-
Lớp 12
-
Lớp 11
-
Lớp 10
- SGK Toán 10 - Đại Số và Hình Học Toán 10
- SGK Toán 10 nâng cao
- SGK Tiếng Anh 10
- SGK Tiếng Anh 10 Mới
- Văn mẫu 10
- Soạn văn 10 chi tiết
- Soạn văn 10 ngắn gọn
- Soạn văn 10 siêu ngắn
- Tác giả - Tác phẩm văn 10
- SGK Vật lý 10
- SGK Vật lý 10 nâng cao
- SGK Hóa học 10
- SGK Hóa học 10 nâng cao
- SGK Sinh học 10
- SGK Sinh học 10 nâng cao
-
Lớp 9
-
Lớp 8
-
Lớp 7
-
Lớp 6
- Lớp 5
- Lớp 4
- Lớp 3
- Lớp 2
- Lớp 1
- Thông tin tuyển sinh
35 bài tập phương trình bậc hai với hệ số thực mức độ vận dụng, vận dụng cao
Lớp:
Môn học:
Bài học:
Bài 4. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Câu trắc nghiệm:
Câu hỏi 1
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Tập nghiệm của phương trình \({z^4} - {z^3} + \dfrac{{{z^2}}}{2} + z + 1 = 0\) trên tập số phức là:
Lời giải chi tiết :
\({z^4} - {z^3} + \dfrac{{{z^2}}}{2} + z + 1 = 0\) (1)
+) Với \(z = 0\) thì \(1 = 0\) ( vô lí) \( \Rightarrow z = 0\) không là nghiệm của phương trình (1)
+) Với \(z \ne 0\), chia cả 2 vế của phương trình (1) cho \({z^2}\) , ta được:
\(\left( {{z^2} + \dfrac{1}{{{z^2}}}} \right) - \left( {z - \dfrac{1}{z}} \right) + \dfrac{1}{2} = 0{\text{ }}(2)\)
Đặt \(t = z - \dfrac{1}{z}\) khi đó: \({t^2} = {z^2} + \dfrac{1}{{{z^2}}} - 2 \Leftrightarrow {z^2} + \dfrac{1}{{{z^2}}} = {t^2} + 2\)
Phương trình (2) có dạng: \({t^2} - t + \dfrac{5}{2} = 0\)(3)
Ta có: \(\Delta = 1 - 4.\dfrac{5}{2} = - 9 = 9{i^2} \Rightarrow t = \dfrac{{1 + 3i}}{2};t = \dfrac{{1 - 3i}}{2}\)
+) Nếu \(t = \dfrac{{1 + 3i}}{2} \Leftrightarrow z - \dfrac{1}{z} = \dfrac{{1 + 3i}}{2} \Leftrightarrow 2{z^2} - (1 + 3i)z - 2 = 0\)
Có \(\Delta = {(1 + 3i)^2} + 16 = 8 + 6i = {(3 + i)^2} \Rightarrow {z_1} = 1 + i;{z_2} = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{i}{2}\)
+) Nếu \(t = \dfrac{{1 - 3i}}{2} \Leftrightarrow z - \dfrac{1}{z} = \dfrac{{1 - 3i}}{2} \Leftrightarrow 2{z^2} - (1 - 3i)z - 2 = 0\)
Có \(\Delta = {(1 - 3i)^2} + 16 = 8 - 6i = {(3 - i)^2} \Rightarrow {z_3} = 1 - i;{z_4} = - \dfrac{1}{2} - \dfrac{i}{2}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(\left\{ {1 + i;1 - i; - \dfrac{1}{2} + \dfrac{i}{2}; - \dfrac{1}{2} - \dfrac{i}{2}} \right\}\)
Chọn A
Đáp án A:
\(\left\{ {1 \pm i; - \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{i}{2}} \right\}\)
Đáp án B:
\(\left\{ { - 1 \pm i; - \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{i}{2}} \right\}\)
Đáp án C:
\(\left\{ {1 \pm i;\dfrac{1}{2} \pm \dfrac{i}{2}} \right\}\)
Đáp án D:
\(\left\{ { - 1 \pm i;\dfrac{1}{2} \pm \dfrac{i}{2}} \right\}\)
Câu hỏi 2
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Cho phương trình \({z^2} + bz + c = 0\) ẩn z và b, c là tham số thuộc tập số thực. Biết phương trình nhận\(z = 1 + i\) là một nghiệm. Tính \(T = b + c.\)
Phương pháp giải :
- Thay số phức \(z = 1 + i\) vào phương trình và biến đổi.
- Một số phức bằng 0 khi và chỉ khi nó có phần thực và phần ảo cùng bằng 0.
Lời giải chi tiết :
Vì \(z = 1 + i\) là một nghiệm của phương trình \({z^2} + bz + c = 0\) nên ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\left( {1 + i} \right)^2} + b\left( {1 + i} \right) + c = 0\\ \Leftrightarrow 2i + b + bi + c = 0\\ \Leftrightarrow b + c + \left( {b + 2} \right)i = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c = 0\\b + 2 = 0\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(T = b + c = 0\).
Chọn A.
Đáp án A:
\(T = 0\)
Đáp án B:
\(T = - 1\)
Đáp án C:
\(T = - 2\)
Đáp án D:
\(T = 2\)
Câu hỏi 3
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Phương trình \({z^2} + az + b = 0\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) có một nghiệm phức \(z = 1 - 3i\). Khi đó \(2{a^3} + 2{b^3} + 3\) bằng
Phương pháp giải :
- Phương trình bậc hai có 1 nghiệm \(z = a + bi\) thì nghiệm thứ 2 có dạng \(z = a - bi\).
- Áp dụng định lý Vi-et: \({x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\), \({x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\).
Lời giải chi tiết :
Phương trình \({z^2} + az + b = 0\) có 1 nghiệm phức \({z_1} = 1 - 3i \Rightarrow {z_2} = 1 + 3i\)
Áp dụng định lý Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - a\\{z_1}.{z_2} = b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 10\end{array} \right.\)
Khi đó \(T = 2{a^3} + 2{b^3} + 3 = 1987\)
Chọn B.
Đáp án A:
2035
Đáp án B:
1987
Đáp án C:
2019
Đáp án D:
2020
Câu hỏi 4
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Trên tập số phức, phương trình \({z^2} - 6z + {2019^{2020}} + 9 = 0\) có một nghiệm là
Phương pháp giải :
Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \dfrac{b}{a}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\).
Lời giải chi tiết :
Ta có \({z^2} - 6z + {2019^{2020}} + 9 = 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 6\\{z_1}.{z_2} = {2019^{2020}} + 9\end{array} \right.\)
Đặt \({z_1} = a + bi \Rightarrow {z_2} = a - bi\)
Nên \({z_1} + {z_2} = 2a = 6 \Rightarrow a = 3\)
Mà \({z_1}.{z_2} = {a^2} + {b^2} \Rightarrow {b^2} = {2019^{2020}} \Rightarrow b = \pm {2019^{1010}}\)
Vậy \(z = 3 \pm {2019^{1010}}i.\)
Chọn B.
Đáp án A:
\(z = 3 - {2019^{2020}}i\)
Đáp án B:
\(z = 3 - {2019^{1010}}i\)
Đáp án C:
\(z = -3 + {2019^{1010}}i\)
Đáp án D:
\(z = 3 + {2019^{2020}}i\)
Câu hỏi 5
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Cho phương trình \({x^2} - 4x + \dfrac{c}{d} = 0\) (với phân số \(\dfrac{c}{d}\) tối giản) có hai nghiệm phức. Gọi A; B là hai điểm biểu diễn của hai nghiệm đó trên mặt phẳng Oxy. Biết tam giác OAB đều (O là gốc tọa độ). Tính \(P = c + 2d.\)
Phương pháp giải :
- Áp dụng định lý viet.
- Sử dụng tính chất tam giác đều có ba cạnh bằng nhau.
Lời giải chi tiết :
Phương trình \({x^2} - 4x + \dfrac{c}{d} = 0\) có hai nghiệm phức \({z_1};{z_2}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 4\\{z_1}.{z_2} = \dfrac{c}{d}\end{array} \right.\)
Ta có \({z_1} = a + bi \Rightarrow {z_2} = a - bi\)
Nên \({z_1} + {z_2} = 2a = 4 \Rightarrow a = 2\)
Đặt \(A\left( {2;b} \right);B\left( {2; - b} \right)\)
Vì tam giác OAB đều nên \(OA = AB \Rightarrow 4 + {b^2} = 4{b^2} \Rightarrow {b^2} = \dfrac{4}{3}\)
Mà \(\dfrac{c}{d} = {z_1}.{z_2} = {a^2} + {b^2} = 4 + \dfrac{4}{3} = \dfrac{{16}}{3}\)
Nên \(\left\{ \begin{array}{l}c = 16\\d = 3\end{array} \right. \Rightarrow P = c + 2d = 22\)
Chọn B.
Đáp án A:
\(P = - 14\)
Đáp án B:
\(P = 22\)
Đáp án C:
\(P = 18\)
Đáp án D:
\(P = - 10\)
Câu hỏi 6
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Gọi z là một nghiệm của phương trình \({z^2} - z + 1 = 0\). Giá trị của biểu thức \(M = {z^{2019}} + {z^{2018}} + \dfrac{1}{{{z^{2019}}}} + \dfrac{1}{{{z^{2018}}}} + 5\) bằng
Phương pháp giải :
- Giải phương trình bậc hai tìm một nghiệm \(z\).
- Tính \({z^3}\), từ đó phân tích \({z^{2019}},\,\,{z^{2018}}\) theo \({z^3}\) và tính giá trị biểu thức \(M\).
Lời giải chi tiết :
Ta có \({z^2} - z + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i\\z = \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i\end{array} \right.\).
Chọn 1 nghiệm của phương trình trên là \(z = \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i\), ta có \({z^3} = - 1\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{z^{2019}} = {\left( {{z^3}} \right)^{673}} = {\left( { - 1} \right)^{673}} = - 1\\{z^{2018}} = {\left( {{z^3}} \right)^{672}}.{z^2} = {\left( { - 1} \right)^{672}}.{\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)^2} = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i\end{array}\)
Vậy
\(\begin{array}{l}M = - 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i + \dfrac{1}{{ - 1}} + \dfrac{1}{{ - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i}} + 5\\M = - 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i + \dfrac{1}{{ - 1}} - \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i + 5\\M = 2.\end{array}\)
Chọn B.
Đáp án A:
\(5.\)
Đáp án B:
\(2.\)
Đáp án C:
\(7.\)
Đáp án D:
\( - 1\)
Câu hỏi 7
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Có bao nhiêu giá trị dương của số thực \(a\) sao cho phương trình \({z^2} + \sqrt 3 z + {a^2} - 2a = 0\) có nghiệm phức \({z_0}\) thỏa \(\left| {{z_0}} \right| = \sqrt 3 \).
Phương pháp giải :
Giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức.
Lời giải chi tiết :
TH1: Phương trình \({z^2} + \sqrt 3 z + {a^2} - 2a = 0\,\,\,\,\left( * \right)\) có nghiệm thực thỏa mãn \(\left| {{z_0}} \right| = \sqrt 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = \sqrt 3 \\{z_0} = - \sqrt 3 \end{array} \right.\).
Nếu phương trình có nghiệm \({z_0} = \sqrt 3 \Leftrightarrow 3 + 3 + {a^2} - 2a = 0\) (vô nghiệm).
Nếu phương trình có nghiệm \({z_0} = - \sqrt 3 \Leftrightarrow 3 - 3 + {a^2} - 2a = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\a = 2\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).
TH2: Phương trình \({z^2} + \sqrt 3 z + {a^2} - 2a = 0\,\,\,\,\left( * \right)\) có nghiệm phức, tức là có hai nghiệm phức liên hợp.
Ta có: \(\Delta = 3 - 4\left( {{a^2} - 2a} \right) = - 4{a^2} + 8a + 3 < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a > \dfrac{{2 + \sqrt 7 }}{2}\\a < \dfrac{{2 - \sqrt 7 }}{2}\end{array} \right.\).
Khi đó phương trình có 2 nghiệm phức \({z_{1,2}} = \dfrac{{ - \sqrt 3 \pm i\sqrt {4{a^2} - 8a - 3} }}{2}\).
Theo bài ra ta có: \(\left| {{z_0}} \right| = \sqrt 3 \Rightarrow \dfrac{{3 + 4{a^2} - 8a - 3}}{4} = 3 \Leftrightarrow 4{a^2} - 8a - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 1\,\,\left( {ktm} \right)\\a = 3\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).
Vậy, có 2 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn: B
Đáp án A:
\(3\).
Đáp án B:
\(2\).
Đáp án C:
\(1\).
Đáp án D:
\(4\).
Câu hỏi 8
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Kí hiệu \({z_1}\,,\,{z_2}\)là 2 nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 6z + 14 = 0\). Giá trị của \(z_1^2 + z_2^2\) bằng:
Phương pháp giải :
Sử dụng hệ thức Vi-et với phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) là \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết :
Theo hệ thức Vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 6\\{z_1}{z_2} = 14\end{array} \right.\)
Ta có \(z_1^2 + z_2^2 = {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}{z_2} = {6^2} - 2.14 = 8\)
Chọn B.
Đáp án A:
\(36\) .
Đáp án B:
\(8\) .
Đáp án C:
\(28\) .
Đáp án D:
\(18\) .
Câu hỏi 9
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Giả sử \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 2z + 3 = 0\) và \(z = 2{z_1} + 2{z_2} + {z_1}{z_2}i.\) Khi đó \(\left| {\overline z } \right|\) bằng:
Phương pháp giải :
Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \dfrac{b}{a}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\)
Cho số phức \(z = a + bi\,\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z = a - bi.\)
Modun của số phức \(z = x + yi:\;\;\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\)
Lời giải chi tiết :
Ta có: \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 2z + 3 = 0\)
\( \Rightarrow \) Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 2\\{z_1}{z_2} = 3\end{array} \right..\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow z = 2{z_1} + 2{z_2} + {z_1}{z_2}i = 2\left( {{z_1} + {z_2}} \right) + {z_1}{z_2}i\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2.2 + 3i = 4 + 3i.\\ \Rightarrow \overline z = 4 - 3i\\ \Rightarrow \left| {\overline z } \right| = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = 5.\end{array}\)
Chọn D.
Đáp án A:
\(\sqrt {10} \)
Đáp án B:
\(25\)
Đáp án C:
\(10\)
Đáp án D:
\(5\)
Câu hỏi 10
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Gọi \({{z}_{1}},\,\,{{z}_{2}}\) là hai nghiệm của phương trình \(3{{z}^{2}}-z+4=0\). Khi đó \(P=\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}+\frac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}\)bằng
Phương pháp giải :
- Áp dụng định lí Vi – et, xác định tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn \(a{{z}^{2}}+bz+c=0,\,\,a\ne 0\)
Lời giải chi tiết :
Xét phương trình \(3{{z}^{2}}-z+4=0\). Áp dụng định lý Vi-ét: \(\left\{ \begin{align} {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=\frac{1}{3} \\ {{z}_{1}}{{z}_{2}}=\frac{4}{3} \\ \end{align} \right.\)
\(P=\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}+\frac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}=\frac{{{z}_{1}}^{2}+{{z}_{2}}^{2}}{{{z}_{1}}{{z}_{2}}}=\frac{{{({{z}_{1}}+{{z}_{2}})}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}{{z}_{2}}}=\frac{{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}-2.\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}}=\frac{\frac{1}{9}-\frac{8}{3}}{\frac{4}{3}}=-\frac{23}{12}\)
Chọn: A
Đáp án A:
\(-\frac{23}{12}\).
Đáp án B:
\(\frac{23}{12}\).
Đáp án C:
\(-\frac{23}{24}\).
Đáp án D:
\(\frac{23}{24}\).
Câu hỏi 11
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Tìm tham số thực \(m\) để phương trình: \({{z}^{2}}+(2-m)z+2=0\) có một nghiệm là \(z=1-i\)
Phương pháp giải :
Số phức \(z={{z}_{0}}\) là một nghiệm của phương trình \(f\left( z \right)=0 \) nếu \(f\left( {{z_0}} \right) = 0\)
Lời giải chi tiết :
Ta có \(z=1-i\) là nghiệm của phương trình nên:
\({{\left( 1-i \right)}^{2}}+(2-m)(1-i)+2=0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 - 2i + {i^2} + 2 - 2i - m + mi + 2 = 0\\ \Leftrightarrow ( - 1 + i)m = - 4 + 4i\\ \Leftrightarrow m = \frac{{ - 4 + 4i}}{{ - 1 + i}} = 4\end{array}\)
Chọn B
Đáp án A:
6
Đáp án B:
4
Đáp án C:
-2
Đáp án D:
2
Câu hỏi 12
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Cho \(z=2+3i\) là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc \(2\) với hệ số thực nhận \(z\) và \(\overline{z}\) làm nghiệm
Phương pháp giải :
Phương trình bậc hai nhận \(z={{z}_{1}},z={{z}_{2}}\) làm nghiệm là: \(\left( z-{{z}_{1}} \right)\left( z-{{z}_{2}} \right)=0\)
Lời giải chi tiết :
Ta có: \(z=2+3i;\overline{z}=2-3i\)
Nếu \(z\) và \(\overline{z}\) là \(2\) nghiệm của một phương trình thì:
\(\left[ z-(2+3i) \right]\left[ z-(2-3i) \right]=0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {z^2} - (2 - 3i)z - (2 + 3i)z + (2 + 3i)(2 - 3i) = 0\\ \Leftrightarrow {z^2} - 4z + 13 = 0\end{array}\)
Chọn A
Đáp án A:
\({{z}^{2}}-4z+13=0\)
Đáp án B:
\({{z}^{2}}+4z+13=0\)
Đáp án C:
\({{z}^{2}}-4z-13=0\)
Đáp án D:
\({{z}^{2}}+4z-13=0\)
Câu hỏi 13
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Gọi \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là các nghiệm của phương trình: \(z+\frac{1}{z}=-1\). Giá trị của \(P={{z}_{1}}^{3}+{{z}_{2}}^{3}\) là:
Phương pháp giải :
- Biến đổi phương trình đưa về phương trình bậc hai.
- Áp dụng định lý Vi-et cho phương trình bậc hai: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \frac{b}{a}\\{z_1}.{z_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\)
- Thay vào biểu thức cần tính giá trị.
Lời giải chi tiết :
Phương trình: \(z+\frac{1}{z}=-1\Leftrightarrow {{z}^{2}}+z+1=0\)
Ta có: \({{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-1;{{z}_{1}}.{{z}_{2}}=1\)
Khi đó \(P={{z}_{1}}^{3}+{{z}_{2}}^{3}=\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)\left( {{z}_{1}}^{2}-{{z}_{1}}{{z}_{2}}+{{z}_{2}}^{2} \right)=\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)\left[ {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-3{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right]=-1.(1-3)=2\)
Chọn C
Đáp án A:
0
Đáp án B:
1
Đáp án C:
2
Đáp án D:
3
Câu hỏi 14
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Giả sử \({{z}_{1}};{{z}_{2}}\) là hai nghiệm phức của phương trình: \({{z}^{2}}-2z+5=0\) và \(A,B\) là các điểm biểu diễn của \({{z}_{1}};{{z}_{2}}\). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) là:
Phương pháp giải :
- Giải phương trình bậc hai tìm hai nghiệm \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\).
- Số phức \(z=a+bi\) có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là \(M\left( a;b \right)\).
- Tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\) là \(\left(\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2} \right)\)
Lời giải chi tiết :
Phương trình: \({{z}^{2}}-2z+5=0\)
Có: \(\Delta '=1-5=-4=4{{i}^{2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{\Delta '}=\sqrt{4{{i}^{2}}}=2i\)
\(\Rightarrow \) Phương trình có \(2\) nghiệm là: \({{z}_{1}}=1+2i;{{z}_{2}}=1-2i\)
Khi đó: \(A\left( 1;2 \right),B(1;-2)\)
Tọa độ trung điểm đoạn thẳng \(AB\) là: \(\left( 1;0 \right)\)
Chọn D
Đáp án A:
\(\left( 0;1 \right)\)
Đáp án B:
\((0;-1)\)
Đáp án C:
\(\left( 1;1 \right)\)
Đáp án D:
\(\left( 1;0 \right)\)
Câu hỏi 15
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Gọi \({{z}_{1}};{{z}_{2}}\) là hai nghiệm phức của phương trình: \({{z}^{2}}+\sqrt{3}z+7=0\). Giá trị của biểu thức \(M={{z}_{1}}^{4}+{{z}_{2}}^{4}\) bằng:
Phương pháp giải :
Định lý vi-et cho phương trình bậc hai: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \frac{b}{a}\\{z_1}.{z_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\)
Thay vào biểu thức \(M\) để tính giá trị.
Lời giải chi tiết :
Ta có: \({{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-\sqrt{3};{{z}_{1}}.{{z}_{2}}=7\)
Khi đó: \(M={{z}_{1}}^{4}+{{z}_{2}}^{4}={{\left( {{z}_{1}}^{2}+{{z}_{2}}^{2} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}^{2}.{{z}_{2}}^{2}\)
\(={{\left[ {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right]}^{2}}-2{{z}_{1}}^{2}.{{z}_{2}}^{2}\)
\(={{\left[ {{\left( -\sqrt{3} \right)}^{2}}-2.7 \right]}^{2}}-{{2.7}^{2}}=23\)
Chọn B
Đáp án A:
\(\sqrt{23}\)
Đáp án B:
\(23\)
Đáp án C:
\(13\)
Đáp án D:
\(\sqrt{13}\)
Câu hỏi 16
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Trong mặt phẳng phức, cho \(3\) điểm \(A,B,C\) lần lượt biểu diễn cho \(3\) số phức\({{z}_{1}}=1+i;{{z}_{2}}={{\left( 1+i \right)}^{2}};{{z}_{3}}=a-i(a\in R)\). Để \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) thì \(a=\)?
Phương pháp giải :
Số phức \(z=a+bi\) có điểm biểu diễn là \(M\left( a;b \right)\).
Điều kiện để tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) là \(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=0\) hoặc \(A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}\).
Lời giải chi tiết :
Ta có: \({{z}_{2}}={{(1+i)}^{2}}=1+2i+{{i}^{2}}=2i\)
\(\Rightarrow A(1;1),B(0;2),C(a;-1)\)
Khi đó: \(\overrightarrow{AB}=(-1;1)\Rightarrow A{{B}^{2}}=2\)
\(\overrightarrow{BC}=(a;-3)\Rightarrow B{{C}^{2}}={{a}^{2}}+9\)
\(\overrightarrow{AC}=(a-1;-2)\Rightarrow A{{C}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+4={{a}^{2}}-2a+5\)
Để \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) thì \(A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} - 2a + 5 = 2 + {a^2} + 9\\ \Leftrightarrow a = - 3\end{array}\)
Chọn C
Đáp án A:
3
Đáp án B:
-2
Đáp án C:
-3
Đáp án D:
4
Câu hỏi 17
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Trong tập các số phức, gọi \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là hai nghiệm của phương trình \({{z}^{2}}-z+\frac{2017}{4}=0\) với \({{z}_{2}}\) có thành phần ảo dương. Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z-{{z}_{1}} \right|=1.\) Giá trị nhỏ nhất của \(P=\left| z-{{z}_{2}} \right|\) là
Phương pháp giải :
Giả sử\(z=a+bi\,\,\left( a,b\in \mathbb{R} \right).\) Giả phương trình ban đầu để tìm được nghiệm \({{z}_{1}},{{z}_{2}}.\) Sử dụng giả thiết để đánh giá cho cho \(b.\) Đưa \({{\left| z-{{z}_{2}} \right|}^{2}}\) về một hàm cho \(b\) và sử dụng ước lượng cho \(b\) ở phần trước để tìm giá trị nhỏ nhất của \(P.\)
Lời giải chi tiết :
Tính toán ta tìm được hai nghiệm \({{z}_{1}}=\frac{1-i\sqrt{2016}}{2},{{z}_{2}}=\frac{1+i\sqrt{2016}}{2}.\)
Giả sử \(z=a+bi\left( a,b\in R \right).\) Từ \(\left| z-{{z}_{1}} \right|=1\) ta suy ra
\(\begin{align} & \,\,\,\,\left| \left( a+bi \right)-\frac{1-i\sqrt{2016}}{2} \right|=1\Leftrightarrow 1={{\left( a-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( b+\frac{\sqrt{2016}}{2} \right)}^{2}}\Rightarrow {{\left( b+\frac{\sqrt{2016}}{2} \right)}^{2}}\le 1 \\ & \Rightarrow -1-\frac{\sqrt{2016}}{2}\le b\le 1-\frac{\sqrt{2016}}{2}\,\,\left( 1 \right). \\ \end{align}\)
Áp dụng \(\left( 1 \right)\) ta nhận được
\(\begin{array}{l}
{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\left| {z - {z_2}} \right|^2} = {\left| {\left( {a + bi} \right) - \frac{{1 + i\sqrt {2016} }}{2}} \right|^2} = {\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {b - \frac{{\sqrt {2016} }}{2}} \right)^2}\\
= {\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {b + \frac{{\sqrt {2016} }}{2}} \right)^2} - 4b\frac{{\sqrt {2016} }}{2} = 1 - 2b\sqrt {2016} \\
\ge 1 - 2\left( {1 - \frac{{\sqrt {2016} }}{2}} \right)\sqrt {2016} = 1 - 2\sqrt {2016} + 2016 = {\left( {\sqrt {2016} - 1} \right)^2}.
\end{array}\)
Do đó giá trị nhỏ nhất của \(P=\left| z-{{z}_{2}} \right|\) là \(\sqrt{2016}-1.\)
Đạt được khi và chỉ khi
\(b=1-\frac{\sqrt{2016}}{2},a=\frac{1}{2}.\)
Chọn đáp án A.
Đáp án A:
\(\sqrt{2016}-1.\)
Đáp án B:
\(\frac{\sqrt{2017}-1}{2}.\)
Đáp án C:
\(\frac{\sqrt{2016}-1}{2}.\)
Đáp án D:
\(\sqrt{2017}-1.\)
Câu hỏi 18
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Trong tập các số phức, cho phương trình \({{z}^{2}}-6z+m=0,\,\,m\in \mathbb{R}\,\,\left( 1 \right).\) Gọi \({{m}_{0}}\) là một giá trị của \(m\) đẻ phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) thỏa mãn \({{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}.}\) Hỏi trong khoảng \(\left( 0;20 \right)\) có bao nhiêu giá trị \({{m}_{0}}\in \mathbb{N}?\)
Phương pháp giải :
Biện luận để tìm trực tiếp nghiệm \({{z}_{1}},{{z}_{2}}.\) Sử dụng giả thiết để tìm ra giá trị \({{m}_{0}}.\)
Lời giải chi tiết :
Viết lại phương trình đã cho thành \({{\left( z-3 \right)}^{2}}=9-{{m}_{0}}.\)
Nếu \({{m}_{0}}=9\Rightarrow z=3.\) Hay phương trình chỉ có một nghiệm. (Loại)
Nếu \({{m}_{0}}<9\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm thực \({{z}_{1}}=3-\sqrt{9-{{m}_{0}}},{{z}_{2}}=3+\sqrt{9-{{m}_{0}}}.\)
Do
\(\begin{array}{l}{z_1}.\overline {{z_1}} = {z_2}.\overline {{z_2}} \Leftrightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} = {\left| {{z_2}} \right|^2} \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt {9 - {m_0}} } \right)^2} = {\left( {3 + \sqrt {9 - {m_0}} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 - \sqrt {9 - {m_0}} = 3 + \sqrt {9 - {m_0}} \\3 - \sqrt {9 - {m_0}} = - 3 - \sqrt {9 - {m_0}} \,\,\,\left( {VN} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \sqrt {9 - {m_0}} = 0 \Leftrightarrow {m_0} = 9\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}\)
Nếu \({{m}_{0}}>9\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phức liên hợp là \({{z}_{1}}=3-i\sqrt{{{m}_{0}}-9},{{z}_{2}}=3+i\sqrt{{{m}_{0}}-9}.\)
Khi đó \({{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}={{3}^{2}}+{{\left( \sqrt{{{m}_{0}}-9} \right)}^{2}}\)
Do đó \({{m}_{0}}>9\)thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Do bài toán đòi hỏi \({{m}_{0}}\in \left( 0;20 \right)\) nên \({{m}_{0}}\in \left\{ 10;11;....;19 \right\}.\)
Vậy có \(10\) giá trị thỏa mãn.
Chọn đáp án D.
Đáp án A:
\(13.\)
Đáp án B:
\(11.\)
Đáp án C:
\(12.\)
Đáp án D:
\(10.\)
Câu hỏi 19
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Tập nghiệm của phương trình \({z^4} - 2{z^3} - {z^2} - 2z + 1 = 0\) là :
Lời giải chi tiết :
\({z^4} - 2{z^3} - {z^2} - 2z + 1 = 0\)
Vì \(z{\text{ }} = {\text{ }}0\) không là nghiệm của phương trình nên chia cả 2 vế của phương trình cho \({z^2} \ne 0\) , ta được:
\({z^2} - 2{\text{z}} - 1 - \dfrac{2}{z} + \dfrac{1}{{{z^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^2} + \dfrac{1}{{{z^2}}}} \right) - 2\left( {z + \dfrac{1}{z}} \right) - 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {z + \dfrac{1}{z}} \right)^2} - 2\left( {z + \dfrac{1}{z}} \right) - 3 = 0\)
Đặt \(t = z + \dfrac{1}{z}\) phương trình trở thành:
\({t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = 3\end{array} \right.\)
+) Với \(t = - 1 \Leftrightarrow z + \dfrac{1}{z} = - 1 \Leftrightarrow {z^2} + z + 1 = 0 \Rightarrow z = \dfrac{{ - 1 \pm i\sqrt 3 }}{2}\)
+) Với \(t = 3 \Leftrightarrow z + \dfrac{1}{z} = 3 \Leftrightarrow {z^2} - 3z + 1 = 0 \Rightarrow z = \dfrac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(\left\{ {\dfrac{{ - 1 \pm i\sqrt 3 }}{2};\dfrac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}} \right\}\)
Chọn D
Đáp án A:
\(\left\{ {\dfrac{{1 \pm i\sqrt 3 }}{2};\dfrac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}} \right\}\)
Đáp án B:
\(\left\{ {\dfrac{{ - 1 \pm i\sqrt 3 }}{2};\dfrac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}} \right\}\)
Đáp án C:
\(\left\{ {\dfrac{{1 \pm i\sqrt 3 }}{2};\dfrac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}} \right\}\)
Đáp án D:
\(\left\{ {\dfrac{{ - 1 \pm i\sqrt 3 }}{2};\dfrac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}} \right\}\)
Câu hỏi 20
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Phương trình : \({z^6}-9{z^3} + 8 = 0\) có bao nhiêu nghiệm phân biệt trên tập số phức?
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}{z^6}-9{z^3} + 8 = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^3} - 1} \right)\left( {{z^3} - 8} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {z - 1} \right)\left( {{z^2} + z + 1} \right)\left( {z - 2} \right)\left( {{z^2} + 2{\rm{z}} + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = 2\\{z^2} + z + 1 = 0\\{z^2} + 2{\rm{z}} + 4 = 0\end{array} \right.\end{array}\)
+) Phương trình: \({z^2} + {\text{ }}z + 1 = 0\) có \(\Delta = 1-4 = - 3 = 3{i^2} \Rightarrow z = \dfrac{{ - 1 \pm i\sqrt 3 }}{2}\)
+) Phương trình: \({z^2} + 2z + 4 = 0\) có \(\Delta ' = 1 - 4 = - 3 = 3{i^2} \Rightarrow z = - 1 \pm i\sqrt 3 \)
Vậy phương trình có 6 nghiệm phân biệt.
Chọn D
Đáp án A:
\(4\)
Đáp án B:
\(2\)
Đáp án C:
\(8\)
Đáp án D:
\(6\)
Câu hỏi 21
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Cho phương trình : \({z^3} - \left( {2i - 1} \right){z^2} + (3 - 2i)z + 3 = 0\)
Trong số các nhận xét:
1. Phương trình chỉ có 1 nghiệm thuộc tập hợp số thực
2. Phương trình chỉ có 2 nghiệm thuộc tập hợp số phức
3. Phương trình có 2 nghiệm có phần thực bằng 0
4. Phương trình có 2 nghiệm là số thuần ảo
5. Phương trình có 3 nghiệm, trong đó 2 nghiệm là số phức liên hợp
Số nhận xét sai là:
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}{z^3} - \left( {2i - 1} \right){z^2} + (3 - 2i)z + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {{z^2} - 2iz + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = - 1\\{z^2} - 2iz + 3 = 0\end{array} \right.\end{array}\)
+) Phương trình: \({z^2}-2iz + 3 = 0\) có \(\Delta ' = {i^2} - 3 = - 4 = 4{i^2} \Rightarrow z = 3i;z = - i\)
Do đó các nhận xét 1; 3; 4 là đúng.
Nhận xét 2 sai vì cả 3 nghiệm đều thuộc tập số phức.
Nhận xét 5 sai vì \(3i\) và \( - i\) không phải là hai số phức liên hợp.
Chọn B
Đáp án A:
\(1\)
Đáp án B:
\(2\)
Đáp án C:
\(3\)
Đáp án D:
\(4\)
Câu hỏi 22
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Số nghiệm phân biệt của phương trình \({z^3} + (1 - 2i){z^2} + (1 - i)z - 2i = 0\) trên tập số phức là:
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}{z^3} + (1 - 2i){z^2} + (1 - i)z - 2i = 0\\ \Leftrightarrow \left( {z - i} \right)\left[ {{z^2} + \left( {1 - i} \right)z + 2} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = i\\{z^2} + (1 - i)z + 2 = 0\end{array} \right.\end{array}\)
+) Giải phương trình \({z^2} + \left( {1-i} \right)z + 2 = 0\) ta tìm được 2 nghiệm phức khác \(i\)
Vậy phương trình có 3 nghiệm phức phân biệt.
Chọn D
Đáp án A:
\(1\)
Đáp án B:
\(4\)
Đáp án C:
\(2\)
Đáp án D:
\(3\)
Câu hỏi 23
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Gọi \({z_1};{z_2};{z_3};{z_4}\) là 4 nghiệm của phương trình: \({z^4} - {z^3} - 2{z^2} + 6z - 4 = 0\) trên tập số phức. Khi đó tổng \(S = \dfrac{1}{{{z_1}^2}} + \dfrac{1}{{{z_2}^2}} + \dfrac{1}{{{z_3}^2}} + \dfrac{1}{{{z_4}^2}}\) bằng:
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}{z^4} - {z^3} - 2{z^2} + 6z - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {z - 1} \right)(z + 2)({z^2} - 2z + 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z - 1 = 0\\z + 2 = 0\\{z^2} - 2z + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = - 2\\{z^2} - 2z + 2 = 0\end{array} \right.\end{array}\)
+) Phương trình: \({z^2}-2z + 2 = 0\) có \(\Delta ' = 1 - 2 = - 1 = {i^2}\)
\( \Rightarrow z = 1 + {\text{ }}i;z = 1-i.\)
Giả sử: \({z_1} = 1;{z_2} = - 2;{z_3} = 1 + i;{z_4} = 1 - i\)
\( \Rightarrow S = \dfrac{1}{{{z_1}^2}} + \dfrac{1}{{{z_2}^2}} + \dfrac{1}{{{z_3}^2}} + \dfrac{1}{{{z_4}^2}} = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{{{(1 + i)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{(1 - i)}^2}}} = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{2i}} + \dfrac{1}{{ - 2i}} = \dfrac{5}{4}\)
Chọn A
Đáp án A:
\(\dfrac{5}{4}\)
Đáp án B:
-\(\dfrac{5}{4}\)
Đáp án C:
\(\dfrac{3}{4}\)
Đáp án D:
\(\dfrac{7}{4}\)
Câu hỏi 24
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Tìm tất cả các nghiệm của phương trình: \({z^4} - 4{z^3} + 14{z^2} - 36z + 45 = 0\)
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}{z^4} - 4{z^3} + 14{z^2} - 36z + 45 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{z^2} + 9} \right)({z^2} - 4{\rm{z}} + 5) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} + 9 = 0\\{z^2} - 4{\rm{z}} + 5 = 0\end{array} \right.\end{array}\)
+) Phương trình: \({z^2} + 9 = 0 \Leftrightarrow {z^2} = - 9 = 9{i^2} \Leftrightarrow z = \pm 3i\)
+) Phương trình: \({z^2}-4z + 5 = 0\) có \(\Delta ' = 4 - 5 = - 1 = {i^2} \Rightarrow z = 2 \pm i\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(\left\{ {2 + i;2 - i;3i; - 3i} \right\}\)
Chọn C
Đáp án A:
\(\left\{ {2 + i;3i; - 3i} \right\}\)
Đáp án B:
\(\left\{ {2 + i;3i; - 3i} \right\}\)
Đáp án C:
\(\left\{ {2 + i;2 - i;3i; - 3i} \right\}\)
Đáp án D:
\(\left\{ {2 + i;2 - i;3i;} \right\}\)
Câu hỏi 25
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Cho phương trình \({z^3} + a{z^2} + bz + c = 0\left( {a,b,c \in R;{\text{ }}a \ne 0} \right)\). Nếu \(z = 1 + i\) và \(z = 2\) là 2 nghiệm của phương trình thì \(a,b,c\) bằng:
Lời giải chi tiết :
Vì \(z = 1 + i\) là nghiệm của phương trình nên ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {1 + i} \right)^3} + a{\left( {1 + i} \right)^2} + b\left( {1 + i} \right) + c = 0\\ \Leftrightarrow 1 + 3i + 3{i^2} + {i^3} + a(1 + 2i + {i^2}) + b + bi + c = 0\\ \Leftrightarrow 1 + 3i - 3 - i + a + 2ai - a + b + bi + c = 0\\ \Leftrightarrow \left( {b + c - 2} \right) + \left( {2a + b + 2} \right)i = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b + 2 = 0\\b + c - 2 = 0\end{array} \right.{\rm{ }}\left( 1 \right)\end{array}\)
Vì \(z = 2\) là nghiệm của phương trình nên:
\({2^3} + a{.2^2} + b.2 + c = 0 \Leftrightarrow 4a + 2b + c + 8 = 0{\text{ }}\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = - 2\\b + c = 2\\4a + 2b + c = - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 4\\b = 6\\c = - 4\end{array} \right.\)
Chọn A
Đáp án A:
\(\left\{ \begin{array}{l}a = - 4\\b = 6\\c = - 4\end{array} \right.\)
Đáp án B:
\(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\\c = 4\end{array} \right.\)
Đáp án C:
\(\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 5\\c = 1\end{array} \right.\)
Đáp án D:
\(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = - 1\\c = 2\end{array} \right.\)
Câu hỏi 26
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Cho hai số thực b ;c (c > 0). Kí hiệu A, B là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai nghiệm của phương trình \({{z}^{2}}+2bz+c=0\), tìm điều kiện của b và c sao cho tam giác OAB là tam giác vuông (với O là gốc tọa độ).
Phương pháp giải :
+) Nếu \(z\) là một nghiệm phức của phương trình bậc hai thì \(\overline{z}\) cũng là nghiệm của phương trình bậc hai đó.
+) Tìm hai nghiệm phức của phương trình bậc hai đã cho.
+) Xác định các điểm biểu diễn A, B.
+) \(\Delta OAB\) vuông tại \(O\Rightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\).
Lời giải chi tiết :
Ta có \(\Delta '={{b}^{2}}-c<0\Leftrightarrow {{b}^{2}}<C\)
Gọi \(z=x+yi\) la 1 nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}+2bz+c=0\Rightarrow \overline{z}=x-yi\) cũng là một nghiệm của phương trình.
Ta có
\(\begin{array}{l}z + \overline z = 2x = - 2b \Leftrightarrow x = - b\\z.\overline z = {x^2} + {y^2} = c \Leftrightarrow y = \pm \sqrt {c - {b^2}} \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = - b + \sqrt {c - {b^2}} i \Rightarrow A\left( { - b;\sqrt {c - {b^2}} } \right)\\\overline z = - b - \sqrt {c - {b^2}} i \Rightarrow B\left( { - b; - \sqrt {c - {b^2}} } \right)\end{array} \right.\\OA \bot OB \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0 \Leftrightarrow {b^2} - \left( {c - {b^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2{b^2} - c = 0 \Leftrightarrow c = 2{b^2}\end{array}\)
Chọn C.
Đáp án A:
\(c = b\)
Đáp án B:
\(c={{b}^{2}}\)
Đáp án C:
\(c=2{{b}^{2}}\)
Đáp án D:
\({{b}^{2}}=2c\)
Câu hỏi 27
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Gọi \({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\) là các nghiệm phức của phương trình \({z^4} + {z^2} - 6 = 0\). Tính \(T = z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + z_4^2\).
Phương pháp giải :
Giải phương trình phức và kết luận.
Lời giải chi tiết :
Ta có: \({z^4} + {z^2} - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = - 3\\{z^2} = 2\end{array} \right.\)
\({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\) là các nghiệm phức của phương trình \({z^4} + {z^2} - 6 = 0 \Rightarrow z_1^2 = z_2^2 = - 3;\,\,\,z_3^2 = z_4^2 = 2\)
\(T = z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + z_4^2 = - 3 - 3 + 2 + 2 = - 2\).
Chọn: D
Đáp án A:
\(T = 2\).
Đáp án B:
\(T = 14\).
Đáp án C:
\(T = 4\).
Đáp án D:
\(T = - 2\).
Câu hỏi 28
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Tham số phức \(m\) bằng bao nhiêu để phương trình: \({{z}^{2}}+mz+3i=0\) có tổng bình phương các nghiệm bằng \(8\)
Phương pháp giải :
- Áp dụng định lý Vi-et cho phương trình bậc hai: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \frac{b}{a}\\{z_1}.{z_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\)
- Thay vào biểu thức bài cho để tìm .
Lời giải chi tiết :
Ta có: \({{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-m;{{z}_{1}}.{{z}_{2}}=3i\)
\(\Rightarrow {{z}_{1}}^{2}+{{z}_{2}}^{2}=8\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}.{{z}_{2}}=8\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 2.3i = 8\\ \Leftrightarrow {m^2} = 8 + 6i = {\left( {3 + i} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3 + i\\m = - 3 - i\end{array} \right.\end{array}\)
Chọn C
Đáp án A:
\(m=3+i\)
Đáp án B:
m = -3 + i
Đáp án C:
\(\left[ \begin{array}{l}m = 3 + i\\m = - 3 - i\end{array} \right.\)
Đáp án D:
\(\left[ \begin{array}{l}m = 3 + i\\m = - 3 + i\end{array} \right.\)
Câu hỏi 29
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Gọi \({{z}_{1}}\) là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình: \({{z}^{2}}+4z+20=0\). Khi đó giá trị biểu thức \(A={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+2\left( {{z}_{1}}^{2}+{{z}_{2}}^{2} \right)\) bằng
Phương pháp giải :
- Giải phương trình bậc hai tìm hai nghiệm.
- Kết hợp điều kiện để loại nghiệm.
- Thay nghiệm thỏa mãn vào biểu thức cần tính giá trị.
Lời giải chi tiết :
Phương trình : \({{z}^{2}}+4z+20=0\)
Có: \(\Delta '=4-20=-16=16{{i}^{2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{\Delta '}=\sqrt{16{{i}^{2}}}=4i\)
Phương trình có \(2\) nghiệm là: \({{z}_{1}}=-2-4i;{{z}_{2}}=-2+4i\)
Khi đó: \({{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}={{(-2)}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}=20\) và \({{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-4;{{z}_{1}}.{{z}_{2}}=20\)
\(\Rightarrow \left( {{z}_{1}}^{2}+{{z}_{2}}^{2} \right)={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{\left( -4 \right)}^{2}}-2.20=-24\)
Vậy \(A={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+2\left( {{z}_{1}}^{2}+{{z}_{2}}^{2} \right)=20+2(-24)=-28\)
Chọn A
Đáp án A:
-28
Đáp án B:
2
Đáp án C:
16
Đáp án D:
6
Câu hỏi 30
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Cho số phức \(z\)và gọi \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 8i = 0\) (\({z_1}\) có phần thực dương). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {z - {z_1}} \right| + \left| {{z_2} - z} \right| + \left| {\overline z + 2{z_1} + \dfrac{{{z_2}}}{2}} \right|\) được viết dưới dạng \(m\sqrt n + p\sqrt {q\,} \)(trong đó \(n,p \in \mathbb{N};\;\;m,q\)là các số nguyên tố). Tổng \(m + n + p + q\) bằng
Lời giải chi tiết :
Đặt \(z=a+bi\Rightarrow \overline{z}=a-bi\,\,\left( a;b\in \mathbb{R} \right)\).
\(\Rightarrow P=\sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( a+3 \right)}^{2}}+{{\left( b+3 \right)}^{2}}}=f\left( a;b \right)\).
Ta có \(f\left( a;b \right)=f\left( b;a \right)\,\,\forall a,b\), ta dự đoán dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=k\).
\(\sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}}\ge \frac{1}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}}}\sqrt{\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right)\left[ {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}} \right]}\ge \frac{m\left( a-2 \right)+n\left( b+2 \right)}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}}}\).
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}\frac{m}{a-2}=\frac{n}{b+2} \\ a=b=k \\ \end{align} \right.\). Chọn \(m=k-2,\,\,n=k+2\).
\(\Rightarrow \sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}}\ge \frac{\left( k-2 \right)\left( a-2 \right)+\left( k+2 \right)\left( b+2 \right)}{\sqrt{2{{k}^{2}}+8}}=\frac{k\left( a+b \right)-2a+2b+8}{\sqrt{2{{k}^{2}}+8}}\)
Tương tự :
\(\begin{align}\sqrt{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}}\ge \frac{k\left( a+b \right)+2a-2b+8}{\sqrt{2{{k}^{2}}+8}} \\ \sqrt{{{\left( a+3 \right)}^{2}}+{{\left( b+3 \right)}^{2}}}\ge \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{{{\left[ 1\left( a+3 \right)+1\left( b+3 \right) \right]}^{2}}}=\frac{a+b+6}{\sqrt{2}} \\ \end{align}\)
Cộng vế với vế ta có: \(P\ge \frac{2k\left( a+b \right)}{\sqrt{2{{k}^{2}}+8}}+\frac{16}{\sqrt{2{{k}^{2}}+8}}+\frac{a+b}{\sqrt{2}}+\frac{6}{\sqrt{2}}\) cần chọn số \(k\) sao cho \(\frac{2k}{\sqrt{2{{k}^{2}}+8}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=0\Leftrightarrow k=-\frac{2}{\sqrt{3}}\).
Khi đó \(P\ge 2\sqrt{6}+3\sqrt{2}\).
Vậy \(m=q=2;\,\,n=6;\,\,p=3 \,\,\Rightarrow m+n+p+q=2+6+3+2=13\).
Chọn B.
(Sưu tầm Group FB: Strong Team Toán VD – VDC).
Đáp án A:
\(10.\)
Đáp án B:
\(13.\)
Đáp án C:
\(11.\)
Đáp án D:
\(12.\)