45 bài tập số phức mức độ thông hiểu

Giả sử \(z = a + bi\)   ta có \({z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi\) .

Vì  \({z^2}\)  là số thuần ảo nên ta có  \({a^2} - {b^2} = 0\) (1)

Từ điều kiện \(|z - i| = 5 \Leftrightarrow |a + bi - i| = 5 \Leftrightarrow {a^2} + {(b - 1)^2} = 25\)  (2)

Lấy (2) trừ (1) vế với vế ta được  \({(b - 1)^2} + {b^2} = 25 \Leftrightarrow 2{b^2} - 2b - 24 = 0 \Leftrightarrow {b^2} - b - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 4}\\{b =  - 3}\end{array}} \right.\)

Với b = 4 , từ (1) có \(a =  \pm 4\)

Với b = -3  , từ (1) có  \(a =  \pm 3\)

Do đó có 4 số phức z thỏa mãn bài toán.

Chọn C

Ta có \(\bar{z}+2-i=0\Leftrightarrow \bar{z}=-\,2+i\Rightarrow \left| {\bar{z}} \right|=\left| -\,2+i \right|=\sqrt{5}\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{5}.\)

Chọn A

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,z = \cos 2\alpha  + \left( {\sin \alpha  - \cos \alpha } \right)i\\ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\cos }^2}2\alpha  + {{\left( {\sin \alpha  - \cos \alpha } \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\,\left| z \right| = \sqrt {{{\cos }^2}2\alpha  + 1 - \sin 2\alpha } \\\,\,\,\,\,\,\left| z \right| = \sqrt {1 - {{\sin }^2}2\alpha  + 1 - \sin 2\alpha } \\\,\,\,\,\,\,\left| z \right| = \sqrt { - {{\sin }^2}2\alpha  - \sin 2\alpha  + 2} \\ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt { - {{\left( {\sin 2\alpha  + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{9}{4}}  \le \sqrt {\frac{9}{4}}  = \frac{3}{2}\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \sin 2\alpha  =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\alpha  =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2\alpha  = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\alpha  =  - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\\alpha  = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\).

Vậy \({\left| z \right|_{\max }} = \frac{3}{2}\).

Chọn D.

\(\left( {3x + 2yi} \right) + \left( {2 + i} \right) = 2x - 3i \Leftrightarrow 3x + 2 + \left( {2y + 1} \right)i = 2x - 3i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 2 = 2x\\2y + 1 =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y =  - 2\end{array} \right.\)

Chọn A.

Số phức \(z\) có phần thực là 2 và phần ảo là \( - 3\) \( \Rightarrow z = 2 - 3i \Rightarrow 3 + iz = 3 + i\left( {2 - 3i} \right) = 6 + 2i\).

\( \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {36 + 4}  = 2\sqrt {10} \).

Chọn C

Điểm biểu diễn số phức đã cho là:\(M\left( {a;\,\,b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OM}  = \left( {a;\,\,b} \right) \Rightarrow OM = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .\)

Chọn  A.

\({\left( {1 + z} \right)^2} = {\left( {1 + x + iy} \right)^2} = {\left( {1 + x} \right)^2} - {y^2} + 2\left( {1 + x} \right)yi\).

Để \({\left( {1 + z} \right)^2}\) là số thực thì \(2\left( {1 + x} \right)y = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 0\end{array} \right..\)

Vậy tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn là hai đường thẳng \(x =  - 1\) và \(y = 0.\)

Chọn C.

Ta có

\(\begin{array}{l}{i^4} = {\left( {{i^2}} \right)^2} = {\left( { - 1} \right)^2} = 1\\{\left( {1 - i} \right)^2} = 1 - 2i + {i^2} =  - 2i \notin \mathbb{R}\\{\left( {1 + i} \right)^2} = 1 + 2i + {i^2} = 2i\\{i^3} = {i^2}.i =  - i\end{array}\)

Vậy chỉ có đáp án C đúng.

Chọn C.

Ta có \(z = 1 + i\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {1;1} \right)\)

         \(z' =  - 1 + i\) có điểm biểu diễn là \(M'\left( { - 1;1} \right)\)

Hai điểm \(M\) và \(M'\) đối xứng nhau qua trục \(Oy\).

Chọn D.

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {2 + 3i} \right)a + \left( {1 - 2i} \right)b = 4 + 13i\\ \Leftrightarrow \left( {2a + b} \right) + \left( {3a - 2b} \right)i = 4 + 13i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 4\\3a - 2b = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(a + b = 3 + \left( { - 2} \right) = 1.\)

Chọn A.

Vì A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn ba số phức \({z_1} = 1 + i\), \({z_2} = {\left( {1 + i} \right)^2} = 2i\) và \({z_3} = a - i\) nên ta có A(1;1), B(0;2) và C(a;-1).

Ta có: \(\overrightarrow {BA}  = \left( {1; - 1} \right),\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( {a; - 3} \right)\).

Tam giác ABC vuông tại B thì \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = 0\).

\( \Leftrightarrow 1.a - 1.\left( { - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow a + 3 = 0 \Leftrightarrow a =  - 3\).

Chọn A.

Dựa vào hình vẽ ta thấy \(A\left( { - 2;1} \right),\,\,B\left( {1;3} \right)\).

Gọi I là trung điểm của AB \( \Rightarrow I\left( { - \dfrac{1}{2};2} \right)\).

Vậy trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức \( - \dfrac{1}{2} + 2i\).

Chọn B.

Ta có \({z_1} = 3i;\,\,{z_2} = m - 2i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {{z_1}} \right| = 9\\\left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{m^2} + 4} \end{array} \right.\)

Mà \(\left| {{z_2}} \right| < \left| {{z_1}} \right| \Rightarrow \sqrt {{m^2} + 4}  < 9 \Leftrightarrow {m^2} + 4 < 9 \Leftrightarrow  - \sqrt 5  < m < \sqrt 5 .\)

Mặt khác \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}.\)

Có 5 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.

Ta có \(M\left( {1; - 2} \right)\) là điểm biểu phức z nên \(z = 1 - 2i\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overline z  = 1 + 2i\\\,\,\,\,\,\left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt 5 .\end{array}\)

Vậy khẳng định B đúng.

Chọn B.

Ta có: \(z = i\left( {1 - 3i} \right) = i - 3{i^2} = i + 3 = 3 + i\) \( \Rightarrow \overline z  = 3 - i.\)

Số phức \(\overline z \) có phần thực là \(3\) và phần ảo là \( - 1.\)

\( \Rightarrow S = 3 + \left( { - 1} \right) = 2.\)

Chọn B. 

Ta có số phức liên hợp của số phức \(z\) là: \(\overline z  = a - bi.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2z + 1 = \overline z \\ \Leftrightarrow 2\left( {a + bi} \right) + 1 = a - bi\\ \Leftrightarrow 2a + 1 + 2bi = a - bi\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 1 = a\\2b =  - b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow a + b =  - 1 + 0 =  - 1.\end{array}\)

Chọn B.

Ta có \(\left| w \right| = \left| {{{\left( {1 - i} \right)}^2}z} \right| = \left| {{{\left( {1 - i} \right)}^2}} \right|.\left| z \right| = 2\left| z \right| = 2m\) vì \(\left| z \right| = m\).

Chọn A.

Vì \(A\) và \(B\) lần lượt là điểm biểu diễn của số phức \({z_1} = 3 - 2i\) và \({z_2} = 1 + 4i\) nên \(A\left( {3; - 2} \right)\) và \(B\left( {1;4} \right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow M\left( {\dfrac{{3 + 1}}{2};\dfrac{{ - 2 + 4}}{2}} \right) \Rightarrow M\left( {2;1} \right)\).

Chọn C.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 2 + i\\{z_2} = 1 - 3i\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left| {{z_1}} \right|^2} = {2^2} + 1 = 5\\{\left| {{z_2}} \right|^2} = 1 + {\left( { - 3} \right)^2} = 10\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 15.\)

Chọn D.

Ta có: \(z =  - 4 - 5i \Rightarrow \overline z  =  - 4 + 5i\)

\( \Rightarrow M\left( { - 4;\,\,5} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(\overline z .\)

Chọn B.