({a^3} + {b^3} = {1^3} + {\left( { - 1} \right)^3} = 0.\)

Chọn D.

Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\). Để hàm số liên tục trên R ta cần chứng minh hàm số liên tục tại x = 0.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {a\cos x - 5} \right) = a - 5 = f\left( 0 \right)\)

Ta có \(0 \le \left| {x\sin {2 \over x}} \right| \le \left| x \right|,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left| x \right| = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x\sin {2 \over x}} \right) = 0\)

Để hàm số liên tục tại điểm x = 0 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow a - 5 = 0 \Leftrightarrow a = 5\)

Chọn A.

Đáp án A sai. Chẳng hạn xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 5.\) Hàm số này xác định trên \(\left[ { - 3;3} \right]\) và liên tục trên đoạn đó, đồng thời \(f\left( { - 3} \right).f\left( 3 \right) = 16 > 0\) nhưng phương trình \(f\left( x \right) = {x^2} - 5 = 0\) có nghiệm \(x =  \pm \sqrt 5  \in \left( { - 3;3} \right)\)

Đáp án B sai vì thiếu điều kiện \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\).

Đáp án C sai. Ví dụ xét hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  x + 1\,\,\,khi\,\,x < 0 \hfill \cr   x + 2\,\,khi\,\,x \ge 0 \hfill \cr}  \right.\). Hàm số này xác định trên \(\left[ { - 3;3} \right]\), có nghiệm \(x =  - 1\) thuộc khoảng \(\left( { - 3;3} \right)\) nhưng gián đoạn tại điểm \(x = 0 \in \left( { - 3;3} \right)\) nên không liên tục trên khoảng \(\left( { - 3;3} \right)\).

Đáp án D đúng. Thật vậy:

+ Vì hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tăng trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) nên \(f\left( a \right) < f\left( x \right) < f\left( b \right)\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\).

TH1: \(\left\{ \matrix{  f\left( a \right) > 0 \hfill \cr   f\left( b \right) > 0 \hfill \cr   f\left( a \right) < f\left( x \right) < f\left( b \right) \hfill \cr}  \right. \Rightarrow f\left( x \right) > 0\)

TH2: \(\left\{ \matrix{  f\left( a \right) < 0 \hfill \cr   f\left( b \right) < 0 \hfill \cr   f\left( a \right) < f\left( x \right) < f\left( b \right) \hfill \cr}  \right. \Rightarrow f\left( x \right) < 0\).

Vậy không có giá trị nào của x để \(f\left( x \right) = 0\), hay phương trình \(f\left( x \right) = 0\) không thể có nghiệm trong \(\left( {a;b} \right)\).

Chọn D.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - 5x + 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {2x - 1} \right) = 2.2 - 1 = 3.\)

Chọn B.

Ta có: \(f\left( 3 \right) = {3^3} - 3\left( {2b + 1} \right) = 24 - 6b\).

Đặt \(g\left( x \right) = \sqrt {x + 6}  - a.\) Ta có: \(g\left( 3 \right) = 3 - a\).

Ta thấy nếu \(g\left( 3 \right) \ne 0 \Leftrightarrow a \ne 3\) thì  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{g\left( x \right)}}{{\sqrt {x + 1}  - 2}} = \infty \) nên hàm số không thể liên tục tai \(x = 3.\)

Nếu \(g\left( 3 \right) = 0 \Leftrightarrow a = 3\) thì

 \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x + 6}  - 3}}{{\sqrt {x + 1}  - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {\sqrt {x + 6}  - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 6}  + 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt {x + 1}  - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  + 2} \right)\left( {\sqrt {x + 6}  + 3} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  + 2} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 6}  + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x + 1}  + 2}}{{\sqrt {x + 6}  + 3}} = \frac{2}{3}.\end{array}\)

Hàm số liên tục tại \(x = 3\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) \Leftrightarrow 24 - 6b = \frac{2}{3} \Leftrightarrow b = \frac{{35}}{9}\) .

Số nhỏ hơn  là \(a = 3\) .

Chọn B.