-
Lớp 12
-
Lớp 11
-
Lớp 10
- SGK Toán 10 - Đại Số và Hình Học Toán 10
- SGK Toán 10 nâng cao
- SGK Tiếng Anh 10
- SGK Tiếng Anh 10 Mới
- Văn mẫu 10
- Soạn văn 10 chi tiết
- Soạn văn 10 ngắn gọn
- Soạn văn 10 siêu ngắn
- Tác giả - Tác phẩm văn 10
- SGK Vật lý 10
- SGK Vật lý 10 nâng cao
- SGK Hóa học 10
- SGK Hóa học 10 nâng cao
- SGK Sinh học 10
- SGK Sinh học 10 nâng cao
-
Lớp 9
-
Lớp 8
-
Lớp 7
-
Lớp 6
- Lớp 5
- Lớp 4
- Lớp 3
- Lớp 2
- Lớp 1
- Thông tin tuyển sinh
Trang chủ » 45 bài tập trắc nghiệm sự đồng biến nghịch biến của hàm số mức độ vận dụng, vận dụng cao
45 bài tập trắc nghiệm sự đồng biến nghịch biến của hàm số mức độ vận dụng, vận dụng cao
Lớp:
Môn học:
Bài học:
Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Câu trắc nghiệm:
Câu hỏi 1
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=x+m\left( \sin x+\cos x \right)\) đồng biến trên R.
Phương pháp giải :
- Hàm số \(y=f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( a;b \right)\Leftrightarrow f'\left( x \right)\ge 0\,\,\forall x\in \left( a;b \right)\).
Lời giải chi tiết :
Ta có: \(y'=1+m\left( \cos x-\sin x \right)=1+\sqrt{2}m\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\).
Hàm số đồng biến trên R \( \Leftrightarrow y' \ge 0\) với \(\forall x \in R\) .
Vì \( - 1 \le \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Rightarrow y' \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - \sqrt 2 m \ge 0\\1 + \sqrt 2 m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\m \ge - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \le m \le \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Chọn B.
Đáp án A:
\(m\in \left( -\infty ;-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)\cup \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2};+\infty \right)\)
Đáp án B:
\(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\le m\le \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
Đáp án C:
\(-3<m<\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
Đáp án D:
\(m\in \left( -\infty ;-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right]\cup \left[ \dfrac{\sqrt{2}}{2};+\infty \right)\)
Câu hỏi 2
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Xác định giá trị của m để hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m\)nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1
Phương pháp giải :
Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng \(1 \Leftrightarrow \) hàm số có \(y'<0\) và phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm \(x_1,\, \, x_2\) sao cho \(|x_1-x_2|=1.\)
Lời giải chi tiết :
Ta có: \(y' = 3{x^2} + 6x + m\)
Hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1 thì pt \(y' = 0\) phải có hai nghiệm phân biệt \({x_1};\,{x_2}\) và \(|{x_1} - {x_2}| = 1\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\|{x_1} - {x_2}| = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - 3m > 0\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 1\end{array} \right.\)(*).
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\\{x_1}{x_2} = \dfrac{m}{3}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\4 - \dfrac{4}{3}m = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\m = \dfrac{9}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \dfrac{9}{4}\).
Chọn A.
Đáp án A:
\(m=\dfrac{9}{4}\)
Đáp án B:
\(m = - \dfrac{9}{4}\)
Đáp án C:
\(m = \dfrac{9}{2}\)
Đáp án D:
\(m=-\dfrac{9}{2}\)
Câu hỏi 3
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Tìm tham số m để hàm số \(y=-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+\left( m-2 \right){{x}^{2}}-m\left( m-3 \right)x-\dfrac{1}{3}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( 1;+\infty \right)\).
Lời giải chi tiết :
Giải: Ta có:\(y' = - {x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x - {m^2} + 3m\) .
Để hàm số nghịch biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) thì \( y' \le 0\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\) .
Để giải nhanh bài toán này, ta nên dùng máy tính để thử các đáp án.
Trước hết ta thử với \(m=4\) .
+) Với \(m=4\) suy ra \(y' = - {x^2} + 4x - 4 = - {\left( {x - 2} \right)^2} \le 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\)
hàm số nghịch biến \( \Rightarrow \) loại đáp án A và D.
Ta thấy \({{5 - \sqrt 5 } \over 2} < 4\) cách viết của đáp án C sai.
Chọn B.
Đáp án A:
\(\dfrac{{5 - \sqrt 5 }}{2} < m < 4\)
Đáp án B:
\(\left[ \begin{array}{l}m \ge 4\\m \le \dfrac{{5 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\)
Đáp án C:
\(\left\{ \matrix{
m \ge 4 \hfill \cr
m \le \dfrac {5 - \sqrt 5 } {2} \hfill \cr} \right.\)
Đáp án D:
\(\left[ \begin{array}{l}m > 4\\m < \dfrac{{5 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\)
Câu hỏi 4
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Xác định giá trị của m để hàm số \(f\left( x \right)=-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}+\left( m+3 \right)x\) đồng biến trên khoảng (0; 3).
Phương pháp giải :
- Hàm số đồng biến trên \(\left( {0;3} \right) \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\).
Lời giải chi tiết :
Để hàm số đồng biến trên (0;3) thì \(y' = - {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + m + 3 \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow m\left( {2x + 1} \right) \ge {x^2} + 2x - 3\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\\
\Leftrightarrow m \ge \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{2x + 1}} = f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\,\,\left( {Do\,\,2x + 1 > 0\,\forall x \in \left( {0;3} \right)} \right)\\
\Rightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right)
\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {2x + 2} \right)\left( {2x + 1} \right) - 2\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\\
f'\left( x \right) = \dfrac{{4{x^2} + 6x + 2 - 2{x^2} - 4x + 6}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\\
f'\left( x \right) = \dfrac{{2{x^2} + 2x + 8}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \in \left[ {0;3} \right]\\
\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = \dfrac{{12}}{7}\\
\Rightarrow m \ge \dfrac{{12}}{7}
\end{array}\)
Chọn A.
Đáp án A:
\(m\ge \dfrac {12}{7}\)
Đáp án B:
\(m > \dfrac {12}{7}\)
Đáp án C:
\(m\le \dfrac {12}{7}\)
Đáp án D:
\(m= \dfrac {12}{7}\)
Câu hỏi 5
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Xác định giá trị của m để hàm số \(y=\dfrac{mx+3}{3x+m}\) nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
Phương pháp giải :
- Hàm số \(y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\,\,\left( ad-bc\ne 0 \right)\) đơn điệu trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi \(y' < 0\) với mọi \(x\) thuộc tập xác định.
Lời giải chi tiết :
Đk: \(x \ne - \dfrac{m}{3}\).
Ta có: \(y' = \dfrac{{{m^2} - 9}}{{{{\left( {3x + m} \right)}^2}}}\).
Để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó thì hàm số phải xác định và \(y'<0\,\,\forall x\ne -\dfrac{m}{3}\).
\( \Leftrightarrow {m^2} - 9 < 0 \Leftrightarrow - 3 < m < 3\)
Chọn D.
Đáp án A:
\( - 3 < m \le 3\)
Đáp án B:
\(-3\le m<3\)
Đáp án C:
\(-3\le m\le 3\)
Đáp án D:
\( - 3 < m < 3\)
Câu hỏi 6
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{x - m}}\) đồng biến trên \(\left( 2;+\infty \right)\) khi:
Phương pháp giải :
- Hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\) và xác định trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Lời giải chi tiết :
Đk: \(x \ne m\).
Ta có: \(y' = \dfrac{{ - m - 2}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\).
Để hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\) thì \(y' > 0\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\) và hàm số xác định trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).
\( \Rightarrow y' > 0 \Leftrightarrow - m - 2 > 0 \Leftrightarrow m < - 2\)
Ta thấy \(m < - 2\) thì hàm số xác định với \(\forall x \in \left( {0;2} \right)\).
Chọn D.
Đáp án A:
\(m<2\)
Đáp án B:
\(m>2\)
Đáp án C:
\(m > -2\)
Đáp án D:
\(m <- 2\)
Câu hỏi 7
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Xác định giá trị của m để hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 2mx + {m^2} + 3} \) đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Phương pháp giải :
- Hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).
Lời giải chi tiết :
Đk: \({x^2} + 2mx + {m^2} + 3 \ge 0 \Leftrightarrow \Delta ' \le 0 \Leftrightarrow {m^2} - {m^2} - 3 \le 0\,\forall m\)
\( \Rightarrow \) hàm số luôn xác định với mọi m.
Ta có: \(y' = \dfrac{{x + m}}{{\sqrt {{x^2} + 2mx + {m^2} + 3} }}\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) thì \(y' \ge 0\) với mọi \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\)
\( \Leftrightarrow - m \le 2 \Leftrightarrow m \ge - 2\)
Chọn B.
Đáp án A:
\(m \ge 2\)
Đáp án B:
\(m \ge - 2\)
Đáp án C:
\(m\le 2\)
Đáp án D:
\(m\ge 0\)
Câu hỏi 8
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Cho hàm số\(y = - \dfrac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + \left( {m - 2} \right)x - \dfrac{1}{3}\). Tìm các giá trị của m để hàm số đã cho đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 4.
Phương pháp giải :
- Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 4 \( \Leftrightarrow \) Hàm số có \(y' > 0\) và phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=4\).
Lời giải chi tiết :
Ta có: \(y' = - {x^2} + 2mx + m - 2\) có \(\Delta ' = {m^2} + m - 2\).
Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 4 \(\Leftrightarrow y'=0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};\,{x_2}\) sao cho \(|{x_1} - {x_2}| = 4\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\|{x_1} - {x_2}| = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + m - 2 > 0\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 16\end{array} \right.\)(*).
Theo định lý Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = - m + 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + m - 2 > 0\\4{m^2} + 4\left( {m - 2} \right) = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < - 2\\m > 1\end{array} \right.\\{m^2} + m - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < - 2\\m > 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 3\end{array} \right.\)
Chọn C.
Đáp án A:
\(\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = 3\end{array} \right.\)
Đáp án B:
\(\left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m = 3\end{array} \right.\)
Đáp án C:
\(\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =- 3\end{array} \right.\)
Đáp án D:
\(\left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m =-3\end{array} \right.\)
Câu hỏi 9
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho hàm số \(y = \dfrac{{\tan x - 2}}{{m\tan x - 2}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\).
Phương pháp giải :
- Hàm số đồng biến trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\).
Lời giải chi tiết :
Ta có: \(y' = \dfrac{{\left( {m\tan x - 2} \right).\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \left( {\tan x - 2} \right).m.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}{{{{\left( {m\tan x - 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{2\left( {m - 1} \right)}}{{{{\cos }^2}x{{\left( {m\tan x - 2} \right)}^2}}}\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\) thì hàm số phải xác định trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\) và \(y' \ge 0\) với \(\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\).
TH1: \(m = 0 \Rightarrow y = - \dfrac{1}{2}\left( {\tan x - 2} \right)\) là hàm nghịch biến trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\)\( \Rightarrow \)loại \(m = 0\).
TH2: \(m \ne 0\) ta có: \(y = \dfrac{{\tan x - 2}}{{m\tan x - 2}} = \dfrac{{\tan x - 2}}{{m\left( {\tan x - \dfrac{2}{m}} \right)}}\)..hàm số xác định với \(\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\) thì \(\dfrac{2}{m} \notin \left( {0;1} \right)\) vì khi \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\) thì \(\tan x \in \left( {0;1} \right)\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{2}{m} \le 0\\\dfrac{2}{m} \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 0\\0 < m \le 2\end{array} \right.\).
Ta có: \(y' > 0 \Leftrightarrow m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1\).
Kết hợp với điều kiện ta có hàm số đồng biến trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\) khi \(1 < m \le 2\).
Chọn D.
Đáp án A:
\(m\le -1\)
Đáp án B:
\(1\le m\le 2\)
Đáp án C:
\( - 1 \le m \le 2\)
Đáp án D:
\(1 < m \le 2\)
Câu hỏi 10
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{{2{x^2} - mx + m + 2}}{{ - x + m + 1}}\). Để hàm số nghịch biến trong \(\left( {2; + \infty } \right)\), giá trị cần tìm của tham số m là:
Phương pháp giải :
- Hàm số nghịch biến trên \(\left( {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow y' \le 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).
Lời giải chi tiết :
Ta có: \(y' = \dfrac{{ - 2{x^2} + 4\left( {m + 1} \right)x - {m^2} + 2}}{{{{\left( { - x + m + 1} \right)}^2}}}\)
Để hàm số nghịch biến trên \(\left( {2; + \infty } \right) \Rightarrow y' \le 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).
\( \Rightarrow g\left( x \right) = - 2{x^2} + 4\left( {m + 1} \right)x - {m^2} + 2 \le 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).
Ta có: \(\Delta ' = 4\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) - 2{m^2} + 4 = 2{\left( {m + 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi m.
Gọi \({x_1} \le {x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(g\left( x \right) = 0\), ta có BXD :
Dựa vào BBT ta thấy : Để \(g\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\) thì \(\left( {2; + \infty } \right) \subset \left( {{x_2}; + \infty } \right)\)\( \Rightarrow {x_1} \le {x_2} \le 2\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} \le 4\\\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} \le 4\\{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 \ge 0\end{array} \right.\).
Áp dụng định lí Vi-ét ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = \dfrac{{{m^2} - 2}}{2}\end{array} \right.\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {m + 1} \right) \le 4\\\dfrac{{{m^2} - 2}}{2} - 4\left( {m + 1} \right) + 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 \le 2\\{m^2} - 2 - 8m - 8 + 8 \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1\\{m^2} - 8m - 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 4 + 3\sqrt 2 \\m \le 4 - 3\sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 4 - 3\sqrt 2 \end{array}\)
Chọn B.
Đáp án A:
\(m < 1\)
Đáp án B:
\(m \le 4 - 3\sqrt 2 \)
Đáp án C:
\(m \ge 4 + 3\sqrt 2 \)
Đáp án D:
\(4 - 3\sqrt 2 < m < 4 + 3\sqrt 2 \)
Câu hỏi 11
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số \(y=\dfrac{x-1}{x-m}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( -\infty ;3 \right)\).
Phương pháp giải :
- Hàm số nghịch biến trên \(\left( -\infty ;3 \right)\Leftrightarrow y'\le 0\,\,\forall x\in \left( -\infty ;3 \right)\).
Lời giải chi tiết :
Khi \(m=1\) thì \(y = 1\) là hàm hằng trên \(\mathbb{R}\) nên \(m = 1\) không thỏa mãn.
Khi \(m\ne 1\) thì hàm số có \(y' = \dfrac{{ - m + 1}}{{{{(x - m)}^2}}}\)
Để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\) thì\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne m}\\{ - m + 1 < 0}\end{array}} \right.\,\,\,\,\forall \,x \in \left( { - \infty ;3} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ge 3}\\{m > 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m \ge 3\)
Chọn A.
Đáp án A:
\(m\ge 3\)
Đáp án B:
\(m>3\)
Đáp án C:
\(m \ge 1\)
Đáp án D:
\(m > 1\)
Câu hỏi 12
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có tính chất: \(f'\left( x \right) \ge 0\), \(\forall x \in \left( {0;3} \right)\) và \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x \in \left( {1;2} \right)\). Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.
Phương pháp giải :
- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right)\ge 0\) trên \(\left( a;b \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm \(\Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( a;b \right)\).
- Hàm số \(y=f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right)\le 0\) trên \(\left( a;b \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm \(\Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên \(\left( a;b \right)\).
- Hàm số \(y=f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right)=0\) trên \(\left( {a;b} \right)\) \(\Rightarrow \) Hàm số không đổi trên \(\left( a;b \right)\).
Lời giải chi tiết :
Theo đề bài ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x \in \left( {1;2} \right)\) \( \Rightarrow \) là hàm hằng trên khoảng \(\left( 1;2 \right)\) \(\Rightarrow \) C đúng.
Lại có \(f'\left( x \right)\ge 0\), \(\forall x \in \left( {0;3} \right)\)\(\Rightarrow \) hàm số đồng biến trên \(\left( 0;1 \right)\) và \(\left( 2;3 \right)\) \( \Rightarrow \) A và D đúng.
Chọn B.
Đáp án A:
Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2;3} \right)\).
Đáp án B:
Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\).
Đáp án C:
Hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm hằng trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\).
Đáp án D:
Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).
Câu hỏi 13
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Tìm m để hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 4m\) nghịch biến trên (-1; 1).
Phương pháp giải :
Cách 1: Thay từng giá trị của \(m\) ở các đáp án và khảo sát hàm số để tìm đáp án đúng.
Cách 2: Hàm số nghịch biến trên \((-1; \, \, 1)\) \( \Leftrightarrow y' \ge 0\;\;\forall x \in \left( { - 1;\;1} \right).\)
Lời giải chi tiết :
Cách 1:
Giải: Ta có: \(y' = 3{x^2} + 6x + m + 1\)
Để giải nhanh bài toán này ta nên dùng máy tính để thử từng đáp án.
Thử với \(m = 2\) ta có:\(y' = 3{x^2} + 6x + 3 = 3{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x \in R\).
\( \Rightarrow \) với \(m = 2\), hàm số luôn đồng biến \( \Rightarrow \) loại đáp án B, C.
Còn lại đáp án A và D
Thử với \(m = - 5\) ta có: \(y' = 3{x^2} + 6x - 4\).
Để hàm số nghịch biến trên (-1; 1) thì \(y' \le 0\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\).
Nhập hàm \(y' = 3{x^2} + 6x - 4\) vào máy tính và thử với giá trị \(x = 0,6\) ta được \(y' = 0,68 > 0\) nên hàm số đồng biến trong (-1;1). \( \Rightarrow \) loại D.
Chọn A.
Cách 2:
Ta có
\(\begin{array}{l}y' = 3{x^2} + 6x + m + 1 \le 0\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\\ \Leftrightarrow m \le - 3{x^2} - 6x - 1\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\\ \Leftrightarrow m \le f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\\ \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right)\end{array}\)
Ta có \(f'\left( x \right) = - 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\)
\(f\left( { - 1} \right) = 2;\,\,f\left( 1 \right) = - 10 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = - 10 \Rightarrow m \le - 10\)
Chọn A.
Đáp án A:
\(m\le -10\)
Đáp án B:
\(m \le 10\)
Đáp án C:
\(m \le 2\)
Đáp án D:
\(m \le - 2\)
Câu hỏi 14
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Tìm m để hàm số \(y = {x^3} - 2m{x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 1\) nghịch biến trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\).
Phương pháp giải :
Sử dụng chức năng Mode 7 để thử các đáp án.
Lời giải chi tiết :
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 4mx - m - 1\).
Để hàm số nghịch biến trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) thì \(y' \le 0\,\forall x \in \left[ {0;2} \right]\).
Ta sử dụng máy tính để thử đáp án với với các giá trị m tương ứng và với giá trị \(x = 1\).
+) Trước hết, ta thử với \(m = \dfrac{{11}}{9} \Rightarrow y' = 3{x^2} - \dfrac{{44}}{9}x - \dfrac{{20}}{9}\).
Nhập hàm số trên vào máy tính và tính giá trị của hàm số khi \(x = 1\) ta được: \(y' = - \dfrac{{37}}{9} < 0\)
\( \Rightarrow \)hàm số nghịch biến \( \Rightarrow m = \dfrac{{11}}{9}\) thỏa mãn \( \Rightarrow \) ta loại đáp án A và B.
+) Thử với \(m = 2\)\( \Rightarrow y' = 3{x^2} - 8x - 3\).
Nhập hàm số trên vào máy tính và tính giá trị của hàm số khi \(x = 1\) ta được: \(y' = - 8 < 0\)
\( \Rightarrow \)hàm số nghịch biến \( \Rightarrow \) C đúng, D sai.
Chọn C.
Đáp án A:
\(m < \dfrac{{11}}{9}\)
Đáp án B:
\(m>\dfrac{11}{9}\)
Đáp án C:
\(m \ge \dfrac{{11}}{9}\)
Đáp án D:
\(m \le \dfrac{{11}}{9}\)
Câu hỏi 15
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}.\) Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số \(y=f'\left( x \right),\) (\(y=f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) ). Xét hàm số \(g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2 \right).\) Mệnh đề nào dưới đây sai?
Phương pháp giải :
Sử dụng tính chất hàm số \(g\) đồng biến ( tương ứng nghịch biến) trên \(D\) khi \(g'\left( x \right)\ge 0,\,\,\forall x\in D\) (tương ứng \(g'\left( x \right)\ge 0,\,\,\forall x\in D\)).
Lời giải chi tiết :
Quan sát đồ thị hàm số ta thấy \(f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2\\x \ne - 1\end{array} \right.,\,\,f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x > 2.\)
Ta có \(g'\left( x \right)=2xf'\left( {{x}^{2}}-2 \right).\)
Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến khi và chỉ khi
\(g'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow xf'\left( {{x^2} - 2} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} - 2 > 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{x^2} - 2 < 2\\{x^2} - 2 \ne - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\\left\{ \begin{array}{l} - 2 < x < 0\\x \ne - 1\end{array} \right.\end{array} \right..\)
Như vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( 2;+\infty \right).\)
Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến khi và chỉ khi
\(g'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow xf'\left( {{x^2} - 2} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{x^2} - 2 > 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} - 2 < 2\\{x^2} - 2 \ne - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 2\\0 < x < 2\end{array} \right..\)
Như vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( -\infty ;-2 \right)\) và \(\left( 0;2 \right).\)
Vậy đáp án C sai.
Chọn đáp án C.
Đáp án A:
Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( -\infty ;-2 \right).\)
Đáp án B:
Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( 2;+\infty \right).\)
Đáp án C:
Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \( (-1; 0) \).
Đáp án D:
Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( 0;2 \right).\)
Câu hỏi 16
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R và có đồ thị hàm \(y=f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Xét hàm số \(g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2 \right).\) Mệnh đề nào dưới đây sai?
Phương pháp giải :
Dựa vào đồ thị hàm số của hàm \(y=f'\left( x \right)\) để xét tính đơn điệu của hàm số \(y=f\left( x \right)\) Từ đó ta xét các điểm cực trị của hàm f(x) và suy ra tính đơn điệu của hàm \(g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2 \right).\)
Lời giải chi tiết :
Xét đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) ta thấy \(f'\left( -1 \right)=f'\left( 2 \right)=0.\) Tuy nhiên tại \(x=-1\) thì f’(x) không đổi dấu nên \(x=-1\) không là điểm cực trị của hàm \(y=f\left( x \right)\)
Với \(x>2\) thì \(f'\left( x \right)>0\Rightarrow f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( 2;+\infty \right).\)
Ta có: \(g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2 \right)\Rightarrow g'\left( x \right)=\left( f\left( {{x}^{2}}-2 \right) \right)'=2x.f'\left( {{x}^{2}}-2 \right).\)
\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2x.f'\left( {{x^2} - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 2\end{array} \right..\)
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy B sai.
Đáp án A:
Hàm số g(x) đồng biến trên \(\left( 2;+\infty \right).\)
Đáp án B:
Hàm số g(x) nghịch biến trên \(\left( -1;\,\,0 \right).\)
Đáp án C:
Hàm số g(x) nghịch biến trên \(\left( 0;\,\,2 \right).\)
Đáp án D:
Hàm số g(x) nghịch biến trên \(\left( -\infty ;\,\,-2 \right).\)
Câu hỏi 17
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Số các giá trị nguyên của m để hàm số \(y = \dfrac{{mx - 2}}{{2x - m}}\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định là:
Phương pháp giải :
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định khi và chỉ khi \(f'\left( x \right) \ge 0\) trên toàn bộ TXĐ và chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm.
Lời giải chi tiết :
Khi m = 2 hàm số có dạng \(y = \dfrac{{2x - 2}}{{2x - 2}} = 1\) là hàm hằng nên không đồng biến trên mỗi khoảng xác định, loại.
Khi m = - 2 hàm số có dạng \(y = \dfrac{{ - 2x - 2}}{{2x + 2}} = - 1\) là hàm hằng nên không đồng biến trên mỗi khoảng xác định, loại.
Khi \(m \ne \pm 2\), ĐKXĐ: \(x \ne \dfrac{m}{2}\).
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi và chỉ khi \(y' \ge 0\) trên TXĐ và chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm.
Ta có: \(y' = \dfrac{{ - {m^2} + 4}}{{{{\left( {2x - m} \right)}^2}}} \ge 0 \Rightarrow - {m^2} + 4 \ge 0 \Leftrightarrow - 2 \le m \le 2\).
Kết hợp nghiệm ta có \( - 2 < m < 2\), mà \(m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\} \Rightarrow \) có 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn A.
Đáp án A:
3
Đáp án B:
7
Đáp án C:
5
Đáp án D:
Vô số
Câu hỏi 18
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + \left( {m + 5} \right)x + 2m - 5\) đồng biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\)
Phương pháp giải :
Áp dụng lý thuyết về tính đồng biến của hàm số
Lời giải chi tiết :
Ta có: \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + \left( {m + 5} \right)x + 2m - 5 \Rightarrow y' = {x^2} - 4x + m + 5\) với \(\Delta {'_{y'}} = - m - 1\)
- Nếu \(m \ge - 1 \Rightarrow - m - 1 \le 0 \Rightarrow \Delta {'_{y'}} \le 0 \Rightarrow y' \ge 0\forall x\)
Khi đó hàm số đồng biến trên R hay hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\)
- Nếu \(m < - 1 \Rightarrow - m - 1 > 0 \Rightarrow \Delta {'_{y'}} > 0\). Khi đó phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\)
Ta có bảng biến thiên của y:
Hàm số đồng biến trên \(\left( {3; + \infty } \right) \Leftrightarrow {x_2} \le 3 \Leftrightarrow 2 + \sqrt { - m - 1} \le 3 \Leftrightarrow \sqrt { - m - 1} \le 1 \Leftrightarrow 0 \le - m - 1 \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le m \le - 1\)
Kết hợp nghiệm ta có \(m \in \left[ { - 2; - 1} \right] \cup \left[ { - 1; + \infty } \right) = \left[ { - 2; + \infty } \right)\) hay \(m \ge - 2\).
Chọn D.
Đáp án A:
\(m \le 2\)
Đáp án B:
\(m > - 2\)
Đáp án C:
\(m < 2\)
Đáp án D:
\(m \ge - 2\)
Câu hỏi 19
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Tìm tất cả những giá trị của m để hàm số \(y = \dfrac{{\cot 2x + m + 2}}{{\cot 2x - m}}\) đồng biến trên \(\left( {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{4}} \right)\)
Phương pháp giải :
Áp dụng lý thuyết về tính đồng biến của hàm số
Lời giải chi tiết :
Đặt \(\cot 2x = t\left( {t \in R} \right)\). Khi đó bài toán trở thành tìm m để hàm số \(y = \dfrac{{t + m + 2}}{{t - m}}\) nghịch biến trên \(\left( {0;\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\)
Ta có: \(y' = \dfrac{{ - 2m - 2}}{{{{\left( {t - m} \right)}^2}}}\). Hàm số nghịch biến trên \(\left( {0;\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\) khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{ - 2m - 2}}{{{{\left( {t - m} \right)}^2}}} \le 0}\\{m \notin \left( {0;\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge - 1\\\left[ \begin{array}{l}m \le 0\\m \ge \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 \le m \le 0\\m \ge \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\)
Khi \(m=-1\) hàm số trở thành \(y = \dfrac{{t + 1}}{{t + 1}} = 1 \Rightarrow \) hàm số ban đầu trở thành hàm hằng nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy \(\left[ \begin{array}{l} - 1 < m \le 0\\m \ge \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\).
Chọn C.
Đáp án A:
\(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\)
Đáp án B:
\(m \in \left( { - 1; + \infty } \right)\)
Đáp án C:
\(m \in \left( { - 1;0} \right) \cup \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}; + \infty } \right)\)
Đáp án D:
\(m \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}; + \infty } \right)\)
Câu hỏi 20
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Tìm \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{{2\cos x + 1}}{{\cos x - m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right).\)
Phương pháp giải :
Tính đạo hàm \(y'.\) Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0;\pi } \right)\) thì ta cần \(y'\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \in \left( {0;\pi } \right).\) Giải bất phương trình để tìm \(m.\)
Lời giải chi tiết :
Để hàm số \(y\) đồng biến trên \(\left( {0;\pi } \right)\) thì trước hết tập xác định của hàm số phải là \(\left( {0;\pi } \right).\) Do với \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) thì \(\cos x \in \left( { - 1;1} \right)\) nên điều kiện cần là \(\left| m \right| \ge 1.\)
Với \(\left| m \right| \ge 1\) ta có \(y'\left( x \right) = \dfrac{{2m\sin x + {\mathop{\rm s}\nolimits} i{\rm{n}}x}}{{{{\left( {\cos x - m} \right)}^2}}} \Rightarrow \,y'\left( x \right) > 0\,\,\,\forall x \in \left( {0;\pi } \right) \Leftrightarrow \,\,\dfrac{{2m\sin x + {\mathop{\rm s}\nolimits} i{\rm{n}}x}}{{{{\left( {\cos x - m} \right)}^2}}} > 0\,\,\,\forall x \in \left( {0;\pi } \right) \Leftrightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\left( {2m + 1} \right) > 0\,\,\forall x \in \left( {0;\pi } \right).\)
Do với \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) thì \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} > 0\) nên bất phương trình \(\left( {2m + 1} \right)\sin x > 0\,\,\,\forall x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow 2m + 1 > 0 \Rightarrow m > - \dfrac{1}{2}.\)
Đối chiếu với điều kiện \(\left| m \right| \ge 1\) ta nhận được \(m \ge 1.\)
Chọn D.
Đáp án A:
\(m \le 1.\)
Đáp án B:
\(m \ge - \dfrac{1}{2}.\)
Đáp án C:
\(m > - \dfrac{1}{2}.\)
Đáp án D:
\(m \ge 1.\)
Câu hỏi 21
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y=\frac{mx+2}{2x+m}\), mlà tham số thực. Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của mđể hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( 0;\,1 \right)\) Tìm số phần tử của \(S\)
Phương pháp giải :
Hàm số \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\) nghịch biến trên khoảng K khi \(\left\{ \begin{array}{l}y' < 0,\,\forall x \in K\\\frac{{ - d}}{c} \notin K\end{array} \right.\).
Lời giải chi tiết :
Ta có \({y}'=\frac{{{m}^{2}}-4}{{{\left( 2x+m \right)}^{2}}}\), \(x\ne -\frac{m}{2}\)
Để hàm số nghịch biến trên \(\left( 0;\,1 \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 < 0\\ - \frac{m}{2} \notin \left( {0;\,1} \right)\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < m < 2\\m \in \left( { - \infty ;\, - 2} \right] \cup \left[ {0;\, + \infty } \right)\end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow 0\le m<2\)
Với \(m\in \mathbb{Z}\) nên ta có \(m=\left\{ 0;\,1 \right\}\) Có 2 giá trị nguyên của mthỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn C.
Đáp án A:
1
Đáp án B:
5
Đáp án C:
2
Đáp án D:
3
Câu hỏi 22
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\in (-10;10)\) để hàm số \(y={{m}^{2}}{{x}^{4}}-2\left( 4m-1 \right){{x}^{2}}+1\) đồng biến trên khoảng \((1;\,\,+\infty )\)?
Phương pháp giải :
Để hàm số đồng biến trên \(\left( 1;+\infty \right)\Rightarrow y'\ge 0\,\,\forall x\in \left( 1;+\infty \right)\) và \(y'=0\) tại hữu hạn điểm thuộc \(\left( 1;+\infty \right)\)
Lời giải chi tiết :
Ta có \(y'=4{{m}^{2}}{{x}^{3}}-4\left( 4m-1 \right)x=4x\left( {{m}^{2}}{{x}^{2}}-4m+1 \right).\)
Để hàm số đồng biến trên \(\left( 1;+\infty \right)\Leftrightarrow y'\ge 0,\text{ }\forall x\in \left( 1;+\infty \right)\Leftrightarrow {{m}^{2}}{{x}^{2}}-4m+1\ge 0,\text{ }\forall x\in \left( 1;+\infty \right)\) (1)
Rõ ràng \(m=0\) thỏa mãn (1).
Với \(m\ne 0\) thì (1) \( \Leftrightarrow {x^2} \ge \frac{{4m - 1}}{{{m^2}}}\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow \frac{{4m - 1}}{{{m^2}}} \le 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
{m^2} - 4m + 1 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
\left[ \begin{array}{l}
m \ge 2 + \sqrt 3 \\
m \le 2 - \sqrt 3
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)
Vậy có 16 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn C.
Đáp án A:
15
Đáp án B:
7
Đáp án C:
16
Đáp án D:
6
Câu hỏi 23
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y=f\left( x \right).\) Hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên. Hàm số \(y=f\left( x-{{x}^{2}} \right)\) nghịch biến trên khoảng
Phương pháp giải :
Tính đạo hàm của hàm hợp, xác định khoảng đồng biến, nghịch biến dựa vào đồ thị hàm số
Lời giải chi tiết :
Ta có \(g\left( x \right)=f\left( x-{{x}^{2}} \right)\,\,\xrightarrow{{}}\,\,{g}'\left( x \right)=\left( 1-2x \right).{f}'\left( x-{{x}^{2}} \right);\,\,\forall x\in \mathbb{R}.\)
Xét \(g'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow \left( {1 - 2x} \right).f'\left( {x - {x^2}} \right) < 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1 - 2x > 0\\f'\left( {x - {x^2}} \right) < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}1 - 2x < 0\\f'\left( {x - {x^2}} \right) > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1 - 2x > 0\\1 < x - {x^2} < 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}1 - 2x < 0\\x - {x^2} \in \left( { - \,\infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \,\infty } \right)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < \frac{1}{2}\\{x^2} - x + 1 < 0\\{x^2} - x + 2 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} - x + 1 > 0\\{x^2} - x + 2 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < \frac{1}{2}\\VN\\VSN\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}VSN\\VN\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}.\)
Vậy hàm số \(y=g\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( \frac{1}{2};+\,\infty \right).\)
Chọn D
Đáp án A:
\(\left( -\,\frac{1}{2};+\,\infty \right).\)
Đáp án B:
\(\left( -\,\frac{3}{2};+\,\infty \right).\)
Đáp án C:
\(\left( -\,\infty ;\frac{3}{2} \right).\)
Đáp án D:
\(\left( \frac{1}{2};+\,\infty \right).\)
Câu hỏi 24
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có hàm số \(y=f'\left( x \right)\) có đồ thị hình bên. Hàm số \(y=f\left( -x \right)\) đồng biến trên khoảng :
Phương pháp giải :
+) Xác định các điểm cực trị, các khoảng biến thiên của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), từ đó lập BBT của của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\).
+) Đồ thị hàm số \(y=f\left( -x \right)\) đối với đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) qua trục tung nên từ BBT của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) ta lập được BBT của đồ thị hàm số \(y=f\left( -x \right)\) và suy ra các khoảng đồng biến của đồ thị hàm số \(y=f\left( -x \right)\).
Lời giải chi tiết :
Dựa vào đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) ta thấy \(f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-1 \\ & x=1 \\ & x=4 \\ \end{align} \right.\)
\(\begin{align} & f'\left( x \right)>0\Leftrightarrow x\in \left( -1;1 \right)\cup \left( 4;+\infty \right) \\ & f'\left( x \right)<0\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 1;4 \right) \\ \end{align}\)
Từ đó ta lập được BBT của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) như sau :
Đồ thị hàm số \(y=f\left( -x \right)\) đối với đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) qua trục tung nên từ BBT của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) ta lập được BBT của đồ thị hàm số \(y=f\left( -x \right)\) như sau :
Từ BBT ta dễ thấy hàm số \(y=f\left( -x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( -3;-1 \right)\).
Chọn D.
Đáp án A:
\(\left( -\infty ;-5 \right)\)
Đáp án B:
\(\left( -\infty ;-4 \right)\)
Đáp án C:
\(\left( -1;1 \right)\)
Đáp án D:
\(\left( -3;-1 \right)\).
Câu hỏi 25
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y=f\left( x \right).\) Biết hàm số \(y=f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số \(y=f\left( 3-{{x}^{2}} \right)\) đồng biến trên khoảng
Lời giải chi tiết :
Ta có
\(\left[ f\left( 3-{{x}^{2}} \right) \right]'=-2x.f'\left( 3-{{x}^{2}} \right)>0\Leftrightarrow \) f’(3 – x2) trái dấu với x
Ta thấy chỉ có khoảng (–1;0) là x âm và 2 < 3 – x2 < 3 do đó f’(3 – x2) > 0 (theo đồ thị)
nên f(3 – x2) đồng biến trên (–1;0)
Chọn D
Đáp án A:
\(\left( 2;3 \right)\)
Đáp án B:
\(\left( -2;-1 \right)\)
Đáp án C:
\(\left( 0;1 \right)\)
Đáp án D:
\(\left( -1;0 \right)\)
Câu hỏi 26
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\). Hàm số \(y=f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình dưới
Hàm số \(y=f\left( 3-x \right)\) nghịch biến trên khoảng:
Phương pháp giải :
+) Lập BBT của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) sau đó suy ra đồ thị của hàm số \(y=f\left( -x \right)\) đối xứng với đồ thị hàm số\(y=f\left( x \right)\) qua trục Oy. Và suy ra đồ thị hàm số \(y=f\left( 3-x \right)\) bằng cách tính tiến đồ thị hàm số \(y=f\left( -x \right)\) theo vector \(\left( 3;0 \right)\)
+) Suy ra các khoảng nghịch biến của đồ thị hàm số \(y=f\left( 3-x \right)\).
Lời giải chi tiết :
Dựa vào đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) ta thấy \(f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} x=-1 \\ x=1 \\ x=4 \\ \end{align} \right.\)
\(f'\left( x \right)>0\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 1;4 \right);\,\,f'\left( x \right)<0\Leftrightarrow x\in \left( -1;1 \right)\cup \left( 4;+\infty \right)\)
Từ đó ta có thể lập được BBT của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) như sau:
Đồ thị hàm số \(y=f\left( 3-x \right)\) được vẽ bằng cách:
Vẽ đồ thị hàm số \(y=f\left( -x \right)\) đối xứng với đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) qua trục Oy, sau đó tịnh tiến đồ thị hàm số \(y=f\left( -x \right)\) theo vector \(\left( 3;0 \right)\)
Đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( -\infty ;-1 \right)\) và \(\left( 1;4 \right)\) nên đồ thị hàm số \(y=f\left( -x \right)\) nghịch biến trên \(\left( -4;-1 \right)\) và \(\left( 1;+\infty \right)\).
\(\Rightarrow \) Đồ thị hàm số \(y=f\left( 3-x \right)\) nghịch biến trên \(\left( -1;2 \right)\) và \(\left( 4;+\infty \right)\).
Chọn B.
Đáp án A:
\(\left( 2;4 \right)\)
Đáp án B:
\(\left( -1;2 \right)\)
Đáp án C:
\(\left( 2;+\infty \right)\)
Đáp án D:
\(\left( -\infty ;-1 \right)\)
Câu hỏi 27
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\). Hàm số \(y=f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên. Hàm số \(y=f\left( 2-x \right)\) đồng biến trên khoảng
Phương pháp giải :
+) Xác định các điểm cực trị (các điểm là nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right)=0\)), các khoảng đơn điệu của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), từ đó lập BBT của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\).
+) Từ BBT của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) suy ra BBT của đồ thị hàm số \(y=f\left( -x \right)\) bằng cách lấy đối xứng đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) qua trục tung.
+) Nhận xét đồ thị hàm số \(y=f\left( 2-x \right)\) và \(y=f\left( -x \right)\) có các khoảng đơn điệu giống nhau và rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết :
Dựa vào đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) ta suy ra đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) như sau :
Ta có nhận xét đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) và đồ thị hàm số \(y=f\left( -x \right)\) đối xứng nhau qua trục tung nên ta có BBT của đồ thị hàm số \(y=f\left( -x \right)\) như sau :
Đồ thị hàm số \(y=f\left( 2-x \right)\) là ảnh của phép tịnh tiến đồ thị hàm số \(y=f\left( -x \right)\) theo vector \(\left( 0;2 \right)\) nên dựa vào BBT ta thấy đáp án C đúng.
Chọn C.
Đáp án A:
\(\left( 1;3 \right)\)
Đáp án B:
\(\left( 2;+\infty \right)\)
Đáp án C:
\(\left( -2;1 \right)\)
Đáp án D:
\(\left( -\infty ;-2 \right)\)
Câu hỏi 28
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số \(y=\frac{1}{3}{{\left( x+1 \right)}^{3}}+mx-\frac{27}{5{{\left( x+1 \right)}^{5}}}\) đồng biến trên \(\left( 0;+\infty \right)\)?
Phương pháp giải :
Tính y’, giải phương trình \(y'\ge 0\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\)
Lời giải chi tiết :
TXĐ : \(x\ne -1\)
Ta có: \(y'={{\left( x+1 \right)}^{2}}+m-\frac{27}{5}.\left( -5 \right){{\left( x+1 \right)}^{-6}}={{\left( x+1 \right)}^{2}}+m+\frac{27}{{{\left( x+1 \right)}^{6}}}\)
Áp dụng BĐT Cô-si ta có :
\(\begin{align} {{\left( x+1 \right)}^{2}}+\frac{27}{{{\left( x+1 \right)}^{6}}}=\frac{1}{3}{{\left( x+1 \right)}^{2}}+\frac{1}{3}{{\left( x+1 \right)}^{2}}+\frac{1}{3}{{\left( x+1 \right)}^{2}}+\frac{27}{{{\left( x+1 \right)}^{6}}} \\ \,\ge 4\sqrt[4]{{{\left( \frac{1}{3}{{\left( x+1 \right)}^{2}} \right)}^{3}}.\frac{27}{{{\left( x+1 \right)}^{6}}}}=4 \\ \Rightarrow y'\ge 4+m \\ \end{align}\)
Để đồ thị hàm số đồng biến trên \(\left( 0;+\infty \right)\Rightarrow y'\ge 0\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Rightarrow 4+m\ge 0\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow m\ge -4\)
m là số nguyên âm \(\Rightarrow m\in \left\{ -1;-2;-3;-4 \right\}\)
Chọn C.
Đáp án A:
3
Đáp án B:
5
Đáp án C:
4
Đáp án D:
2
Câu hỏi 29
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Cho hai hàm số \(y=f\left( x \right),\ y=g\left( x \right).\) Hai hàm số \(y=f'\left( x \right)\) và \(y=g'\left( x \right)\) có đồ thị hàm như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số \(y=g'\left( x \right).\) Hàm số \(h\left( x \right)=f\left( x+6 \right)-g\left( 2x+\frac{5}{2} \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Phương pháp giải :
Hàm số \(y=f\left( x \right)\) đồng biến \(\Leftrightarrow f'\left( x \right)\ge 0.\)
Lời giải chi tiết :
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y=10\) cắt đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) tại hai điểm phân biệt \(\left( 3;\ 10 \right)\) và \(\left( m;\ 10 \right)\) với mọi \(m\in \left( 8;\ 10 \right).\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f'\left( {x + 6} \right) > 10\\
g'\left( {2x + \frac{5}{2}} \right) \le 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3 < x + 6 < m < 8\\
0 < 2x + \frac{5}{2} < 11
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 3 < x < 2\\
- \frac{5}{4} \le x \le \frac{{17}}{4}
\end{array} \right. \Leftrightarrow - \frac{5}{4} \le x < 2.\)
Lại có \(h\left( x \right)\) đồng biến \(\Leftrightarrow h'\left( x \right)>0\Leftrightarrow f'\left( x+6 \right)-2g'\left( 2x+\frac{5}{2} \right)>0\)
Mà \(f'\left( x+6 \right)>10\) và \(2g'\left( 2x+\frac{5}{2} \right)\le -10\Rightarrow h\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ -\frac{5}{4};\ 2 \right).\)
Dựa vào các đáp án ta thấy đáp án B thỏa mãn.
Chọn B.
Đáp án A:
\(\left( \frac{21}{5};+\infty \rig
Đáp án B:
\(\left( \frac{1}{4};\ 1 \right)\)
Đáp án C:
\(\left( 3;\ \frac{21}{5} \right)\)
Đáp án D:
\(\left( 4;\ \frac{17}{4} \right)\)
Câu hỏi 30
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
Hàm số \(y = 3f\left( {x + 2} \right) - {x^3} + 3x\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?
Phương pháp giải :
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right)\) khi và chỉ khi \(f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
Lưu ý công thức tính đạo hàm của hàm hợp. Sau đó thử từng đáp án để chọn kết quả đúng.
Lời giải chi tiết :
Ta có : \(y = 3f\left( {x + 2} \right) - {x^3} + 3x\) \( \Rightarrow y' = 3f'\left( {x + 2} \right) - 3{x^2} + 3\).
Xét \(\, - 1 < x < 0\) ta có :
\(\left\{ \begin{array}{l}1 < x + 2 < 2 \Rightarrow f'\left( {x + 2} \right) > 0\\{x^2} < 1 \Leftrightarrow {x^2} - 1 < 0\end{array} \right. \Rightarrow 3f'\left( {x + 2} \right) - 3{x^2} + 3 > 0\,\,\forall x \in \left( {0;1} \right)\).
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( { - 1;0} \right)\).
CHỌN C.
Đáp án A:
\(\left( {1; + \infty } \right)\)
Đáp án B:
\(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)
Đáp án C:
\(\left( { - 1;0} \right)\)
Đáp án D:
\(\left( {0;2} \right)\)
Câu hỏi 31
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Cho hàm số \( y = f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số \( y = f’\left( x \right)\) được cho như hình vẽ. Hàm số \(g\left( x \right) = - 2f\left( {2 - x} \right) + {x^2}\) nghịch biến trên khoảng nào?
Phương pháp giải :
Tính \(g'\left( x \right)\), dựa vào các đáp án xác định dấu của \(g'\left( x \right)\) trên mỗi khoảng và kết luận.
Lời giải chi tiết :
Ta có \(g'\left( x \right) = 2f'\left( {2 - x} \right) + 2x\).
Với \(x \in \left( { - 1;0} \right)\) ta có \( - 1 < x < 0 \Leftrightarrow 2 < 2 - x < 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 0\\f'\left( {2 - x} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 2f'\left( {2 - x} \right) + 2x < 0 \Leftrightarrow g'\left( x \right) < 0\).
Vậy hàm số \(g\left( x \right) = - 2f\left( {2 - x} \right) + {x^2}\) nghịch biến trên (-1 ; 0).
Chọn D.
Đáp án A:
\((0; 2)\)
Đáp án B:
\((-3; 1)\)
Đáp án C:
\((2; 3)\)
Đáp án D:
\((-1; 0)\)
Câu hỏi 32
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Tìm tất cả các giá trị nguyên dương nhỏ hơn 5 của tham số m để hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {2m - 3} \right)x - \dfrac{2}{3}\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Phương pháp giải :
+) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\).
+) Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng \(f\left( x \right) \ge m\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} f\left( x \right)\).
Lời giải chi tiết :
Ta có \(y' = {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 3\).
Để hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 3 \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2m\left( {x + 1} \right) - 2x - 3 \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 \ge - 2m\left( {x + 1} \right)\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\end{array}\)
Do \(x \in \left( {1; + \infty } \right) \Rightarrow x + 1 > 0 \Leftrightarrow - 2m \le \dfrac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x + 1}} = f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow - 2m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} f\left( x \right)\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x + 1}}\) trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\) ta có:
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {2x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) - {x^2} + 2x + 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 1 > 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\)
\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = - 2 \Leftrightarrow - 2m \le - 2 \Leftrightarrow m \ge 1\).
Kết hợp điều kiện đề bài \(m \in Z,\,\,m < 5 \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\).
Chọn D.
Đáp án A:
5
Đáp án B:
3
Đáp án C:
6
Đáp án D:
4
Câu hỏi 33
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Tổng tất cả các giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số \(y = {x^3} + mx - \dfrac{3}{{28{x^2}}}\), đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) bằng:
Phương pháp giải :
+) Tính y’. Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
+) Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng \(m \le f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right).\).
+) Xét hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), lập BBT tìm \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right)\)
Lời giải chi tiết :
TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ 0 \right\}\). Ta có \(y' = 3{x^2} + m - \frac{3}{{28}}\left( { - 2\frac{1}{{{x^3}}}} \right) = 3{x^2} + m + \frac{3}{{14{x^3}}}\).
Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{x^2} + m + \frac{3}{{14{x^3}}} \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + \frac{3}{{14{x^3}}} \ge - m\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\end{array}\)
Đặt \(f\left( x \right) = 3{x^2} + \frac{3}{{14{x^3}}} \Rightarrow f\left( x \right) \ge - m\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow - m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} f\left( x \right)\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} + \frac{3}{{14{x^3}}}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) ta có:
\(f'\left( x \right) = 6x + \frac{3}{{35}}.\left( { - \frac{3}{{{x^4}}}} \right) = 6x - \frac{9}{{14{x^4}}} = 0 \Leftrightarrow 6x = \frac{9}{{14{x^4}}} \Leftrightarrow {x^5} = \frac{3}{{28}} \Leftrightarrow x = \sqrt[5]{{\frac{3}{{28}}}}\).
BBT:
\(\Rightarrow - m \le 2,05 \Leftrightarrow m \ge - 2,05\). Mà m là số nguyên âm \(\Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1} \right\}\). Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là -2 – 1 = -3.
Chọn C.
Đáp án A:
-15
Đáp án B:
-6
Đáp án C:
-3
Đáp án D:
-10
Câu hỏi 34
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có bảng xét dấu như sau:
Hàm số \(y = f\left( {{x^2} + 2x} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Phương pháp giải :
+) Sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp tính đạo hàm của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 2x} \right)\).
+) Hàm số \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {a;b} \right) \Leftrightarrow g'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
+) Dựa vào các đáp án, thay giá trị của \({x_0}\) thuộc từng khoảng, tính \(g'\left( {{x_0}} \right)\) và loại đáp án.
Lời giải chi tiết :
Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 2x} \right)\) ta có \(g'\left( x \right) = \left( {2x + 2} \right)f'\left( {{x^2} + 2x} \right) = 2\left( {x + 1} \right)f'\left( {{x^2} + 2x} \right)\).
Hàm số \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {a;b} \right) \Leftrightarrow g'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
Xét đáp án A ta có : \(g'\left( {\frac{1}{2}} \right) = 3f'\left( {\frac{5}{4}} \right) > 0 \Rightarrow \)Loại đáp án A.
Xét đáp án C ta có : \(g'\left( {\frac{{ - 3}}{2}} \right) = 2f'\left( 0 \right) > 0 \Rightarrow \)Loại đáp án C.
Xét đáp án D ta có \(g'\left( { - \frac{7}{2}} \right) = - 5f'\left( {\frac{{21}}{4}} \right) > 0 \Rightarrow \) Loại đáp án D.
Chọn B.
Đáp án A:
\(\left( {0;1} \right)\)
Đáp án B:
\(\left( { - 2; - 1} \right)\)
Đáp án C:
\(\left( { - 2;1} \right)\)
Đáp án D:
\(\left( { - 4; - 3} \right)\)
Câu hỏi 35
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau :
Hàm số \(y = {\left( {f\left( x \right)} \right)^3} - 3.{\left( {f\left( x \right)} \right)^2}\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?
Phương pháp giải :
+) Sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp tính \(y'\).
+) Lấy \({x_0}\) thuộc từng khoảng đáp án, kiểm tra \(y'\left( {{x_0}} \right)\) và kết luận.
Lời giải chi tiết :
Ta có :
\(y' = 3{f^2}\left( x \right)f'\left( x \right) - 6f\left( x \right)f'\left( x \right) = 3f\left( x \right)f'\left( x \right)\left[ {f\left( x \right) - 2} \right]\)
Với \(x = 2,5 \Rightarrow y'\left( {2,5} \right) = 3f\left( {2,5} \right)f'\left( {2,5} \right)\left[ {f\left( {2,5} \right) - 2} \right]\)
Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}1 < f\left( {2,5} \right) < 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( {2,5} \right) > 0\\f\left( {2,5} \right) - 2 < 0\end{array} \right.\\f'\left( {2,5} \right) > 0\end{array} \right. \Rightarrow y'\left( {2,5} \right) < 0 \Rightarrow \)Loại các đáp án A, B và D.
Chọn C.
Đáp án A:
\(\left( {3;4} \right)\)
Đáp án B:
\(\left( { - \infty ;1} \right)\)
Đáp án C:
\(\left( {2;3} \right)\)
Đáp án D:
\(\left( {1;2} \right)\)
Câu hỏi 36
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ:
Hàm số \(y = f\left( {2x - 1} \right) + \dfrac{{{x^3}}}{3} + {x^2} - 2x\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây:
Phương pháp giải :
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {a;b} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
Lời giải chi tiết :
Ta có \(y' = 2f'\left( {2x - 1} \right) + {x^2} + 2x - 2\). Ta tìm tập hợp các giá trị của x làm cho \(y' < 0\).
Lấy \(x = - 5 \Rightarrow y'\left( { - 5} \right) = f'\left( { - 11} \right) + 13 > 0 \Rightarrow \) Loại đáp án B.
Lấy \(x = 5 \Rightarrow y'\left( 5 \right) = f'\left( 9 \right) + 33 > 0 \Rightarrow \) Loại đáp án C.
Lấy \(x = 7 \Rightarrow y'\left( 7 \right) = f'\left( {13} \right) + 61 > 0 \Rightarrow \) Loại đáp án D.
Chọn A.
Đáp án A:
\(\left( { - 1;0} \right)\)
Đáp án B:
\(\left( { - 6; - 3} \right)\)
Đáp án C:
\(\left( {3;6} \right)\)
Đáp án D:
\(\left( {6; + \infty } \right)\)
Câu hỏi 37
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = \left| {{x^3} - mx + 1} \right|\). Gọi \(S\) là tập tất cả các số tự nhiên \(m\) sao cho hàm số đồng biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\). Tìm số phần tử của \(S.\)
Lời giải chi tiết :
Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - mx + 1,\,\,\,f'\left( x \right) = 3{x^2} - m\)
Nhận xét: Đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {{x^3} - mx + 1} \right|\) được dựng từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) bằng cách giữ lại phần đồ thị phía trên trục Ox và lấy đối xứng phần phía dưới Ox qua Ox (xóa bỏ phần đồ thị của \(y = f\left( x \right)\) nằm phía dưới Ox).
TH1: Với \(m = 0\) ta có: Hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} + 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Có \(f\left( 1 \right) = 2 > 0\)\( \Rightarrow \)Hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {{x^3} - mx + 1} \right|\) đồng biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\)
\( \Rightarrow m = 0\): thỏa mãn.
TH2: Với \(m > 0\) ta có:
\(f'\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\)
Để hàm số \(y = \left| {{x^3} - mx + 1} \right|\) đồng biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\{x_1} < {x_2} \le 1\\f\left( 1 \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\frac{{ - m}}{3} + 1 \ge 0\\2 - m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m \le 2\)
Mà \(m \notin \mathbb{N} \Rightarrow m \in \left\{ {1;2} \right\}\)
Vậy, \(S = \left\{ {0;\;1;\;2} \right\}\). Số phần tử của S là 3.
Chọn: A
Đáp án A:
3
Đáp án B:
10
Đáp án C:
1
Đáp án D:
9
Câu hỏi 38
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\left| {\dfrac{{3\sin x - \cos x - 1}}{{2\cos x - \sin x + 4}}} \right|} \right) = f\left( {{m^2} + 4m + 4} \right)\) có nghiệm?
Phương pháp giải :
+ Đặt \(\dfrac{{3\sin x - \cos x - 1}}{{2\cos x - \sin x + 4}} = t\), biến đổi đưa về dạng \(a\sin x + b\cos x = c\), phương trình này có nghiệm khi \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\) từ đó ta tìm ra được điều kiện của \(t.\)
+ Dựa vào đồ thị hàm số để xác định điều kiện nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = f\left( {\left| t \right|} \right)\)
Từ đó suy ra điều kiện có nghiệm của phương trình đã cho.
Chú ý rằng nếu hàm \(f\left( t \right)\) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên \(\left( {a;b} \right)\) thì phương trình \(f\left( u \right) = f\left( v \right)\) nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất trên \(\left( {a;b} \right) \Leftrightarrow u = v.\)
Lời giải chi tiết :
Vì \( - 1 \le \sin x \le 1; - 1 \le \cos x \le 1\) nên \(2\cos x - \sin x > - 3 \Rightarrow 2\cos x - \sin x + 4 > 0\)
Đặt \(\dfrac{{3\sin x - \cos x - 1}}{{2\cos x - \sin x + 4}} = t \Leftrightarrow 3\sin x - \cos x - 1 = t\left( {2\cos x - \sin x + 4} \right)\)
\( \Leftrightarrow \cos x\left( {2t + 1} \right) - \sin x\left( {t + 3} \right) = - 4t - 1\)
Phương trình trên có nghiệm khi \({\left( {2t + 1} \right)^2} + {\left( {t + 3} \right)^2} \ge {\left( { - 4t - 1} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 5{t^2} + 10t + 10 \ge 16{t^2} + 8t + 1\) \( \Leftrightarrow 11{t^2} - 2t - 9 \le 0 \Leftrightarrow - \dfrac{9}{{11}} \le t \le 1 \Rightarrow 0 \le \left| t \right| \le 1\)
Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0;1} \right)\)
Nên phương trình \(f\left( x \right) = f\left( {\left| t \right|} \right)\) với \(t \in \left[ {0;1} \right]\) có nghiệm duy nhất khi \(x = \left| t \right| \Rightarrow x \ge 0\)
Do đó phương trình \(f\left( {\left| {\dfrac{{3\sin x - \cos x - 1}}{{2\cos x - \sin x + 4}}} \right|} \right) = f\left( {{m^2} + m + 4} \right)\) có nghiệm
\( \Leftrightarrow \left| t \right| = {m^2} + 4m + 4\) có nghiệm với \(0 \le \left| t \right| \le 1\)
\( \Leftrightarrow 0 \le {m^2} + 4m + 4 \le 1 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} \le 1 \Leftrightarrow - 3 \le m \le - 1\)
Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1} \right\}\). Vậy có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu.
Chọn D.
Đáp án A:
\(4\).
Đáp án B:
\(5\).
Đáp án C:
Vô số.
Đáp án D:
\(3\).
Câu hỏi 39
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = {\left( {x + a} \right)^3} + {\left( {x + b} \right)^3} - {x^3}\) với \(a,b\) là các số thực . Khi hàm số đồng biến trên \(R\) , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = 4\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - \left( {a + b} \right) - ab\)
Phương pháp giải :
- Tính \(y'\).
- Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow y' \ge 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\)
- Biến đổi \(A\) về làm xuất hiện hằng đẳng thức và đánh giá GTNN.
Lời giải chi tiết :
TXĐ \(D = \mathbb{R}.\)
Ta có \(y' = 3{\left( {x + a} \right)^2} + 3{\left( {x + b} \right)^2} - 3{x^2} = 3\left( {{x^2} + 2\left( {a + b} \right)x + {a^2} + {b^2}} \right)\)
Để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow y' \ge 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {a + b} \right)x + {a^2} + {b^2} \ge 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \Delta ' = 2ab \le 0 \Leftrightarrow ab \le 0\)
Khi đó \(A = 4{\left( {a + b} \right)^2} - \left( {a + b} \right) - 9ab = {\left( {2\left( {a + b} \right) - \dfrac{1}{4}} \right)^2} - 9ab - \dfrac{1}{{16}} \ge - \dfrac{1}{{16}},\,\,\forall ab \le 0\).
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}2\left( {a + b} \right) - \dfrac{1}{4} = 0\\ab = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{8},b = 0\\a = 0,b = \dfrac{1}{8}\end{array} \right.\). Vậy \(MinA = - \dfrac{1}{{16}}\)
Chọn B.
Đáp án A:
\(MinA = - 2\)
Đáp án B:
\(MinA = - \dfrac{1}{{16}}\)
Đáp án C:
\(MinA = - \dfrac{1}{4}\)
Đáp án D:
\(MinA = 0\)
Câu hỏi 40
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\), hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số \(g\left( x \right) = f\left( { - x - {x^2}} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Phương pháp giải :
- Tính \(g'\left( x \right)\).
- Xét dấu \(g'\left( x \right)\) trong từng khoảng đưa ra ở mỗi đáp án và kết luận.
Lời giải chi tiết :
Ta có: \(g\left( x \right) = f\left( { - x - {x^2}} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = - \left( {2x + 1} \right)f'\left( { - x - {x^2}} \right)\).
Đáp án A: Trong khoảng \(\left( { - 2; - 1} \right)\) ta có:
+) \( - \left( {2x + 1} \right) > 0\)
+) \( - 2 < - x - {x^2} < 0\) nên \(f'\left( { - x - {x^2}} \right) > 0\)
Do đó \(g'\left( x \right) > 0\) hay hàm số \(y = g\left( x \right)\) đồng biến trong khoảng này. Loại A.
Đáp án B: Trong khoảng \(\left( {1;2} \right)\) ta có:
+) \( - \left( {2x + 1} \right) < 0\)
+) \( - 6 < - x - {x^2} < - 2\) nên \(f'\left( { - x - {x^2}} \right) > 0\).
Do đó \(g'\left( x \right) < 0\) hay hàm số \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trong khoảng này.
Chọn B.
Đáp án A:
\(\left( { - 2; - 1} \right)\)
Đáp án B:
\(\left( {1;2} \right)\)
Đáp án C:
\(\left( { - 1;0} \right)\)
Đáp án D:
\(\left( { - \frac{1}{2};0} \right)\)