-
Lớp 12
-
Lớp 11
-
Lớp 10
- SGK Toán 10 - Đại Số và Hình Học Toán 10
- SGK Toán 10 nâng cao
- SGK Tiếng Anh 10
- SGK Tiếng Anh 10 Mới
- Văn mẫu 10
- Soạn văn 10 chi tiết
- Soạn văn 10 ngắn gọn
- Soạn văn 10 siêu ngắn
- Tác giả - Tác phẩm văn 10
- SGK Vật lý 10
- SGK Vật lý 10 nâng cao
- SGK Hóa học 10
- SGK Hóa học 10 nâng cao
- SGK Sinh học 10
- SGK Sinh học 10 nâng cao
-
Lớp 9
-
Lớp 8
-
Lớp 7
-
Lớp 6
- Lớp 5
- Lớp 4
- Lớp 3
- Lớp 2
- Lớp 1
- Thông tin tuyển sinh
60 bài tập định nghĩa đạo hàm
Lớp:
Môn học:
Bài học:
Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Câu trắc nghiệm:
Câu hỏi 1
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Phát biểu nào trong các phát biểu sau là đúng?
Phương pháp giải :
Phương pháp:
Định nghĩa đạo hàm: Nếu hàm số \(f\left( x \right)\) xác định tại \({x_0}\) và tồn tại giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) thì hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm tại \({x_0}\).
Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm: Nếu hàm số \(f\left( x \right)\) xác định tại \({x_0}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\) thì hàm số liên tục tại \({x_0}\).
Lời giải chi tiết :
Cách giải:
Dựa vào định nghĩa đạo hàm, ta có kết quả:
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại \({x_0}\) thì tồn tại giới hạn \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\) vì nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \ne f\left( {{x_0}} \right)\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \pm \infty \)
Do đó hàm số liên tục tại điểm \(x = {x_0}\).
Chọn đáp án D
Đáp án A:
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trái tại \({x_0}\) thì nó liên tục tại điểm đó
Đáp án B:
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm phải tại \({x_0}\) thì nó liên tục tại điểm đó
Đáp án C:
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại \({x_0}\) thì nó liên tục tại điểm \( - {x_0}\)
Đáp án D:
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại \({x_0}\) thì nó liên tục tại điểm đó
Câu hỏi 2
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}+1,\,\,x\ge 1 \\& 2x,\,\,\,\,\,\,\,\,x<1.\, \\\end{align} \right.\) Mệnh đề sai là
Phương pháp giải :
Phương pháp. Sử dụng định nghĩa, công thức đạo hàm cơ bản để tính trực tiếp đạo hàm và kết luận.
Lời giải chi tiết :
Ta có \(x>1\) thì \(f\left( x \right)={{x}^{2}}+1\) nên \(f'\left( x \right)=2x\Rightarrow f'\left( 2 \right)=2.2=4.\)
Đáp án D đúng.
Tương tự ta có \(f'\left( 0 \right)=2\)
đáp án C đúng.
Ta kiểm tra xem \(f\) có đạo hàm tại \({{x}_{0}}=1\) hay không?
Ta có \(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( {{x}^{2}}+1 \right)-2}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x+1 \right)=2.\)
Tương tự ta có \(\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-2}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\left( x-1 \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,2=2.\)
Như vậy \(\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=2.\)
Do đó \(f'\left( 1 \right)=2.\)
Đáp án A đúng.
Chọn đáp án B.
Đáp án A:
\(f'\left( 1 \right)=2.\)
Đáp án B:
\(f\) không có đạo hàm tại \({{x}_{0}}=1.\)
Đáp án C:
\(f'\left( 0 \right)=2.\)
Đáp án D:
\(f'\left( 2 \right)=4.\)
Câu hỏi 3
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right)=\sqrt{x+1}\). Tính đạo hàm của hàm số tại điểm \({{x}_{0}}=1\)
Phương pháp giải :
Đạo hàm của hàm số \(y=f\left( x \right)\) tại điểm \(x={{x}_{0}}\) là \(f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\) (nếu tồn tại).
Lời giải chi tiết :
TXĐ: \(D=\left[ -1;+\infty \right)\)
\(f'\left( 1 \right)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1-2}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{x+1}+\sqrt{2} \right)}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}\)
Chọn A.
Đáp án A:
\(\frac{\sqrt{2}}{4}\)
Đáp án B:
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Đáp án C:
\(2\sqrt{2}\)
Đáp án D:
\(\frac{\sqrt{2}}{3}\)
Câu hỏi 4
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Khi tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{2}}+5x-3\) tại điểm \({{x}_{0}}=2\), một học sinh đã tính theo các bước sau:
Bước 1: \(f\left( x \right)-f\left( 2 \right)=f\left( x \right)-11\)
Bước 2: \(\frac{f\left( x \right)-f\left( 2 \right)}{x-2}=\frac{{{x}^{2}}+5x-3-11}{x-2}=\frac{\left( x-2 \right)\left( x+7 \right)}{x-2}=x+7\)
Bước 3: \(\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 2 \right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left( x+7 \right)=9\Rightarrow f'\left( 2 \right)=9\)
Tính toán trên nếu sai thì sai ở bước nào?
Phương pháp giải :
Xét tính đúng sai ở từng bước.
Lời giải chi tiết :
Bài giải trên hoàn toàn đúng.
Chọn D.
Đáp án A:
Bước 1
Đáp án B:
Bước 2
Đáp án C:
Bước 3
Đáp án D:
Tính toán đúng.
Câu hỏi 5
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3 - \sqrt {4 - x} \,\,\,khi\,\,x \ne 0\\1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\) . Khi đó \(f'\left( 0 \right)\) là kết quả nào sau đây?
Phương pháp giải :
Đạo hàm của hàm số \(y=f\left( x \right)\) tại điểm \(x={{x}_{0}}\) là \(f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\) (nếu tồn tại).
Lời giải chi tiết :
\(f'\left( 0 \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{3-\sqrt{4-x}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2-\sqrt{4-x}}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{4-4+x}{x\left( 2+\sqrt{4-x} \right)}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2+\sqrt{4-x}}=\frac{1}{4}\)
Chọn A.
Đáp án A:
\(\frac{1}{4}\)
Đáp án B:
\(\frac{1}{4}\)
Đáp án C:
\(\frac{1}{2}\)
Đáp án D:
2
Câu hỏi 6
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x \,\,\,khi\,\,x > 1\\{x^2}\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 1\end{array} \right.\). Tính \(f'\left( 1 \right)\) ?
Phương pháp giải :
Đạo hàm của hàm số \(y=f\left( x \right)\) tại điểm \(x={{x}_{0}}\) là \(f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\) (nếu tồn tại).
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{\sqrt x + 1}} = \frac{1}{2}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 1} \right) = 2\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\end{array}\)
Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x = 1.
Chọn D.
Đáp án A:
\(\frac{1}{2}\)
Đáp án B:
1
Đáp án C:
2
Đáp án D:
không tồn tại.
Câu hỏi 7
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt x }}{x}\,\,khi\,\,x \ne 0\\0\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\). Xét hai mệnh đề sau:
(I) \(f'\left( 0 \right)=1\)
(II) Hàm số không có đạo hàm tại \({{x}_{0}}=0\)
Mệnh đề nào đúng?
Phương pháp giải :
Đạo hàm của hàm số \(y=f\left( x \right)\) tại điểm \(x={{x}_{0}}\) là \(f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\) (nếu tồn tại).
Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}}{{{x}^{2}}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x\sqrt{x}}=+\infty \Rightarrow \) Hàm số không có đạo hàm tại x = 0.
Chọn B.
Đáp án A:
Chỉ (I)
Đáp án B:
Chỉ (II)
Đáp án C:
Cả 2 đều đúng
Đáp án D:
Cả 2 đều sai.
Câu hỏi 8
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 1\\\frac{{{x^3} + 2{x^2} - 7x + 4}}{{x - 1}}\,\, \, \, khi\,\,x < 1\end{array} \right.\). Giá trị của \(f'\left( 1 \right)\) bằng:
Phương pháp giải :
Đạo hàm của hàm số \(y=f\left( x \right)\) tại điểm \(x={{x}_{0}}\) là \(f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\) (nếu tồn tại).
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x + 3 - 5}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x - 2}}{{x - 1}} = 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\frac{{{x^3} + 2{x^2} - 7x + 4}}{{x - 1}} - 5}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^3} + 2{x^2} - 12x + 9}}{({x - 1})^2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 3x - 9} \right)}}{({x - 1})^2}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{ {{x^2} + 3x - 9} }\over{x-1} }= +\infty.\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\end{array}\)
Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại x = 1.
Chọn D.
Đáp án A:
0
Đáp án B:
4
Đáp án C:
5
Đáp án D:
Không tồn tại
Câu hỏi 9
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{x}\,\,khi\,\,x \ne 0\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\). Giá trị của \(f'\left( 0 \right)\) bằng:
Phương pháp giải :
Đạo hàm của hàm số \(y=f\left( x \right)\) tại điểm \(x={{x}_{0}}\) là \(f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\) (nếu tồn tại)
Lời giải chi tiết :
\(f'\left( 0 \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-1}{x}}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-1}{{{x}^{2}}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+1-1}{{{x}^{2}}\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+1 \right)}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+1}=\frac{1}{2}\)
Chọn A.
Đáp án A:
\(\frac{1}{2}\)
Đáp án B:
\(-\frac{1}{2}\)
Đáp án C:
\(-2\)
Đáp án D:
không tồn tại.
Câu hỏi 10
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Xét hai mệnh đề:
(I) f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0 (II) f(x) liên tục tại x0 thì f(x) có đạo hàm tại x0
Mệnh đề nào đúng?
Phương pháp giải :
Suy luận từ công thức tính đạo hàm của hàm số tại một điểm bằng định nghĩa.
Lời giải chi tiết :
(I) hiển nhiên đúng.
(II) sai.
Ví dụ: Xét hàm số \(f\left( x \right)=\left| x \right|\) ta có
\(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,=\left| {{x}_{0}} \right|=f\left( {{x}_{0}} \right)\Rightarrow \) Hàm số liên tục tại trên R. Tuy nhiên hàm số không có đạo hàm tại x = 0
\(\begin{array}{l}f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right| - 0}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}}{x}\\\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left| x \right|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{x}{x} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left| x \right|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - x}}{x} = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left| x \right|}}{x} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left| x \right|}}{x}\end{array}\)
Không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x = 0.
Đáp án A:
Chỉ (I)
Đáp án B:
Chỉ (II)
Đáp án C:
Cả hai đều sai
Đáp án D:
Cả 2 đều đúng.
Câu hỏi 11
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Xét ba hàm số: \(\left( I \right):f\left( x \right)=\left| x \right|x,\,\,\left( II \right):g\left( x \right)=\sqrt{x}\) . Hàm số có đạo hàm tại x = 0 là:
Phương pháp giải :
Đạo hàm của hàm số \(y=f\left( x \right)\) tại điểm \(x={{x}_{0}}\) là \(f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\) (nếu tồn tại).
Lời giải chi tiết :
\(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} x = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - {x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x} \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = 0 \Rightarrow \) Hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm tại x = 0.
\(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{g\left( x \right)-g\left( 0 \right)}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}}{x}=+\infty \Rightarrow \) Hàm số \(y=g\left( x \right)\) không có đạo hàm tại x = 0.
Chọn A.
Đáp án A:
Chỉ (I)
Đáp án B:
Chỉ II
Đáp án C:
Chỉ I và II
Đáp án D:
Cả I và II
Câu hỏi 12
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt[3]{{4{x^2} + 8}} - \sqrt {8{x^2} + 4} }}{x^2}\,\,\,khi\,x \ne 0\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x = 0\end{array} \right.\). Giá trị của \(f'\left( 0 \right)\) bằng:
Phương pháp giải :
Đạo hàm của hàm số \(y=f\left( x \right)\) tại điểm \(x={{x}_{0}}\) là \(f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\) (nếu tồn tại).
Lời giải chi tiết :
Để hàm số có đạo hàm tại x = 0, trước hết hàm số phải liên tục tại x = 0.
Ta có :
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{4{x^2} + 8}} - \sqrt {8{x^2} + 4} }}{{{x^2}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{4{x^2} + 8}} - 2}}{{{x^2}}} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {8{x^2} + 4} - 2}}{{{x^2}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4{x^2}}}{{{x^2}\left( {{{\sqrt[3]{{4{x^2} + 8}}}^2} + 2\sqrt[3]{{4{x^2} + 8}} + 4} \right)}} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{8{x^2}}}{{{x^2}\left( {\sqrt {8{x^2} + 4} + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{4}{{{{\sqrt[3]{{4{x^2} + 8}}}^2} + 2\sqrt[3]{{4{x^2} + 8}} + 4}} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{8}{{\sqrt {8{x^2} + 4} + 2}} = \frac{1}{3} - 2 = - \frac{5}{3}\end{array}\)
\(f\left( 0 \right) = 0\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) \ne f\left( 0 \right)\), do đó hàm số không liên tục tại \(x = 0\).
Vậy hàm số không có đạo hàm tại \(x = 0\).
Chọn D.
Đáp án A:
\(\frac{1}{3}\)
Đáp án B:
\(-\frac{5}{3}\)
Đáp án C:
\(\frac{3}{4}\)
Đáp án D:
không tồn tại.
Câu hỏi 13
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Cho đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây sai?
Phương pháp giải :
Đạo hàm của hàm số \(y=f\left( x \right)\) tại điểm \(x={{x}_{0}}\) là \(f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\) (nếu tồn tại).
Lời giải chi tiết :
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=1,\,\,\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0\Rightarrow \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\ne \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\Rightarrow \) Không tồn tại \(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\), hàm số không liên tục tại x = 1.
Vậy hàm số không có tại hàm tại x = 1
Chọn B.
Đáp án A:
Hàm số có tại hàm tại x = 0
Đáp án B:
Hàm số có tại hàm tại x = 1
Đáp án C:
Hàm số có tại hàm tại x = 2
Đáp án D:
Hàm số có tại hàm tại x = 3
Câu hỏi 14
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^3} - 4{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 3x + 2}}\,\,\,khi\,\,x \ne 1\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.\). Giá trị của \(f'\left( 1 \right)\) bằng:
Phương pháp giải :
Đạo hàm của hàm số \(y=f\left( x \right)\) tại điểm \(x={{x}_{0}}\) là \(f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\) (nếu tồn tại).
Lời giải chi tiết :
Ta có: \(f'\left( 1 \right)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+3x}{{{x}^{2}}-3x+2}}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( x-3 \right)\left( x-1 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x-2 \right)}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( x-3 \right)}{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}=-\infty \)
Vậy hàm số không có đạo hàm tại x = 1.
Chọn D.
Đáp án A:
\(\frac{3}{2}\)
Đáp án B:
1
Đáp án C:
0
Đáp án D:
không tồn tại.
Câu hỏi 15
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+\left| x+1 \right|}{x}\). Tính đạo hàm của hàm số tại \({{x}_{0}}=-1\).
Phương pháp giải :
Đạo hàm của hàm số \(y=f\left( x \right)\) tại điểm \(x={{x}_{0}}\) là \(f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\) (nếu tồn tại).
Lời giải chi tiết :
\(f'\left( -1 \right)=\underset{x\to \left( -1 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( -1 \right)}{x+1}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{\frac{{{x^2} + x + 1}}{x} + 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{x + 1}}{x} = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{\frac{{{x^2} - x - 1}}{x} + 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{{x^2} - 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{x - 1}}{x} = 2\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}}\end{array}\)
Do đó không tồn tại \(\underset{x\to \left( -1 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( -1 \right)}{x+1}\), vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại \({{x}_{0}}=-1\).
Chọn D.
Đáp án A:
2
Đáp án B:
1
Đáp án C:
0
Đáp án D:
Không tồn tại
Câu hỏi 16
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Xét hai câu sau:
(1) Hàm số \(y=\frac{\left| x \right|}{x+1}\) liên tục tại x = 0.
(2) Hàm số \(y=\frac{\left| x \right|}{x+1}\) có đạo hàm tại x = 0.
Trong 2 câu trên:
Phương pháp giải :
+) Hàm số liên tục tại \(x={{x}_{0}}\Leftrightarrow \underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 0 \right)\)
+) Hàm số có đạo hàm tại \(x={{x}_{0}}\Leftrightarrow f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\)
Lời giải chi tiết :
Ta có: \(y = \frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}} = \left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{{x + 1}}\,\,\,khi\,x \ge 0\\\frac{{ - x}}{{x + 1}}\,\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{x}{{x + 1}} = 0 = f\left( 0 \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - x}}{{x + 1}} = 0\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow \) Hàm số liên tục tại x = 0.
\(f'\left( 0 \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}\)
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\frac{x}{{x + 1}} - 0}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{x + 1}} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\frac{{ - x}}{{x + 1}} - 0}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - 1}}{{x + 1}} = - 1\end{array} \right. \Rightarrow x = {x_0} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} \Rightarrow \) Hàm số không tồn tại đạo hàm tại x = 0.
Chọn B.
Đáp án A:
(2) đúng
Đáp án B:
(1) đúng
Đáp án C:
Cả (1), (2) đều đúng
Đáp án D:
Cả (1), (2) đều sai.
Câu hỏi 17
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Tìm a để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\,\,khi\,\,x \ne 1\\a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.\) có đạo hàm tại x = 1.
Phương pháp giải :
+) Để hàm số có đạo hàm tại x = 1 thì hàm số phải liên tục tại x = 1.
+) Đạo hàm của hàm số \(y=f\left( x \right)\) tại điểm \(x={{x}_{0}}\) là \(f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\) (nếu tồn tại).
Lời giải chi tiết :
Để hàm số có đạo hàm của hàm số tại điểm x = 1 thì trước hết hàm số phải liên tục tại x = 1, tức là \(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)\Leftrightarrow \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-1}{x+1}=a\Leftrightarrow \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( x+1 \right)=a\Leftrightarrow 2=a\)
Khi đó hàm số có dạng: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\,\,khi\,\,x \ne 1\\2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow f'\left( 1 \right)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}-2}{x-1}\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)-2\left( x-1 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1-2}{x-1}=1\)
Vậy a = 2.
Chọn B.
Đáp án A:
\(a=-2\)
Đáp án B:
a = 2
Đáp án C:
a = 1
Đáp án D:
\(a=\frac{1}{2}\)
Câu hỏi 18
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Tìm a, b để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}}\,\,khi\,\,x \ge 0\\ax + b\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\) có đạo hàm tại điểm x = 0.
Phương pháp giải :
+) Trước hết hàm số liên tục tại x = 0.
+) Đạo hàm của hàm số \(y=f\left( x \right)\) tại điểm \(x={{x}_{0}}\) là
\(f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\Leftrightarrow f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x}\)
Lời giải chi tiết :
Trước tiên hàm số phải liên tục tại x = 0.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {ax + b} \right) = b = f\left( 0 \right)\end{array}\)
Để hàm số liên tục tại x = 0 thì \(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 0 \right)\Leftrightarrow b=1\)
Khi đó ta có \(f'\left( 0 \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x}\)
Ta có
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2} - x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = - 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left( {ax + 1} \right) - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} a = a\end{array}\)
Để hàm số có đạo hàm tại x = 0 thì \(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x}\Leftrightarrow a=-1\)
Vậy \(a=-1,b=1\).
Chọn D.
Đáp án A:
\(a=-11,b=11\)
Đáp án B:
\(a=-10,b=10\)
Đáp án C:
\(a=-12,b=12\)
Đáp án D:
\(a=-1,b=1\)
Câu hỏi 19
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}a{x^2} + bx\,\,khi\,\,x \ge 1\\2x - 1\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\). Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại x = 1.
Phương pháp giải :
+) Tìm điều kiện để hàm số liên tục tại x = 1: \(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)\)
+) Tìm điều kiện để hàm số có đạo hàm tại x = 1: \(f'\left( 1 \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}\)
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {a{x^2} + bx} \right) = a + b = f\left( 1 \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2x - 1} \right) = 1\end{array}\)
Để hàm số liên tục tại x = 1 thì \(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)\Leftrightarrow a+b=1\,\,\,\left( 1 \right)\)
Khi đó ta có: \(f'\left( 1 \right)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}\)
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{a{x^2} + bx - \left( {a + b} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{a\left( {{x^2} - 1} \right) + b\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {a\left( {x + 1} \right) + b} \right] = 2a + b\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x - 1 - \left( {a + b} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x - 2}}{{x - 1}} = 2\end{array}\)
Để hàm số có đạo hàm tại x = 1 thì \(f'\left( 1 \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}\Leftrightarrow 2a+b=2\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 1\\2a + b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\end{array} \right.\)
Chọn C.
Đáp án A:
\(a=-1,b=0\)
Đáp án B:
\(a=-1,b=1\)
Đáp án C:
\(a=1,b=0\)
Đáp án D:
\(a=1,b=1\)
Câu hỏi 20
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Với hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x\sin \frac{\pi }{x}\,\,khi\,\,x \ne 0\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\) . Để tìm đạo hàm \(f'\left( 0 \right)\) một học sinh lập luận qua các bước sau:
Bước 1: \(\left| f\left( x \right) \right|=\left| x \right|\left| \sin \frac{\pi }{x} \right|\le \left| x \right|\)
Bước 2: Khi \(x\to 0\) thì \(\left| x \right|\to 0\) nên \(\left| f\left( x \right) \right|\to 0\Rightarrow f\left( x \right)\to 0\)
Bước 3: Do \(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 0 \right)=0\) nên hàm số liên tục tại x = 0.
Bước 4: Từ f(x) liên tục tại \(x=0\Rightarrow f\left( x \right)\) có đạo hàm tại x = 0.
Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?
Phương pháp giải :
Để hàm số có đạo hàm tại x0 thì hàm số liên tục tại x0, điều ngược lại chưa chắc đúng.
Lời giải chi tiết :
Một hàm số liên tục tại x0 chưa chắc có đạo hàm tại điểm đó, hơn nữa
\(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\sin \frac{\pi }{x}-0}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sin \frac{\pi }{x}=+\infty \Rightarrow \) Hàm số không có đạo hàm tại x = 0. Lập luận trên sai từ bước 4.
Chọn D.
Đáp án A:
Bước 1
Đáp án B:
Bước 2
Đáp án C:
Bước 3
Đáp án D:
Bước 4
Câu hỏi 21
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right)=x\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)...\left( x-1000 \right)\). Tính \(f'\left( 0 \right)\) ?
Phương pháp giải :
Đạo hàm của hàm số \(y=f\left( x \right)\) tại điểm \(x={{x}_{0}}\) là \(f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\)
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 1000} \right) - 0}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 1000} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right)\left( { - 3} \right)...\left( { - 1000} \right) = {\left( { - 1} \right)^{1000}}.1000! = 1000!\end{array}\)
Chọn B.
Đáp án A:
10000!
Đáp án B:
1000!
Đáp án C:
1100!
Đáp án D:
1110!
Câu hỏi 22
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Tìm a, b để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}a{x^2} + bx + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 0\\a\sin x + b\cos x\,\,\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\) có đạo hàm tại điểm \({{x}_{0}}=0\).
Phương pháp giải :
+) Trước hết, tìm điều kiện để hàm số liên tục tại x = 0.
+) Sử dụng công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa.
+) Hàm số có đạo hàm tại x = 0 \(\Leftrightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}\Leftrightarrow a=1.\) Sử dụng công thức \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=1\) .
Lời giải chi tiết :
Để hàm số có đạo hàm tại x = 1 thì trước hết hàm số phải liên tục tại x = 1.
Ta có: \(f\left( 0 \right)=1\)
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {a{x^2} + bx + 1} \right) = 1 = f\left( 0 \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {a\sin x + b\cos x} \right) = b\end{array}\)
Để hàm số liên tục tại x = 1 thì \(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 0 \right)\Leftrightarrow b=1\)
Khi đó ta có: \(f'\left( 0 \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}\)
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{a{x^2} + x + 1 - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {ax + 1} \right) = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{a\sin x + \cos x - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{2a\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} - 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {a\cos \frac{x}{2} - 2\sin \frac{x}{2}} \right) = a\end{array}\)Để tồn tại \(f'\left( 0 \right)\Leftrightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}\Leftrightarrow a=1.\)
Chọn A.
Đáp án A:
\(a=1,b=1\)
Đáp án B:
\(a=-1,b=1\)
Đáp án C:
\(a=-1,b=-1\)
Đáp án D:
\(a=0,b=1\)
Câu hỏi 23
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}}\). Giá trị \(f'\left( 0 \right)\) bằng:
Phương pháp giải :
Sử dụng công thức đạo hàm của hàm số hợp \(\left( \sqrt{u} \right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\)
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \left| x \right|\\\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \frac{x}{x} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \frac{{ - x}}{x} = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\end{array}\)
Do đó không tồn tại \(f'\left( 0 \right)\) của hàm số trên.
Chọn D.
Đáp án A:
0
Đáp án B:
2
Đáp án C:
1
Đáp án D:
Không tồn tại
Câu hỏi 24
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên tập số thực R thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)} \over {x - 2}} = 3\). Kết quả nào sau đây là đúng?
Phương pháp giải :
Sử dụng công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}}\) (nếu tồn tại).
Lời giải chi tiết :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)} \over {x - 2}} = 3 \Rightarrow f'\left( 2 \right) = 3\)
Chọn B.
Đáp án A:
\(f'\left( x \right) = 2\)
Đáp án B:
\(f'\left( 2 \right) = 3\)
Đáp án C:
\(f'\left( 2 \right) = 3\)
Đáp án D:
\(f'\left( 3 \right) = 2\)
Câu hỏi 25
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên tập số thực R, có đạo hàm tại \(x = - 1\). Định nghĩa về đạo hàm nào sau đây là đúng?
Phương pháp giải :
Sử dụng công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}}\) (nếu tồn tại).
Lời giải chi tiết :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)} \over {x + 1}} = f'\left( { - 1} \right)\).
Chọn C.
Đáp án A:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{f\left( x \right) + f\left( { - 1} \right)} \over {x + 1}} = f'\left( { - 1} \right)\)
Đáp án B:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{f\left( x \right) + f\left( 1 \right)} \over {x + 1}} = f'\left( { - 1} \right)\)
Đáp án C:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)} \over {x + 1}} = f'\left( { - 1} \right)\)
Đáp án D:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)} \over {x - 1}} = f'\left( x \right)\)
Câu hỏi 26
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm thỏa mãn \(f'\left( 6 \right)=2\). Giá trị biểu thức \(\underset{x\to 6}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 6 \right)}{x-6}\) bằng:
Phương pháp giải :
Sử dụng công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa: \(f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\) (nếu tồn tại giới hạn).
Lời giải chi tiết :
Ta có: \(f'\left( 6 \right)=\underset{x\to 6}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 6 \right)}{x-6}=2\)
Chọn A.
Đáp án A:
2
Đáp án B:
\(\frac{1}{3}\)
Đáp án C:
\(\frac{1}{2}\)
Đáp án D:
\(12\)
Câu hỏi 27
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \({x_0}\) là \(f'\left( {{x_0}} \right)\). Khẳng định nào sau đây sai?
Phương pháp giải :
Sử dụng định nghĩa tính đạo hàm của một hàm số.
Đáp án A:
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h}\)
Đáp án B:
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( {x + {x_0}} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
Đáp án C:
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}\)
Đáp án D:
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
Câu hỏi 28
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {3x + 1} - 2x}}{{x - 1}}\,\,khi\,\,x \ne 1\\ - \dfrac{5}{4}\,\,\,\,khi\,x = 1\end{array} \right.\). Tính \(f'\left( 1 \right)\).
Phương pháp giải :
+) Kiểm tra tính liên tục của hàm số tại \(x = 1\).
+) Nếu hàm số liên tục tại \(x = 1\), sử dụng công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa: \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).
Lời giải chi tiết :
Trước hết ta xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 1\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt {3x + 1} - 2x}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {\sqrt {3x + 1} - 2x} \right)\left( {\sqrt {3x + 1} + 2x} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {3x + 1} + 2x} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{3x + 1 - 4{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {3x + 1} + 2x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{ - \left( {x - 1} \right)\left( {4x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {3x + 1} + 2x} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{ - 4x - 1}}{{\sqrt {3x + 1} + 2x}} = \dfrac{{ - 4 - 1}}{{\sqrt 4 + 2}} = \dfrac{{ - 5}}{4} = f\left( 1 \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Hàm số liên tục tại \(x = 1\).
Tính \(f'\left( 1 \right)\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {3x + 1} - 2x}}{{x - 1}} + \dfrac{5}{4}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{4\sqrt {3x + 1} - 8x + 5x - 5}}{{4{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{4\sqrt {3x + 1} - 3x - 5}}{{4{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {4\sqrt {3x + 1} - 3x - 5} \right)\left( {4\sqrt {3x + 1} + 3x + 5} \right)}}{{4{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {4\sqrt {3x + 1} + 3x + 5} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{16\left( {3x + 1} \right) - \left( {9{x^2} + 30x + 25} \right)}}{{4{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {4\sqrt {3x + 1} + 3x + 5} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{ - 9{x^2} + 18x - 9}}{{4{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {4\sqrt {3x + 1} + 3x + 5} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{ - 9{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{4{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {4\sqrt {3x + 1} + 3x + 5} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{ - 9}}{{4\left( {4\sqrt {3x + 1} + 3x + 5} \right)}} = \dfrac{{ - 9}}{{64}}\end{array}\)
Chọn C.
Đáp án A:
\(0\)
Đáp án B:
\( - \dfrac{7}{{50}}\)
Đáp án C:
\( - \dfrac{9}{{64}}\)
Đáp án D:
không tồn tại
Câu hỏi 2̣̣9
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Xét 2 mệnh đề sau:
(I): Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \(x = {x_0}\) thì \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm đó.
(II): Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = {x_0}\) thì \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm đó.
(III): Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) gián đoạn tại điểm \(x = {x_0}\) thì chắc chắn \(y = f\left( x \right)\) không có đạo hàm tại điểm đó.
Lời giải chi tiết :
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \(x = {x_0}\) thì \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm đó và nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) gián đoạn tại điểm \(x = {x_0}\) thì chắc chắn \(y = f\left( x \right)\) không có đạo hàm tại điểm đó là 2 mệnh đề đúng.
Chọn B.
Đáp án A:
Cả 3 đều sai
Đáp án B:
Có 2 câu đúng 1 câu sai
Đáp án C:
Có 1 câu đúng 2 câu sai
Đáp án D:
Cả 3 câu đều đúng
Câu hỏi 30
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Cho hàm \(f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\), \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\). Tính\(f'\left( {{x_0}} \right)\) bằng định nghĩa ta cần tính :
Phương pháp giải :
Sử dụng công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa.
Lời giải chi tiết :
Tính\(f'\left( {{x_0}} \right)\) bằng định nghĩa ta cần tính \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).
Chọn B.
Đáp án A:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).
Đáp án B:
\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).
Đáp án C:
\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta x}}{{\Delta y}}\).
Đáp án D:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\Delta y}}{x}\).
Câu hỏi 31
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Tìm số gia \(\Delta y\) của hàm số \(y = {x^2}\) biết \({x_0} = 3\) và \(\Delta x = - 1.\)
Phương pháp giải :
Số gia \(\Delta y\) của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) ứng với số gia \(\Delta x\) là \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\).
Lời giải chi tiết :
Đặt \(y = {x^2} = f\left( x \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = f\left( {3 - 1} \right) - f\left( 3 \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = f\left( 2 \right) - f\left( 3 \right) = {2^2} - {3^2} = - 5\end{array}\)
Chọn C.
Đáp án A:
\(\Delta y = 13\).
Đáp án B:
\(\Delta y = 7\).
Đáp án C:
\(\Delta y = - 5\).
Đáp án D:
\(\Delta y = 16\) .
Câu hỏi 32
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên tập số thực. Tìm hệ thức đúng?
Lời giải chi tiết :
Hệ thức đúng là: \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}.\)
Chọn A.
Đáp án A:
\(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}.\)
Đáp án B:
\(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{x - 1}}.\)
Đáp án C:
\(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right)}}{x}.\)
Đáp án D:
\(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}.\)
Câu hỏi 33
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} \). Tính đạo hàm của hàm số tại điểm \({x_0} = 1\).
Phương pháp giải :
Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) là \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) (nếu tồn tại).
Lời giải chi tiết :
TXĐ: \(D = \left[ { - 1; + \infty } \right)\)
\(\begin{array}{l}f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt 2 }}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 1 - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt 2 } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt 2 }} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\end{array}\)
Chọn A.
Đáp án A:
\(\frac{{\sqrt 2 }}{4}\)
Đáp án B:
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Đáp án C:
\(2\sqrt 2 \)
Đáp án D:
\(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\)
Câu hỏi 34
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Khi tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 5x - 3\) tại điểm \({x_0} = 2\), một học sinh đã tính theo các bước sau:
Bước 1: \(f\left( x \right) - f\left( 2 \right) = f\left( x \right) - 11\)
Bước 2: \(\frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \frac{{{x^2} + 5x - 3 - 11}}{{x - 2}} = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 7} \right)}}{{x - 2}} = x + 7\)
Bước 3: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 7} \right) = 9 \Rightarrow f'\left( 2 \right) = 9\)
Tính toán trên nếu sai thì sai ở bước nào?
Phương pháp giải :
Xét tính đúng sai ở từng bước.
Lời giải chi tiết :
Bài giải trên hoàn toàn đúng.
Chọn D.
Đáp án A:
Bước 1
Đáp án B:
Bước 2
Đáp án C:
Bước 3
Đáp án D:
Tính toán đúng.
Câu hỏi 35
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3 - \sqrt {4 - x} \,\,\,khi\,\,x \ne 0\\1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\) . Khi đó \(f'\left( 0 \right)\) là kết quả nào sau đây?
Phương pháp giải :
Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) là \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) (nếu tồn tại).
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3 - \sqrt {4 - x} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4 - 4 + x}}{{x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{2 + \sqrt {4 - x} }} = \frac{1}{4}\end{array}\)
Chọn A.
Đáp án A:
\(\frac{1}{4}\)
Đáp án B:
\(\frac{1}{{16}}\)
Đáp án C:
\(\frac{1}{2}\)
Đáp án D:
\(2\)
Câu hỏi 36
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 1\\\frac{{{x^3} + 2{x^2} - 7x + 4}}{{x - 1}}\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\). Giá trị của \(f'\left( 1 \right)\) bằng:
Phương pháp giải :
Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) là \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) (nếu tồn tại).
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x + 3 - 5}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x - 2}}{{x - 1}} = 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\frac{{{x^3} + 2{x^2} - 7x + 4}}{{x - 1}} - 5}}{{x - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^3} + 2{x^2} - 12x + 9}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 3x - 9} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} + 3x - 9}}{{x - 1}} = + \infty \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\end{array}\)
Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại x = 1.
Chọn D.
Đáp án A:
\(0\)
Đáp án B:
\(4\)
Đáp án C:
\(5\)
Đáp án D:
không tồn tại
Câu hỏi 37
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{x}\,\,khi\,\,x \ne 0\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\). Giá trị của \(f'\left( 0 \right)\) bằng:
Phương pháp giải :
Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) là \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) (nếu tồn tại).
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{x}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{{{x^2}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} + 1 - 1}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} + 1}} = \frac{1}{2}\end{array}\)
Chọn A.
Đáp án A:
\(\frac{1}{2}\)
Đáp án B:
\( - \frac{1}{2}\)
Đáp án C:
\( - 2\)
Đáp án D:
không tồn tại.
Câu hỏi 38
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt[3]{{4{x^2} + 8}} - \sqrt {8{x^2} + 4} }}{{{x^2}}}\,\,\,khi\,x \ne 0\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x = 0\end{array} \right.\). Giá trị của \(f'\left( 0 \right)\) bằng:
Phương pháp giải :
Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) là \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) (nếu tồn tại).
Lời giải chi tiết :
Để hàm số có đạo hàm tại x = 0, trước hết hàm số phải liên tục tại x = 0.
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{4{x^2} + 8}} - \sqrt {8{x^2} + 4} }}{{{x^2}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{4{x^2} + 8}} - 2}}{{{x^2}}} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {8{x^2} + 4} - 2}}{{{x^2}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4{x^2}}}{{{x^2}\left( {{{\sqrt[3]{{4{x^2} + 8}}}^2} + 2\sqrt[3]{{4{x^2} + 8}} + 4} \right)}} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{8{x^2}}}{{{x^2}\left( {\sqrt {8{x^2} + 4} + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{4}{{{{\sqrt[3]{{4{x^2} + 8}}}^2} + 2\sqrt[3]{{4{x^2} + 8}} + 4}} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{8}{{\sqrt {8{x^2} + 4} + 2}} = \frac{1}{3} - 2 = - \frac{5}{3}\end{array}\)
Chọn B.
Đáp án A:
\(\frac{1}{3}\)
Đáp án B:
\( - \frac{5}{3}\)
Đáp án C:
\(\frac{3}{4}\)
Đáp án D:
không tồn tại.
Câu hỏi 39
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^3} - 4{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 3x + 2}}\,\,\,khi\,\,x \ne 1\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.\). Giá trị của \(f'\left( 1 \right)\) bằng:
Phương pháp giải :
Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) là \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) (nếu tồn tại).
Lời giải chi tiết :
Ta có:
\(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{{{x^3} - 4{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 3x + 2}}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = - \infty \)
Vậy hàm số không có đạo hàm tại x = 1.
Đáp án A:
\(\frac{3}{2}\)
Đáp án B:
\(1\)
Đáp án C:
\(0\)
Đáp án D:
không tồn tại.
Câu hỏi 40
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Tìm a, b để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}}\,\,khi\,\,x \ge 0\\ax + b\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\) có đạo hàm tại điểm \(x = 0.\)
Phương pháp giải :
+) Trước hết hàm số liên tục tại x = 0.
+) Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) là
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} \Leftrightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x}\)
Lời giải chi tiết :
Trước tiên hàm số phải liên tục tại x = 0.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {ax + b} \right) = b = f\left( 0 \right)\end{array}\)
Để hàm số liên tục tại x = 0 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow b = 1\)
Khi đó ta có \(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x}\)
Ta có
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2} - x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = - 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left( {ax + 1} \right) - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} a = a\end{array}\)
Để hàm số có đạo hàm tại x = 0 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} \Leftrightarrow a = - 1\)
Vậy \(a = - 1,b = 1\).
Chọn D.
Đáp án A:
\(a = - 11,b = 11\)
Đáp án B:
\(a = - 10,b = 10\)
Đáp án C:
\(a = - 12,b = 12\)
Đáp án D:
\(a = - 1,b = 1\)
Câu hỏi 41
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Tìm a, b để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}a{x^2} + bx + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 0\\a\sin x + b\cos x\,\,\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\) có đạo hàm tại điểm \({x_0} = 0\).
Phương pháp giải :
+) Trước hết, tìm điều kiện để hàm số liên tục tại x = 0.
+) Sử dụng công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa.
+) Hàm số có đạo hàm tại \(x = 0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} \Leftrightarrow a = 1.\)
Sử dụng công thức \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1\) .
Lời giải chi tiết :
Để hàm số có đạo hàm tại x = 1 thì trước hết hàm số phải liên tục tại x = 1.
Ta có: \(f\left( 0 \right) = 1\)
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {a{x^2} + bx + 1} \right) = 1 = f\left( 0 \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {a\sin x + b\cos x} \right) = b\end{array}\)
Để hàm số liên tục tại x = 1 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow b = 1\)
Khi đó ta có: \(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\)
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{a{x^2} + x + 1 - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {ax + 1} \right) = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{a\sin x + \cos x - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{2a\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} - 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {a\cos \frac{x}{2} - 2\sin \frac{x}{2}} \right) = a\end{array}\)
Để tồn tại \(f'\left( 0 \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} \Leftrightarrow a = 1.\)
Chọn A.
Đáp án A:
\(a = 1,b = 1\)
Đáp án B:
\(a = - 1,b = 1\)
Đáp án C:
\(a = - 1,b = - 1\)
Đáp án D:
\(a = 0,b = 1\)
Câu hỏi 42
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 1\,\,\,\,khi\,\,x > 1\\2x + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 1\end{array} \right.\) ta được:
Phương pháp giải :
+) Tính đạo hàm của hàm số khi \(x > 1\)
+) Tính đạo hàm của hàm số khi \(x < 1\)
+) Sử dụng định nghĩa đạo hàm, xét sự tồn tại của đạo hàm của hàm số tại x = 1.
Lời giải chi tiết :
Với \(x > 1\) ta có: \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 1 \Rightarrow f'\left( x \right) = 2x - 3\)
Với \(x < 1\) ta có : \(f\left( x \right) = 2x + 2 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 2\)
Với x = 1 ta có : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} - 3x + 1} \right) = - 1 \ne f\left( 1 \right) = 4 \Rightarrow \) Hàm số không liên tục tại \(x = 1,\) do đó không có đạo hàm tại \(x = 1.\)
Vậy \(f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x - 3\,\,\,khi\,\,x > 1\\2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\)
Chọn B.
Đáp án A:
\(f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x - 3\,\,\,khi\,\,x > 1\\2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 1\end{array} \right.\)
Đáp án B:
\(f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x - 3\,\,\,khi\,\,x > 1\\2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\)
Đáp án C:
Không tồn tại đạo hàm
Đáp án D:
\(f'\left( x \right) = 2x - 3\)
Câu hỏi 43
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {1 - x} - 1}}{x}\,\,khi\,\,x \ne 0,\,\,x \le 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\) . Tìm \(a\) để hàm số có đạo hàm tại \(x = 0\) và tính đạo hàm tại điểm đó.
Phương pháp giải :
- Tìm \(a\) để hàm số liên tục tại \(x = 0\).
- Với giá trị \(a\) vừa tìm được, tính \(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\), xét xem đạo hàm có tồn tại hay không (giới hạn có hữu hạn hay không).
Lời giải chi tiết :
TXĐ: \(D = \left( { - \infty ;1} \right],\,\,x = 0 \in D\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 - x} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - x}}{{x\left( {\sqrt {1 - x} + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 1}}{{\sqrt {1 - x} + 1}} = \frac{{ - 1}}{2}\\f\left( 0 \right) = a\end{array}\)
Để hàm số liên tục tại \(x = 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow a = - \frac{1}{2}\).
Khi đó ta có: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {1 - x} - 1}}{x}\,\,khi\,\,x \ne 0,\,\,x \le 1\\\,\,\,\,\,\, - \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\).
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sqrt {1 - x} - 1}}{x} + \frac{1}{2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\sqrt {1 - x} - 2 + x}}{{2{x^2}}}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4\left( {1 - x} \right) - {{\left( {2 - x} \right)}^2}}}{{2{x^2}\left( {2\sqrt {1 - x} + 2 - x} \right)}}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - {x^2}}}{{2{x^2}\left( {2\sqrt {1 - x} + 2 - x} \right)}}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 1}}{{2\left( {2\sqrt {1 - x} + 2 - x} \right)}} = \frac{{ - 1}}{8}
\end{array}\)
Vậy để hàm số có đạo hàm tại \(x = 0\) thì \(a = - \frac{1}{2}\).
Chọn A.
Đáp án A:
\(a = - \frac{1}{2} \,\,;\,\,y'\left ( 0 \right ) = - \frac{1}{8}\)
Đáp án B:
\(a = \frac{1}{2} \,\,;\,\,y'\left ( 0 \right ) = \frac{1}{16}\)
Đáp án C:
\(a = - 1 \,\,;\,\,y'\left ( 0 \right ) = - \frac{1}{8}\)
Đáp án D:
\(a = 1 \,\,;\,\,y'\left ( 0 \right ) = \frac{1}{8}\)
Câu hỏi 44
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + a\,\,\,khi\,\,x \ge - 1\\{x^2} + bx\,\,\,\,khi\,\,x < - 1\end{array} \right.\). Tìm \(a,\,\,b\) để hàm số có đạo hàm tại \(x = - 1\).
Phương pháp giải :
- Tìm \(a\) để hàm số liên tục tại \(x = - 1\), từ đó rút \(b\) theo \(a\).
- Tính \(f'\left( { - {1^ + }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}}\), \(f'\left( { - {1^ - }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}}\) .
- Để hàm số tồn tại đạo hàm tại \(x = - 1\) thì \(f'\left( { - {1^ + }} \right) = f'\left( { - {1^ - }} \right)\).
Lời giải chi tiết :
TXĐ: \(D = \mathbb{R},\,\,x = - 1 \in D\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( { - {x^2} + a} \right) = a - 1 = f\left( { - 1} \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {{x^2} + bx} \right) = 1 - b\end{array}\)
Để hàm số liên tục tại \(x = - 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow a - 1 = 1 - b \Leftrightarrow a + b = 2\).
Tính đạo hàm tại điểm \(x = - 1\):
\(\begin{array}{l}f'\left( { - {1^ + }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{ - {x^2} + a - \left( { - 1 + a} \right)}}{{x + 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{ - {x^2} + 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( { - x + 1} \right) = 2\\f'\left( { - {1^ - }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{{x^2} + bx - \left( { - 1 + a} \right)}}{{x + 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{{x^2} + bx + 1 - a}}{{x + 1}}\end{array}\)
Thay \(a = 2 - b\) ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( { - {1^ - }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{{x^2} + bx - 1 + b}}{{x + 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + b\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {x - 1 + b} \right) = b - 2\end{array}\).
Để hàm số có đạo hàm tại \(x = - 1\) thì \(f'\left( { - {1^ + }} \right) = f'\left( { - {1^ - }} \right)\)\( \Leftrightarrow b - 2 = 2 \Leftrightarrow b = 4\)\( \Rightarrow a = -2\).
Vậy \(a = -2,\,\,b = 4\).
Chọn B.
Đáp án A:
\(a = 1\,\,;\,\,b = 2\)
Đáp án B:
\(a = -2\,\,;\,\,b = 4\)
Đáp án C:
\(a = 0\,\,;\,\,b = 1\)
Đáp án D:
\(a = 1\,\,;\,\,b = 0\)
Câu hỏi 45
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Điện lượng trong một dây dẫn biểu diễn theo phương trình \(Q = 2{t^2} + t\) (\(t\): giây, \(Q\): culông). Tính cường độ dòng điện tại thời điểm \(t = 4s\).
Phương pháp giải :
\(I\left( 4 \right) = Q'\left( 4 \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \frac{{Q\left( t \right) - Q\left( 4 \right)}}{{t - 4}}\)
Lời giải chi tiết :
\(I\left( 4 \right) = Q'\left( 4 \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \frac{{Q\left( t \right) - Q\left( 4 \right)}}{{t - 4}}\).
\( = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \frac{{2{t^2} + t - 36}}{{t - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \frac{{\left( {t - 4} \right)\left( {2t + 9} \right)}}{{t - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \left( {2t + 9} \right) = 17\,\,\left( A \right)\).
Chọn C.
Đáp án A:
\(15A\)
Đáp án B:
\(16A\)
Đáp án C:
\(17A\)
Đáp án D:
\(18A\)
Câu hỏi 46
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}a{x^2} + bx + 1\,\,\,khi\,\,x \ge 0\\ax - b - 1\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\). Khi hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm tại \({x_0} = 0\). Hãy tính \(T = a - 2b\).
Phương pháp giải :
- Tìm điều kiện để hàm số liên tục tại \(x = 0\): \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\).
- Tìm điều kiện để hàm số có đạo hàm tại \(x = 0\): \(f'\left( {{0^ + }} \right) = f'\left( {{0^ - }} \right)\), với \(f\left( {{0^ \pm }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ \pm }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\).
Lời giải chi tiết :
TXĐ: \(D = \mathbb{R},\,\,x = 0 \in D\).
Để hàm số có đạo hàm tại \({x_0} = 0\), trước hết hàm số phải liên tục tại \(x = 0\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {a{x^2} + bx + 1} \right) = 1 = f\left( 0 \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {ax - b - 1} \right) = - b - 1\end{array}\)
Để hàm số liên tục tại \(x = 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\) \( \Leftrightarrow - b - 1 = 1 \Leftrightarrow b = - 2\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( {{0^ + }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{a{x^2} + bx + 1 - 1}}{x}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {ax + b} \right) = b = - 2\\f'\left( {{0^ - }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{ax - b - 1 - 1}}{x}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{ax}}{x} = a\end{array}\)
Để hàm số có đạo hàm tại \(x = 0\) thì \(f'\left( {{0^ + }} \right) = f'\left( {{0^ - }} \right)\) \( \Leftrightarrow a = - 2\).
Vậy \(T = a - 2b = - 2 - 2.\left( { - 2} \right) = 2\).
Chọn C.
Đáp án A:
\(T = - 4\)
Đáp án B:
\(T = 4\)
Đáp án C:
\(T = 2\)
Đáp án D:
\(T = - 6\)
Câu hỏi 47
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Số gia \(\Delta y\) của hàm số \(y = {x^2} + 2x\) tại điểm \({x_0} = 1\) là:
Phương pháp giải :
Sử dụng công thức tính số gia của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) là: \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\).
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {1 + \Delta x} \right) - f\left( 1 \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {1 + \Delta x} \right)^2} + 2\left( {1 + \Delta x} \right) - {1^2} - 2.1\\\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {\Delta x} \right)^2} + 2\Delta x + 1 + 2 + 2\Delta x - 3\\\,\,\,\,\,\,\, = {\Delta ^2}x + 4\Delta x\end{array}\)
Chọn B.
Đáp án A:
\({\Delta ^2}x - 4\Delta x\)
Đáp án B:
\({\Delta ^2}x + 4\Delta x\)
Đáp án C:
\({\Delta ^2}x - 2\Delta x\)
Đáp án D:
\({\Delta ^2}x + 2\Delta x - 3\)
Câu hỏi 48
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}a{x^3} + 2{x^2} + 3bx + 2\,\,\,khi\,\,x > 1\\\sqrt {5 - 4x} - 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 1\end{array} \right.\). Hàm số có đạo hàm tại \(x = 1\) thì giá trị \(ab\) bằng:
Phương pháp giải :
- Tìm điều kiện để hàm số liên tục tại \(x = 1\).
- Tính \(f'\left( {{1^ \pm }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ \pm }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\).
- Để hàm số có đạo hàm tại \(x = 1\) thì \(f'\left( {{1^ + }} \right) = f'\left( {{1^ - }} \right)\).
Lời giải chi tiết :
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {a{x^3} + 2{x^2} + 3bx + 2} \right) = a + 3b + 4\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\sqrt {5 - 4x} - 2x} \right) = - 1 = f\left( 1 \right)\end{array}\)
Để hàm số có đại hàm tại \(x = 1\) thì hàm số phải liên tục tại \(x = 1\)\( \Rightarrow a + 3b + 4 = - 1 \Leftrightarrow a + 3b = - 5\,\,\,\left( 1 \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( {{1^ - }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\sqrt {5 - 4x} - 2x + 1}}{{x - 1}} = - 4\\f'\left( {{1^ + }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{a{x^3} + 2{x^2} + 3bx + 2 + 1}}{{x - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\left( { - 5 - 3b} \right){x^3} + 2{x^2} + 3bx + 3}}{{x - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\left( { - 5 - 3b} \right){x^3} + 2{x^2} - 2 + 3bx - 3b + 3b + 5}}{{x - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\left( { - 5 - 3b} \right)\left( {{x^3} - 1} \right) + 2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 3b\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {\left( { - 5 - 3b} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) + 2\left( {x + 1} \right) + 3b} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\left( { - 5 - 3b} \right) + 4 + 3b = - 6b - 11\end{array}\)
Để hàm số có đạo hàm tại \(x = 1\) thì \(f'\left( {{1^ + }} \right) = f'\left( {{1^ - }} \right)\)\( \Leftrightarrow - 6b - 11 = - 4 \Leftrightarrow b = \dfrac{{ - 7}}{6}\).
Thay vào (1) ta có: \(a + 3.\dfrac{{ - 7}}{6} = - 5 \Leftrightarrow a = - \dfrac{3}{2}\)
Vậy \(ab = - \dfrac{3}{2}.\dfrac{{ - 7}}{6} = \dfrac{7}{4}\).
Chọn C.
Đáp án A:
\( - \dfrac{{21}}{{12}}\)
Đáp án B:
\(\dfrac{{ - 9}}{7}\)
Đáp án C:
\( \dfrac{7}{4}\)
Đáp án D:
\(\dfrac{7}{6}\)
Câu hỏi 49
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} - 2}}{{x + 1}}\,\,\,khi\,\,x \ne - 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = - 1\end{array} \right.\) tại \(x = - 1\) là:
Phương pháp giải :
- Xét tính liên tục của hàm số tại \(x = - 1\).
- Tính \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}}\).
Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} {\rm{\;}} - 2}}{{x + 1}}\).
\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^3} + 2{x^2} + x + 4 - 4}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} + 2}} = 0 = f\left( { - 1} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Hàm số đã cho liên tục tại \(x = - 1\).
Ta có:
\(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} {\rm{\;}} - 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^3} + 2{x^2} + x + 4 - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{x}{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2} + x + 4} + 2}} = \dfrac{{ - 1}}{4}\end{array}\)
Chọn A.
Đáp án A:
\( - \dfrac{1}{4}\)
Đáp án B:
\(0\)
Đáp án C:
\(\dfrac{1}{2}\)
Đáp án D:
1
Câu hỏi 50
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x}\,\,khi\,\,x \ne 0\\\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\). Khi đó \(f'\left( 0 \right)\) là kết quả nào trong các kết quả sau:
Phương pháp giải :
- Xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 0\).
- Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\). Nếu giới hạn này tồn tại thì \(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\).
Lời giải chi tiết :
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{4 - 4 + x}}{{x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{2 + \sqrt {4 - x} }} = \dfrac{1}{{2 + 2}} = \dfrac{1}{4}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Hàm số đã cho liên tục tại \(x = 0\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x} - \dfrac{1}{4}}}{x}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{8 - 4\sqrt {4 - x} - x}}{{4{x^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{{\left( {8 - x} \right)}^2} - 16\left( {4 - x} \right)}}{{4{x^2}\left( {8 - x + 4\sqrt {4 - x} } \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2} - 16x + 64 - 64 + 16x}}{{4{x^2}\left( {8 - x + 4\sqrt {4 - x} } \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{4\left( {8 - x + 4\sqrt {4 - x} } \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{4\left( {8 - 0 + 4.2} \right)}} = \dfrac{1}{{64}}\end{array}\)
Vậy \(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \dfrac{1}{{64}}\).
Đáp án A:
không tồn tại \(f'\left( 0 \right)\).
Đáp án B:
\(\dfrac{1}{{32}}.\)
Đáp án C:
\(\dfrac{1}{{64}}.\)
Đáp án D:
\(\dfrac{1}{4}.\).