50 bài tập vecto trong không gian

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GA'}  + \overrightarrow {GB'}  + \overrightarrow {GC'}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {GI}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {GI}  + \overrightarrow {IA'}  + \overrightarrow {GI}  + \overrightarrow {IB'}  + \overrightarrow {GI}  + \overrightarrow {IC'}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {GI}  + \left( {\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IA'}  + \overrightarrow {IB'}  + \overrightarrow {IC'} } \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IG}  = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {IC'}  + \overrightarrow {C'A'}  + \overrightarrow {IC'}  + \overrightarrow {C'A'}  + \overrightarrow {A'B'}  + \overrightarrow {IC'} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IG}  = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {IC}  + 3\overrightarrow {IC'}  + 3\overrightarrow {CA}  + 2\overrightarrow {A'B'} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IG}  = \dfrac{1}{4}\left( { - \dfrac{2}{3}\overrightarrow a  + \overrightarrow a  - 3\overrightarrow c  + 2\overrightarrow b } \right) = \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{3}\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b  - 3\overrightarrow c } \right)\end{array}\)

Chọn A.

Ta có: \(\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CC'} \).

Mà \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AD} ,\,\,\overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {AA'}  \Rightarrow \overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} \).

Chọn C.

Do \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) là hình lập phương nên \(AC{C_1}{A_1}\) là hình chữ nhật.

\( \Rightarrow O\) là trung điểm của \(A{C_1} \Rightarrow \overrightarrow {AO}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {A{C_1}} \).

Ta có: \(\overrightarrow {A{C_1}}  = \overrightarrow {A{A_1}}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {A{A_1}}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \)

 \( \Rightarrow \overrightarrow {AO}  = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {A{A_1}} } \right).\)

Chọn B.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GD} \\ = 3\overrightarrow {AG}  + \left( {\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} } \right) = 3\overrightarrow {AG}  - \overrightarrow {GA}  = 4\overrightarrow {AG} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AG}  = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right)\end{array}\)

Chọn D.

Do \(ABC'D'\) là hình bình hành \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = CD\\AB \nearrow  \nearrow D'C'\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {D'C'} \).

Chọn B.

Do \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) nên \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {GD}  + \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {GD}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {GD}  + \left( {\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC} } \right) = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC}  = 3\overrightarrow {DG} \end{array}\)

Vậy mệnh đề C đúng.

Chọn C.

Do \(O\) là trung điểm của \(AC,\,\,BD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = 2\overrightarrow {SO} \\\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = 2\overrightarrow {SO} \end{array} \right. \Rightarrow \) Mệnh đề A, B đúng.

\( \Rightarrow \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = 2\overrightarrow {SO}  \Rightarrow \) Mệnh đề C đúng.

Chọn D

Ta có:

\(\begin{array}{l}2\overrightarrow y  - \overrightarrow x  = 2\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b  - \overrightarrow c } \right) - \left( {2\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, =  - 3\overrightarrow b  - 2\overrightarrow c  = \overrightarrow z \end{array}\)

Do đó ba vectơ \(\overrightarrow x ,\,\,\overrightarrow y ,\,\,\overrightarrow z \) đồng phẳng.

Chọn A

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AG} \).

Chọn A.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'C'}  = AB.A'C'.\cos \angle \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {A'C'} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = AB.A'C'.\cos \angle \left( {\overrightarrow {A'B'} ;\overrightarrow {A'C'} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = a.a\sqrt 2 .\cos {45^0} = {a^2}\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}\end{array}\)

Chọn C.

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MG}  = \overrightarrow {MS}  + \overrightarrow {SG}  =  - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SA}  + \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC} } \right)\\ =  - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SA}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SA}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SB}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SC}  = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SB}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SC} \end{array}\)

Chọn B.

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {MG}  = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MG}  = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CM}  - \overrightarrow {DM} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MG}  = \dfrac{1}{6}\overrightarrow b  - \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB} } \right) - \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DB} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MG}  = \dfrac{1}{6}\overrightarrow b  - \dfrac{1}{6}\left( {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AB} } \right) - \dfrac{1}{6}\left( {\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {AB} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MG}  = \dfrac{1}{6}\overrightarrow b  - \dfrac{1}{6}\left( { - 2\overrightarrow c  + \overrightarrow b } \right) - \dfrac{1}{6}\left( { - 2\overrightarrow d  + \overrightarrow b } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MG}  = \dfrac{1}{6}\overrightarrow b  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow c  - \dfrac{1}{6}\overrightarrow b  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow d  - \dfrac{1}{6}\overrightarrow b \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MG}  =  - \dfrac{1}{6}\overrightarrow b  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow c  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow d \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MG}  =  - \dfrac{1}{6}\left( {\overrightarrow b  - 2\overrightarrow c  - 2\overrightarrow d } \right)\end{array}\)

Vậy \(\overrightarrow {MG}  =  - \dfrac{1}{6}\left( {\overrightarrow b  - 2\overrightarrow c  - 2\overrightarrow d } \right)\).

Chọn A.

Ta có: \(\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CC'} \).

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} .\)

Lại có: \(\overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {AA'} \).

Do đó \(\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} .\)

Chọn C.

Ta có \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} \)

Mà \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {B'D'} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {B'D'}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} \) .

Vậy \(\overrightarrow {B'D'} ;\,\,\overrightarrow {BA} ;\,\,\overrightarrow {BC} \) đồng phẳng.

Chọn B.

Ta có \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = 3\overrightarrow {AG} \)

Chọn B.

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\) nên ta có: \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {GA}  + \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {AG}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AG}  = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right)\end{array}\)

Vậy khẳng định đúng là A.

Chọn A.

Vì G là trọng tâm của tam giác BCD thì \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \).

Chọn D.

Gọi \(I = AB' \cap A'B\), vì ABB’A’ là hình bình hành nên I là trung điểm của A’B và AB’ \( \Rightarrow I\left( {\frac{3}{2};1;1} \right)\).

Gọi E là trung điểm của CD’ \( \Rightarrow E\left( {\frac{1}{2};2; - 3} \right)\).

Xét tứ giác A’D’CB có A’D’ // BC, A’D’ = BC \( \Rightarrow A'D'CB\) là hình bình hành \( \Rightarrow A'B\parallel CD'\) và A’B = CD’.

\( \Rightarrow BI\parallel CE\) và BI = CE, do đó \(\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {CE} \).

Ta có \(\overrightarrow {CE}  = \left( { - \frac{5}{2};2;0} \right)\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{2} - {x_B} =  - \frac{5}{2}\\1 - {y_B} = 2\\1 - {z_B} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 4\\{y_B} =  - 1\\{z_B} = 1\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {4; - 1;1} \right)\).

Chọn A.

Ta có: \(\cos \left( \overrightarrow{MN},\overrightarrow{AC'} \right)=\frac{\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AC'}}{\left| \overrightarrow{MN} \right|.\left| \overrightarrow{AC'} \right|}\)

Gọi cạnh của hình lập phương bằng a.

\(AM\bot \left( ABB'A' \right)\Rightarrow AM\bot AN\Rightarrow \Delta AMN\) vuông tại A

\(\begin{align}  & M{{N}^{2}}=M{{A}^{2}}+A{{N}^{2}}=M{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}+B{{N}^{2}} \\  & =\frac{{{a}^{2}}}{4}+{{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{4}=\frac{3{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow MN=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \\ \end{align}\)

\(B'C'\bot \left( ABB'A' \right)\Rightarrow B'C'\bot AB'\Rightarrow \Delta B'C'\) vuông tại B’.

\(\begin{align}  & C'{{A}^{2}}=C'B{{'}^{2}}+B'{{A}^{2}}=C'B{{'}^{2}}+B'{{B}^{2}}+B{{A}^{2}} \\  & ={{a}^{2}}+{{a}^{2}}+{{a}^{2}}=3{{a}^{2}}\Rightarrow C'A=a\sqrt{3} \\ \end{align}\)

Lại có:

\(\begin{align}  & \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AC'}=\left( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN} \right)\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{B'C'} \right) \\  & =\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AB}+A{{B}^{2}}+\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{B'C'} \\ \end{align}\)

Mà \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{B'C'}=\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{B'C'}=0\) (do các tích vô hướng của các vector vuông góc)

Nên \(\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AC'}=A{{B}^{2}}+\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{B'C'}={{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{2}-\frac{{{a}^{2}}}{2}={{a}^{2}}\)

Vậy \(\cos \left( \overrightarrow{MN},\overrightarrow{AC'} \right)=\frac{\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AC'}}{\left| \overrightarrow{MN} \right|.\left| \overrightarrow{AC'} \right|}=\frac{{{a}^{2}}}{\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\)

Chọn B.

\(\begin{array}{l}\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{AB.CD}} = \frac{{\overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AC} } \right)}}{{AB.CD}} = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.CD}}\\ = \frac{{AB.AD.\cos \left( {AB;AD} \right) - AB.AC.\cos \left( {AB;AC} \right)}}{{AB.CD}}\\ = \frac{{A{B^2} + A{D^2} - B{D^2} - \left( {A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}} \right)}}{{2AB.CD}}\\ =  - \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right) = {120^0} \Rightarrow \left( {AB;CD} \right) = {60^0}\end{array}\)

Chọn A.