45 bài tập trắc nghiệm tương giao đồ thị hàm số mức độ nhận biết, thông hiểu

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\({x^3} + 3{x^2} + 3x - 2 = 2\)\( \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 3x - 4 = 0\).

Sử dụng MTCT giải phương trình bậc ba, ta thấy phương trình trên có nghiệm duy nhất nên số giao điểm của hai đồ thị hàm số là 1.

Chọn A.

Số nghiệm của phương trình  \(f\left( x \right) = 1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 1.\)

Ta có đồ thị hàm số.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y = 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 3 điểm phân biệt.

\( \Rightarrow \) Phương trình \(f\left( x \right) = 1\) có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn B.

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 2020\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 2020\) song song với trục hoành.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y = 2020\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 1 điểm duy nhất.

Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 2020\) có 1 nghiệm duy nhất.

Chọn B.

Ta có: \(f\left( x \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) =  - 1\).

\( \Rightarrow \) Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(x =  - 1\).

Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Chọn A.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đã cho làm hàm số bậc ba, có nét cuối đi lên \( \Rightarrow a > 0\)

\( \Rightarrow \) loại đáp án A, B.

Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị \( \Rightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt.

+) Xét đáp án C: \(y = {x^3} - 3x + 1\) \( \Rightarrow y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Hàm số đã cho có hai điểm cực trị.

+) Xét đáp án D: \(y = {x^3} + 3x + 1\) \( \Rightarrow y' = 3{x^2} + 3 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \) hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Vậy chỉ có đáp án C đúng.

Chọn C.

Ta có : \(7f\left( x \right) - 5 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{5}{7}\)

Đường thẳng \(y = \dfrac{5}{7}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 2 điểm phân biệt nên phương trình \(7f\left( x \right) - 5 = 0\) có hai nghiệm phân biệt trên \(\left[ { - 1;3} \right]\)

Chọn A.

Gọi \(M\left( {0;\,\,{y_0}} \right)\) là điểm mà đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x - 3\) cắt trục tung.

\( \Rightarrow {y_0} = 0 - 3.0 - 3 =  - 3 \Rightarrow M\left( {0; - 3} \right).\)

Chọn  D.

Đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số tại \(3\) điểm phân biệt \( \Leftrightarrow  - 4 < m < 2\).

Do \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1} \right\}\).

Vậy tổng các giá trị trên là \(\left( { - 3} \right) + \left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right) + 0 + 1 =  - 5\).

Chọn D.

Số nghiệm của phương trình \(2f\left( x \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) =  - \dfrac{3}{2}\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y =  - \dfrac{3}{2}.\)

Ta có đồ thị hàm số:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y =  - \dfrac{3}{2}\) cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt.

\( \Rightarrow \) Phương trình \(2f\left( x \right) + 3 = 0\) có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn A.

Số nghiệm của phương trìn \(f\left( x \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 1.\)

Ta có đồ thị hàm số:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y = 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 3 điểm phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn A.

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) =  - 0,5\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y =  - 0,5.\)

Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng \(y =  - 0,5\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 3 điểm phân biệt.

\( \Rightarrow \) Phương trình \(f\left( x \right) =  - 0,5\) có \(3\) nghiệm phân biệt.

Chọn B.

Ta có \(\left| {f\left( x \right)} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 2\\f\left( x \right) =  - 2\end{array} \right.\)

Với \(f\left( x \right) = 2\) thì đường thẳng \(y = 2\) cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt.

Với \(f\left( x \right) =  - 2\) thì đường thẳng \(y =  - 2\) cắt đồ thị hàm số tại 2 điẻm phân biệt.

Vậy tổng có tất cả 4 nghiệm phân biệt.

Chọn B.

Số nghiệm của phương trình \(2f\left( x \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{3}{2}\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = \frac{3}{2}\)

Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng \(y = \frac{3}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 3 điểm phân biệt

\( \Rightarrow \) Phương trình \(2f\left( x \right) - 3 = 0\) có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn A.

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(d:\,\,\,\,y = mx + m + 3\)  và đồ thị hàm số \(\left( C \right):\,\,\,y = {x^3} - 3x + 1\) là: \({x^3} - 3x + 1 = mx + m + 3\) \( \Leftrightarrow {x^3} - \left( {m + 3} \right)x - m - 2 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - {x^2} - x - \left( {m + 2} \right)x - m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 1} \right) - x\left( {x + 1} \right) - \left( {m + 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x - m - 2} \right) = 0\,\,\,\,\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\{x^2} - x - m - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\g\left( x \right) = {x^2} - x - m - 2 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Số giao điểm của đường thẳng \(d:\,\,\,\,y = mx + m + 3\)  và đồ thị hàm số \(\left( C \right):\,\,\,y = {x^3} - 3x + 1\) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (*) của hai đồ thị.

\( \Rightarrow \left( * \right)\) có ba nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \ne  - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\g\left( { - 1} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + 4\left( {m + 2} \right) > 0\\{\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right) - m - 2 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + 4m + 8 > 0\\1 + 1 - m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m + 9 > 0\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - \dfrac{9}{4}\\m \ne 0\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Có vô số giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Chọn A.

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) =  - 1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y =  - 1.\)

Dựa vào BBT, ta thấy đường thẳng \(y =  - 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 4 điểm phân biệt.

Chọn D.

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 2\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)  và đường thẳng \(y = 2.\)

Ta có đồ thị hàm số:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y = 2\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 4 điểm phân biệt.

\( \Rightarrow f\left( x \right) = 2\) có 4 nghiệm phân biệt.

Chọn B.

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = m\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m\). Dựa vào BBT, phương trình \(f\left( x \right) = m\) có 3 nghiệm thực phân biệt khi \(m \in \left( {1;3} \right)\). Chọn A.

Ta có: \({f^2}\left( x \right) + 3f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\,\,\,\,\,(1)\\f\left( x \right) =  - 3\,\,(2)\end{array} \right.\)

Trong đó, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt, và các nghiệm của hai phương trình là phân biệt nhau.

Vậy phương trình đã cho có tất cả  5 nghiệm.

Chọn A.

Ta có: \(2f\left( x \right) + 3m - 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{3 - 3m}}{2}\) (*)

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = \dfrac{{3 - 3m}}{2}\). Để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì \( - 1 < \dfrac{{3 - 3m}}{2} < 3 \Leftrightarrow  - 2 < 3 - 3m < 6\)\( \Leftrightarrow  - 5 <  - 3m < 3 \Leftrightarrow  - 1 < m < \dfrac{5}{3}\).

Chọn A.

TXĐ : \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y = 4x + 1\) và đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 2}}\) là:

\(\begin{array}{l}4x + 1 = \dfrac{{x - 2}}{{x + 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ \Leftrightarrow \left( {4x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) = x - 2\\ \Leftrightarrow 4{x^2} + 9x + 2 = x - 2\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{x^2} + 8x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow 4{\left( {x + 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow x =  - 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Suy ra phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất hay đường thẳng \(y = 4x + 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 2}}\) tại 1 điểm duy nhất.

Chọn B.