65 bài tập hai đường thẳng vuông góc mức độ nhận biết, thông hiểu

Lấy H là trung điểm của SB, G là trung điểm của AC

Ta có \(MH\text{//}SA\) và \(MG\text{//}BC\). Suy ra góc giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\)bằng góc giữa hai đường thẳng \(MH\) và \(MG\) . Ta có \(MH=NG=\frac{1}{2}SA=a;MG=HN=\frac{1}{2}BC=a;SA=BC(gt)\Rightarrow MH=MG=HN=NG=a\)

Tứ giác \(MGNH\) là hình thoi cạnh \(a\) và \(MN=a\sqrt{3}\) suy ra \(HMG\) là tam giác đều.

Vậy góc giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\) bằng \({{60}^{o}}\).

Chọn C.

Qua đường một điểm nằm ngoài đường thẳng có thể kẻ được vô số đường vuông góc với đường thẳng đã cho.

Chọn C

\(\left\{ \begin{align}  OA\bot OB \\  OA\bot OC \\ \end{align} \right.\Rightarrow OA\bot \left( OBC \right)\Rightarrow OA\bot BC\Rightarrow \widehat{\left( OA;BC \right)}={{90}^{0}}\).

Chọn đáp án D.

A sai do nếu \(a\) và \(b\) cùng vuông góc với \(c\) thì hoặc \(a\parallel b\), hoặc \(a\) và \(b\) chéo nhau.

C sai do: Giả sử hai đường thẳng \(a\) và \(b\) chéo nhau, ta dựng đường thẳng \(c\) cùng vuông góc với \(a\) và \(b\) và cắt cả hai đường thẳng \(a\) và \(b\). Khi đó \(\angle \left( {a;c} \right) = \angle \left( {b;c} \right) = {90^0}\) nhưng hiển nhiên \(a\) và \(b\) không vuông góc với nhau.

D sai do: Giả sử \(a \bot c,\,\,b\parallel c\). Khi đó \(\angle \left( {a;c} \right) = {90^0}\), còn \(\angle \left( {b;c} \right) = {0^0}\).

Chọn B.

Ta có: \(AC\parallel A'C'\) (tính chất hình hộp)

\( \Rightarrow \angle \left( {AC;A'D} \right) = \angle \left( {A'C';A'D} \right) = \angle DA'C'\) (do giả thiết cho tam giác \(DA'C'\) nhọn).

Chọn D.

Phương pháp:

Các mệnh đề

“Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì song song với đường thẳng còn lại”

“Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau."

là các mệnh đề sai vì tồn tại 3 đường thẳng đôi một vuông góc

Mệnh đề “Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau”

là sai vì tồn tại 2 đường thẳng song song cùng vuông góc với 1 đường thẳng thứ 3

Mệnh đề “Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.” là đúng

Chọn đáp án C

Gọi M là trung điểm của \(CD\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & BM\bot CD \\  & AM\bot CD \\ \end{align} \right.\Rightarrow CD\bot \left( ABM \right)\Rightarrow CD\bot AB.\)

\(\Rightarrow \widehat{\left( CD;\,\,AB \right)}={{90}^{0}}.\)

Chọn C.

Ta có: \(CD'//A'B \Rightarrow \angle \left( {CD';A'C'} \right) = \angle \left( {A'B;A'C'} \right)\).

Áp dụng định lí Pytago ta tính được \(A'B = A'C' = BC' = a\sqrt 2  \Rightarrow \Delta A'BC'\) đều

\( \Rightarrow \angle \left( {A'B;A'C'} \right) = \angle BA'C' = {60^0}\).

Vậy \(\angle \left( {CD';A'C'} \right) = {60^0}\).

Chọn C.

Gọi I là trung điểm của BC.

Ta có: \(AB = AC,\,\,BD = DC \Rightarrow \Delta ABC,\,\,\Delta BCD\) là hai tam giác cân lần lượt tại đỉnh A và D.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AI \bot BC\\DI \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AID} \right)\,\,\, \Rightarrow BC \bot AD\).

Chọn: C

Dễ thấy \(\Delta OAB = \Delta OAC = \Delta OBC\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow AB = AC = BC\).

\( \Rightarrow \) Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(AB = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \)

\({S_{ABC}} = \dfrac{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Chọn B.

Giả sử cắt tứ diện đó bằng một mặt phẳng song song với \(BD,\,\,AC\).

Giả sử thiết diện là \(MNPQ\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {MNPQ} \right) \cap \left( {ABD} \right) = MQ\\\left( {MNPQ} \right) \cap \left( {BCD} \right) = NP\\\left( {ABD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = BD\end{array} \right. \Rightarrow MQ\parallel NP\parallel BD\).

CMTT ta có \(MN\parallel PQ\parallel AC\).

\( \Rightarrow MNPQ\) là hình bình hành.

Lại có \(AC \bot BD\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(MN \bot MQ\).

Vậy tứ giác \(MNPQ\) là hình chữ nhật.

Chọn A.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {A{A_1}} .\overrightarrow {{B_1}{D_1}}  = \overrightarrow {B{B_1}} .\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {B{B_1}} \left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {B{B_1}} .\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {B{B_1}} .\overrightarrow {BC}  = 0\end{array}\)

Vì \(\left( {\overrightarrow {B{B_1}} ;\overrightarrow {BA} } \right) = {90^0}\), \(\left( {\overrightarrow {B{B_1}} ;\overrightarrow {BC} } \right) = {90^0}\)).

Do đó \(\left( {\overrightarrow {A{A_1}} ;\overrightarrow {{B_1}{D_1}} } \right) = {90^0}\) \( \Rightarrow \left( {A{A_1};{B_1}{D_1}} \right) = {90^0}\).

Chọn B.

Xét đáp án A:

\(\begin{array}{l}{\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|^2} = {\overrightarrow a ^2} + {\overrightarrow b ^2} + 2\overrightarrow a \overrightarrow b \cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {3^2} + {5^2} + 2.3.5.cos{120^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 19\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {19} \end{array}\)

\(\Rightarrow\) Đáp án A đúng.

Xét đáp án B:

\(\begin{array}{l}{\left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right|^2} = {\overrightarrow a ^2} + {\overrightarrow b ^2} - 2\overrightarrow a \overrightarrow b \cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {3^2} + {5^2} - 2.3.5.cos{120^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 49\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right| = \sqrt {7} \end{array}\)

\(\Rightarrow\) Đáp án B đúng.

Xét đáp án C:

\(\begin{array}{l}{\left| {\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b } \right|^2} = {\overrightarrow a ^2} + 4{\overrightarrow b ^2} - 4\overrightarrow a \overrightarrow b \cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {3^2} + {5^2} - 4.3.5.cos{120^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 139\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right| = \sqrt {139} \end{array}\)

\(\Rightarrow\) Đáp án C đúng.

Xét đáp án D:

\(\begin{array}{l}{\left| {\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right|^2} = {\overrightarrow a ^2} + 4{\overrightarrow b ^2} + 4\overrightarrow a \overrightarrow b \cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {3^2} + {5^2} + 4.3.5.cos{120^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 79\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right| = \sqrt {79} \end{array}\)

\(\Rightarrow\) Đáp án D sai.

Chọn D.

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\).

Ta có \(OM\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(OM\parallel BC\).

Mà \(BC \bot AB\) nên \(OM \bot AB\).

CMTT ta có \(O'M \bot AB\).

Ta có:

\(\overrightarrow {OO'} .\overrightarrow {AB}  = \left( {\overrightarrow {MO'}  - \overrightarrow {MO} } \right).\overrightarrow {AB} \)\( = \overrightarrow {MO'} .\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {MO} .\overrightarrow {AB}  = 0\).

Vậy \(OO' \bot AB\) hay \(\angle \left( {OO';AB} \right) = {90^0}\).

Chọn D.

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AC\) là hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA = \alpha \).

Xét tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) có: \(AC = a\sqrt 2 \) (do \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\)), \(SA = 2a\,\,\left( {gt} \right)\).

\( \Rightarrow \tan \alpha  = \dfrac{{SA}}{{AC}} = \dfrac{{2a}}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 2 .\) 

Chọn A.

Gọi O là trọng tam tam giác BCD. Khi đó \(AO \bot \left( {BCD} \right).\)

Gọi M là trung điểm của CD.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot CD\\AO \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {ABM} \right)\) \( \Rightarrow CD \bot AB\) \( \Rightarrow \angle \left( {CD,\,\,AB} \right) = {90^0}\)

Chọn D.

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\), suy ra \(SH\bot BC\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)\)

Gọi \(K\) là trung điểm \(AC\), suy ra \(HK\parallel AB\) nên \(HK\bot AC\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot HK\\AC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow AC \bot SK.\)

Do đó \(\widehat{\left( \left( SAC \right);\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( SK,HK \right)}=\widehat{SKH}.\)

Tam giác vuông \(ABC\), có \(AB=BC.\cos \widehat{ABC}=a\Rightarrow HK=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}.\)

Tam giác SBC đều cạnh 2a \(\Rightarrow SH=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\)

Tam giác vuông \(SHK\), có \(\tan \widehat{SKH}=\frac{SH}{HK}=2\sqrt{3}\).

Chọn B.