55 bài tập phương trình mặt phẳng mức độ thông hiểu

Vì \(M'\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên mp\(\left( \alpha  \right)\) nên \(M'M \bot \left( \alpha  \right)\)

Do đó, \(\overrightarrow {MM'} \) là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right).\)

Suy ra mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có một vecto pháp tuyến là : \(\overrightarrow {MM'}  = \left( {4;2;6} \right).\)

Vậy mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cũng có một vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {MM'}  = \left( {2;1;3} \right).\)  

Chọn C.

Ta có \(A\left( { - 2;3; - 1} \right);\,\,B\left( {1; - 2; - 3} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 5; - 2} \right).\)

Mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 2y + z + 9 = 0\) có 1 vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {3; - 2;1} \right)\).

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 9; - 9;9} \right)\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left( \alpha  \right)\\\left( \alpha  \right) \bot \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_\alpha }}  \bot \overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {{n_\alpha }}  \bot \overrightarrow {{n_P}} \end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( \alpha  \right)\) nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 9; - 9;9} \right)\) là 1 VTPT \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} \left( {1;1; - 1} \right)\) cũng là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là: \(1\left( {x + 2} \right) + 1\left( {y - 3} \right) - 1\left( {z + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + y - z - 2 = 0.\)

Chọn A.

Ta có: \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.1 - 2 + 2.\left( { - 1} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 1 = d\).

\( \Rightarrow \) Bán kính của mặt cầu là \(R = \sqrt {{r^2} + {d^2}}  = \sqrt {8 + 1}  = 3\).

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9.\)

Chọn B.

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

Ta có \(A\left( {1;1;1} \right),B\left( { - 1;0;3} \right),C\left( {6;8; - 10} \right)\) nên \(G\left( {2;3; - 2} \right)\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( {2;0;0} \right)\\N\left( {0;3;0} \right)\\K\left( {0;0; - 2} \right)\end{array} \right.\)

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( {MNK} \right)\) là: \(\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{{ - 2}} = 1.\)

Chọn B.

Gọi \(I\)  là trung điểm của \(AB\) ta có \(I\left( {\dfrac{1}{2}; - 1; - \dfrac{1}{2}} \right).\)

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng trung trực của \(AB\). Khi đó \(\left( P \right)\) đi qua trung điểm \(I\left( {\dfrac{1}{2}; - 1; - \dfrac{1}{2}} \right)\) của \(AB\) và có 1 vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {BA}  = \left( {3;4;9} \right).\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:

\(3\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right) + 4\left( {y + 1} \right) + 9\left( {z + \dfrac{1}{2}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + 4y + 9z + 7 = 0\)

Chọn A.

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 6;3;1} \right)\),\(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {3;1;1} \right)\).

Do mặt phẳng\(\left( P \right)\) qua \(A\), \(B\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\)nên \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right]\)\( = \left( {2;9; - 15} \right)\).

Suy ra phương trình mặt phẳng\(\left( P \right)\) là: \(2\left( {x - 3} \right) + 9\left( {y - 2} \right) - 15\left( {z - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 2x + 9y - 15z - 9 = 0\).

\( \Rightarrow a = 2,\,\,b = 9,\,\,c =  - 15\).

Vậy \(S = a + b + c\)\( = 2 + 9 - 15\)\( =  - 4\).

Chọn C.

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2; - 1;2} \right)\).

Ta có: \(A\left( {1;0; - 2} \right);B\left( { - 1; - 1;3} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 1;5} \right).\)

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {AB} } \right] = \left( { - 3; - 14; - 4} \right).\).

Gọi \(\overrightarrow {{n_Q}} \) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( Q \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left( Q \right)\\\left( Q \right) \bot \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 3; - 14; - 4} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( Q \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là:

\( - 3\left( {x - 1} \right) - 14\left( {y - 0} \right) - 4\left( {z + 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 3x + 14y + 4z + 5 = 0\)

Chọn D.

Hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):\,\,x + 2y - z - 1 = 0\) và \(\left( \beta  \right):\,\,2x + 4y - mz - 2 = 0\) song song với nhau khi và chỉ khi

\(\dfrac{2}{1} = \dfrac{4}{2} = \dfrac{{ - m}}{{ - 1}} \ne \dfrac{{ - 2}}{{ - 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\m \ne  - 2\end{array} \right. \Rightarrow \) Hệ phương trình vô nghiệm.

Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.

Trong không gian \(Oxyz\), điểm đối xứng với điểm \(M\left( {2; - 2;1} \right)\) qua mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) có tọa độ là: \(\left( { - 2; - 2;1} \right)\).

Chọn B.

Vì \(\overrightarrow {AB}  = 3\overrightarrow {AM}  \Rightarrow A;\,\,B\) nằm hai phía của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\dfrac{{AM}}{{BM}} = \dfrac{1}{2}\).

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B lên (P). Khi đó ta có AH // BK. Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{AM}}{{BM}} = \dfrac{{AH}}{{BK}} = \dfrac{{d\left( {A;\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( P \right)} \right)}} = \dfrac{1}{2}\).

Mà \(d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {3.2 + 4.4 - 12\left( { - 1} \right) + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = 3\).

Vậy \(d\left( {B;\left( P \right)} \right) = 2d\left( {A;\left( P \right)} \right) = 6.\)

Chọn C.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OA \subset \left( P \right)\\Ox \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right]\) là 1 VTPT của (P).

\(\overrightarrow {OA}  = \left( {2;1;5} \right),\,\,\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right] = \left( {0;5; - 1} \right)\).

Vì \(\overrightarrow n \left( {a;b;c} \right)\) cũng là 1 VTPT của (P), ta chọn \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right] = \left( {0;5; - 1} \right)\) \( \Rightarrow a = 0,\,\,b = 5,\,\,c =  - 1\).

Vậy \(k = \dfrac{b}{c} = \dfrac{5}{{ - 1}} =  - 5\).

Chọn A.

Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm \(E\left( {1;0;0} \right),\) \(N\left( {0;1;0} \right),\)\(M\left( {0;0; - 1} \right)\) là \(\dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{1} + \dfrac{z}{{ - 1}} = 1\)\( \Leftrightarrow x + y - z - 1 = 0.\)

Chọn C.

Mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 4y - 2z + 2 = 0\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;4; - 2} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( Q \right):x + 2y - z = 0\) có vecto pháp tuyến\(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;2; - 1} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( R \right):x + 2y + z + 3 = 0\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_3}}  = \left( {1;2;1} \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} \parallel \overrightarrow {{n_2}}  \Rightarrow \left( P \right)\parallel \left( Q \right)\)

Và \(\overrightarrow {{n_2}} .\overrightarrow {{n_3}}  \ne \overrightarrow 0  \Rightarrow \left( Q \right);\left( R \right)\) cắt nhau.

Chọn D.

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {MN} \) và đi qua trung điểm của MN.

Ta có \(M\left( { - 3;0;3} \right),N\left( {3;0; - 3} \right)\) có trung điểm \(I\left( {0;0;0} \right)\)

Và \(\overrightarrow {MN}  = \left( {6;0; - 6} \right)\) hay \(\left( {1;0; - 1} \right)\)

Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là \(\left( {1;0; - 1} \right)\) và đi qua \(I\left( {0;0;0} \right)\) có phương trình là \(x - z = 0\)

Chọn C.

Mặt cầu \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 12\) có tâm \(I\left( {1; - 2;0} \right)\).

Mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng (Oxz) nên có 1 VTPT là \(\overrightarrow j  = \left( {0;1;0} \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: \(1\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow y + 2 = 0.\)

Chọn A.

Ta có: \(d\left( {M;\,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.2 - 2.4 + 5} \right|}}{{\sqrt {1 + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{2}{3}.\)

Chọn D.

Ta có: \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {2; - 5;\,\,1} \right).\)

Mặt phẳng cần tìm đi qua \(M\left( {2; - 1;\,\,3} \right)\) và song song với \(\left( \alpha  \right):\,\,\,2x - 5y + z - 1 = 0\) có phương trình:

\(2\left( {x - 2} \right) - 5\left( {y + 1} \right) + z - 3 = 0\) \( \Leftrightarrow 2x - 5y + z - 12 = 0.\)

Chọn A.

Gọi mặt phẳng trung trực của AB là mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Gọi I là trung điểm của AB \( \Rightarrow I\left( {2;0;1} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 2;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {1;1; - 1} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( P \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(1\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 0} \right) - 1\left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + y - z - 1 = 0\).

Chọn B.

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) ta có \(I\left( {2;1;2} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 2;0} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow n  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 1;0} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng trung trực của \(AB\).

Vậy phương trình mặt phẳng trung trực của \(AB\) là:

\(1\left( {x - 2} \right) - 1\left( {y - 1} \right) + 0\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y - 1 = 0\).

Chọn B.

Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng cần tìm.

Vì \(\left( Q \right)\parallel \left( P \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có dạng: \(\left( Q \right):\,\,x - 2y + z + d = 0\,\,\left( {d \ne 3} \right)\).

Theo bài ra ta có: \(M\left( {1;2;3} \right) \in \left( Q \right)\).

\( \Rightarrow 1 - 2.2 + 3 + d = 0 \Leftrightarrow d = 0\) (thỏa mãn).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) cần tìm là: \(x - 2y + z = 0\).

Chọn C.

Ta có: \(A\left( {1;\,\,2;\,\,3} \right)\) và \(B\left( {3;\,\,4;\,\,7} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {2;\,\,2;\,\,4} \right) = 2\left( {1;\,\,1;\,\,2} \right)\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow I\left( {2;\,\,3;\,\,5} \right)\)

Mặt phẳng trung trực \(\left( \alpha  \right)\)  của đoạn thẳng \(AB\)   đi qua trung điểm \(I\) của \(AB\)  và nhận \(\overrightarrow {AB} \) làm VTPT

\( \Rightarrow \left( \alpha  \right):\,\,\,x - 2 + y - 3 + 2\left( {z - 5} \right)\) \( \Leftrightarrow x + y + 2z - 15 = 0\)

Chọn A.

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 4;\,\,4} \right) = 2\left( {1; - 2;\,\,2} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\)  cần tìm vuông góc với \(AB\) \( \Rightarrow \) nhận vecto \(\left( {1;\, - 2;\,\,2} \right)\) làm VTPT.

\( \Rightarrow \left( P \right)\) đi qua \(A\left( {1;\,\,3; - 1} \right)\) và vuông góc với \(AB\) có phương trình:

\(x - 1 - 2\left( {y - 3} \right) + 2\left( {z + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x - 2y + 2z + 7 = 0.\) 

Chọn D.

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 2;\,\,2} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\)  cần tìm vuông góc với \(AB\) \( \Rightarrow \) nhận vecto \(\left( {1;\, - 2;\,\,2} \right)\) làm VTPT.

\( \Rightarrow \left( P \right)\) đi qua \(A\left( {1;\,\,2;\,\,3} \right)\) và vuông góc với \(AB\) có phương trình:

\(x - 1 - 2\left( {y - 2} \right) + 2\left( {z - 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x - 2y + 2z - 3 = 0.\) 

Chọn D.

Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 2x\), \(x =  - 3\), \(x =  - 2\) và trục hoành là: \(S = \int\limits_{ - 3}^{ - 2} {\left| {2x} \right|dx} \).

Trên khoảng \(\left( { - 3; - 2} \right)\) ta có \(\left| {2x} \right| =  - 2x\), do đó \(S = \int\limits_{ - 3}^{ - 2} { - 2xdx}  = \int\limits_{ - 2}^{ - 3} {2xdx} \).

Chọn A.

Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 4;4; - 2} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC.

Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC nhận \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 4;4; - 2} \right)\) là VTPT, có phương trình là:

\( - 4\left( {x - 1} \right) + 4\left( {y - 1} \right) - 2\left( {z + 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow  - 4x + 4y - 2z - 4 = 0\) \( \Leftrightarrow 2x - 2y + z + 2 = 0\)

Chọn B.