120 bài tập phép vị tự

\({S_{hv}} = 4 \Rightarrow \) cạnh hình vuông bằng 2.

\(V\left( {I; - 2} \right) \Rightarrow \) cạnh hình vuông mới bằng \(\left| { - 2} \right|\).cạnh hình vuông cũ.

\( \Rightarrow \) Cạnh hình vuông mới bằng \(4\)

\( \Rightarrow {S_m} = {4^2} = 16\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{S_c}}}{{{S_m}}} = \dfrac{4}{{16}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow \)\(S\)tăng 4 lần

Chọn C.

Vô số tâm vì tự tùy ý với tỷ số vị tự \(k = 1\).

Chọn D.

\(\begin{array}{l}V\left( {G;k} \right)A = A'\\ \Rightarrow \overrightarrow {GA} = k\overrightarrow {GA'} \Rightarrow k = - 2\end{array}\)

Chọn B.

\(\begin{array}{l}AC \cap BD = \left\{ I \right\}\\{V_{\left( {I;k} \right)}}\left( {AB} \right) = CD\\k\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD}  \Rightarrow k =  - \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Chọn A.

Cho điểm \(I\) cố định và một số \(k \ne 0\) phép vị tự tâm \(I\) có tỉ số \(k\) là phép biến \(M \in \left( d \right)\) thành \(M' \in \left( {d'} \right)\) sao cho \(\overrightarrow {IM'}  = k\overrightarrow {IM} \)

\( \Rightarrow \) Có vô số phép vị tự (vì có thể có nhiều tâm vị tự).

Chọn D.

\(\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 5\) có tâm \(A\left( {3; - 1} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 5 \)

Phép vị tự tỉ số \(k =  - 2 \Rightarrow {R_{\left( {C'} \right)}} = \left| { - 2} \right|.\sqrt 5  = 2\sqrt 5 \)

\(\overrightarrow {IA'}  = \left( { - 2} \right).\overrightarrow {IA} \)

Gọi \(A'\left( {x;y} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {IA'} \left( {x - 1;y - 2} \right);\,\,\,\overrightarrow {IA} \left( {2; - 3} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = \left( { - 2} \right).2\\y - 2 = \left( { - 2} \right).\left( { - 3} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y = 8\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {C'} \right):{\left[ {x - \left( { - 3} \right)} \right]^2} + {\left( {y - 8} \right)^2} = {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 8} \right)^2} = 20\end{array}\)

Chọn C.

\({V_{\left( {I;2} \right)}}\left( d \right) = \Delta  \Rightarrow d\parallel \Delta \)\( \Rightarrow \) Phương trình \(\Delta \) có dạng \(x - y + c = 0.\)

Lấy điểm \(A\left( {0;2} \right) \in d\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A'\left( {x;y} \right) \in \Delta ,\,\,A' = {V_{\left( {I;2} \right)}}\left( A \right) \Rightarrow \overrightarrow {IA'}  = 2\overrightarrow {IA} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 0 = 2\left( {0 - 0} \right)\\y - 5 = 2\left( {2 - 5} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {0; - 1} \right)\end{array}\)

Thay tọa độ điểm \(A'\) vào phương trình \(\Delta \) ta có: \(0 - \left( { - 1} \right) + c = 0 \Leftrightarrow c =  - 1\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(\Delta :x - y - 1 = 0\)

\( \Rightarrow d\left( {0;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {0 - 0 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}.\)

Chọn C.

\(\Delta :2x + 3y = 5 \Leftrightarrow 2x + 3y - 5 = 0\)

\({V_{\left( {I;3} \right)}}\left( \Delta  \right) = d \Leftrightarrow \Delta \parallel d \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(d\) có dạng: \(2x + 3y + c = 0\)

Lấy điểm \(A\left( {1;1} \right) \in \Delta \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A'\left( {x;y} \right) \in d,\,\,A' = {V_{\left( {I;3} \right)}}\left( A \right) \Rightarrow \overrightarrow {IA'}  = 3\overrightarrow {IA} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 3\left( {1 - 1} \right)\\y - 5 = 3\left( {1 - 5} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 7\end{array} \right.\\ \Rightarrow A'\left( {1; - 7} \right)\end{array}\)

Thay tọa độ điểm \(A'\) vào phương trình \(d\) ta có: \(2.1 + 3.\left( { - 7} \right) + c = 0 \Leftrightarrow c = 19\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(d\) là \(2x + 3y + 19 = 0\)

Thay lần lượt 4 đáp án vào ta thấy chỉ có điểm \(\left( { - 8; - 1} \right)\) thỏa mãn và thuộc đường thẳng \(d\).

Chọn C.

\({V_{\left( {I; - 4} \right)}}\,\left( \Delta  \right) = d \Rightarrow \Delta \parallel d\)\( \Rightarrow \) Phương trình \(d\) có dạng: \(x - 2y + c = 0\)

Lấy điểm \(A\left( {0;3} \right) \in \Delta \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A'\left( {x;y} \right) \in d,\,\,\,A' = {V_{\left( {I; - 4} \right)}}\left( A \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IA'}  =  - 4\overrightarrow {IA} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 =  - 4\left( {0 - 2} \right)\\y - m =  - 4\left( {3 - m} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 5m - 12\end{array} \right.\end{array}\)

Thay tọa độ điểm \(A'\) vào phương trình \(d'\) ta có: \(10 - 2\left( {5m - 12} \right) + c = 0\,\left( 1 \right)\)

Ta có

\(\begin{array}{l}H\left( {16;1} \right) \in d \Rightarrow 16 - 2.1 + c = 0 \Leftrightarrow c =  - 14\\ \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow 10 - 2\left( {5m - 12} \right) - 14 = 0 \Leftrightarrow m = 2\end{array}\)

Chọn D.

Qua \({V_{\left( {G;k} \right)}}\) biến \(A\) thành \(N\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Rightarrow \overrightarrow {GN} = k\overrightarrow {GA} }\\
{ \Rightarrow k = - \frac{1}{2}}
\end{array}\)

Chọn D.

\(M\left( {x;y} \right)\) là điểm bất kì thuộc \(d\)

\(M'\left( {x';y'} \right)\) là ảnh của \(M\) qua \(V\left( {I;2} \right)\)

\(\begin{array}{l}{V_{\left( {I;k} \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {IM'}  = k\overrightarrow {IM} \\ \Leftrightarrow \left( {x' - 1;y' - 2} \right) = 2\left( {x - 1;y - 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' - 1 = 2x - 2\\y' - 2 = 2y - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{x' + 1}}{2}\\y = \dfrac{{y' + 2}}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Thay \(\left( {x;y} \right)\) vào \(d\):

\(\begin{array}{l}\dfrac{{y' + 2}}{2} = \dfrac{{x' + 1}}{2} + 1\\ \Leftrightarrow y' + 2 = x' + 1 + 2\\ \Leftrightarrow y' = x' + 1\\ \Leftrightarrow y' - x' - 1 = 0\\ \Leftrightarrow x' - y' + 1 = 0\end{array}\)

Chọn A.

\(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 5\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 5 \)

Ta có: Phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k =  - 2\)

\( \Rightarrow {R_{\left( {C'} \right)}} = \left| k \right|.{R_{\left( C \right)}}\)\( \Leftrightarrow {R_{\left( {C'} \right)}} = \left| { - 2} \right|.\sqrt 5  = 2\sqrt 5 \)

Phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k =  - 2\) biến \(I\left( {1; - 2} \right)\) thành \(I'\left( {x;y} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1.\left( { - 2} \right)\\y = \left( { - 2} \right).\left( { - 2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 4\end{array} \right.\\ \Rightarrow I'\left( { - 2;4} \right)\\ \Rightarrow \left( {C'} \right):{\left[ {x - \left( { - 2} \right)} \right]^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 20\end{array}\)

Chọn C.

\(\left\{ \begin{array}{l}{V_{\left( {I; - 2} \right)}}\\I\left( {3; - 1} \right)\\M\left( {4;5} \right)\end{array} \right.\)

Qua\({V_{\left( {I; - 2} \right)}}\) biến \(M\) thành \(M'\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {IM'}  = k\overrightarrow {IM}  \Leftrightarrow \left( {x - 3;y + 1} \right) =  - 2\left( {1;6} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 13\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( {1; - 13} \right).\end{array}\)

Chọn A.

\(\overrightarrow {IM'}  = k\overrightarrow {IM} \)

Tỉ số \(k\) biến \(M\) thành chính nó

\( \Rightarrow k = 1\)

Chọn B.

Ta có \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow i  - 7\overrightarrow j  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 1\\{y_A} =  - 7\end{array} \right.\).

Nên \({V_{\left( {O; - 3} \right)}}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \overrightarrow {OA'}  =  - 3\overrightarrow {OA}  \Rightarrow A'\left( { - 3;21} \right)\).

Chọn D.

\(\left\{ \begin{array}{l}{V_{\left( {A;\dfrac{3}{2}} \right)}}\left( A \right) = A\\{V_{\left( {A;\dfrac{3}{2}} \right)}}\left( B \right) = B'\\{V_{\left( {A;\dfrac{3}{2}} \right)}}\left( C \right) = C'\end{array} \right. \Rightarrow {V_{\left( {A;\dfrac{3}{2}} \right)}}\left( {\Delta ABC} \right) = \Delta AB'C'\).

\( \Rightarrow \) Bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AB'C'\) gấp \(\dfrac{3}{2}\) lần bán kính của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) là

\(r = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \dfrac{1}{2}\sqrt {{6^2} + {8^2}}  = 5\).

Vậy \(R = \dfrac{3}{2}r = \dfrac{3}{2}.5 = \dfrac{{15}}{2}\).

Chọn C.

Đường tròn \(\left( C \right):\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25\) có bán kính \(R = 5\).

Phép vị tự tỉ số \(k =  - \dfrac{1}{2}\) biến đường tròn \(\left( C \right)\) thành đường tròn có bán kính \(R' = \left| { - \dfrac{1}{2}} \right|R = \dfrac{1}{2}.5 = \dfrac{5}{2}\).

Chọn B.

Lấy \(M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\)

Phép vị tự tâm O tỉ số \(k = \dfrac{1}{2}\) biến \(M\left( {x;y} \right) \mapsto M'\left( {x';y'} \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = \dfrac{1}{2}x\\y' = \dfrac{1}{2}y\end{array} \right.\)

Phép quay tâm O góc quay  \(180^\circ \) biến \(M'\left( {x';y'} \right) \mapsto M''\left( {x'';y''} \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x'' =  - x'\\y'' =  - y'\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x'' =  - \dfrac{1}{2}x\\y'' =  - \dfrac{1}{2}y\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2x''\\y =  - 2y''\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {\left( {2x'' - 2} \right)^2} + {\left( {2y'' - 2} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {x'' - 1} \right)^2} + {\left( {y'' - 1} \right)^2} = 1\)

Vậy phương trình của đường tròn cần tìm là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\).

Chọn: A

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), ta có \(IG = \dfrac{1}{3}IA\)  suy ra \(\overrightarrow {IG}  = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {IA} \)  nên phép vị tự tâm \(I\) tỉ số \(\dfrac{1}{3}\) biến \(A\) thành \(G.\)

Mà điểm \(A\) chạy trên đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) cố định nên quỹ tích điểm \(G\) là ảnh của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) qua phép vị tự tâm \(I\) tỉ số \(\dfrac{1}{3}\).

Chọn C

\(\overrightarrow {DC}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {IC}  =  - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {IA} \\\overrightarrow {ID}  =  - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {IB} \end{array} \right.\,\, \Rightarrow {V_{\left( {I;k =  - \dfrac{1}{2}} \right)}}:AB \mapsto CD\)

Chọn: A