55 bài tập trắc nghiệm hệ tọa độ trong không gian mức độ thông hiểu

Ta có \({{\left| \vec{u}+\vec{v} \right|}^{2}}={{\left( \vec{u}+\vec{v} \right)}^{2}}={{\left| {\vec{u}} \right|}^{2}}+2\vec{u}.\vec{v}+{{\left| {\vec{v}} \right|}^{2}}\) mà \(\vec{u}.\vec{v}=\left| {\vec{u}} \right|.\left| {\vec{u}} \right|.\cos \left( \vec{u};\vec{v} \right)=2.5.\cos {{120}^{0}}=-\,5.\)

Vậy \({{\left| \vec{u}+\vec{v} \right|}^{2}}={{2}^{2}}+2.\left( -\,5 \right)+{{5}^{2}}=19\,\,\xrightarrow{{}}\,\,\left| \vec{u}+\vec{v} \right|=\sqrt{19}.\)

Chọn A

Ta có 

\(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AC} = \left( {0; - \,2;0} \right)\\
\overrightarrow {AD} = \left( {1; - \,1; - \,2} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&0\\
{ - 1}&{ - 2}
\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&0\\
{ - 2}&1
\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&{ - 2}\\
1&{ - 1}
\end{array}} \right|} \right) = \left( {4;0;  2} \right)\)

Có \(\overrightarrow{AB}=\left( -1;\ -2;\ -3 \right).\)

\(\Rightarrow \,\,\overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD} \right)=-1.4-2.0+2.\left( -3 \right)=-10.\)

Vậy thể tích tứ diện \(ABCD\) là \(V=\frac{1}{6}\left| \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD} \right) \right|=\frac{1}{6}.10=\frac{5}{3}.\)

Chọn A

Gọi \(M\left( {0;m;0} \right) \in Oy\) ta có \(M{A^2} = {2^2} + {\left( {m - 1} \right)^2};\,\,M{B^2} = {\left( {m - 4} \right)^2} + {5^2}\)

Điểm M cách đều hai điểm A, B \( \Leftrightarrow MA = MB \Leftrightarrow M{A^2} = M{B^2} \Leftrightarrow 4 + {\left( {m - 1} \right)^2} = {\left( {m - 4} \right)^2} + 25\)

\( \Leftrightarrow 4 + {m^2} - 2m + 1 = {m^2} - 8m + 16 + 25 \Leftrightarrow 6m = 36 \Leftrightarrow m = 6\).

Vậy \(M\left( {0;6;0} \right)\).

Chọn B.

\(\overrightarrow {AB} \left( {1; - 1;2} \right),\,\,\overrightarrow {AC} \left( {1;2; - 1} \right)\)

 \( \Rightarrow \cos \left( {\widehat {AB;AC}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + \left( { - 1} \right).2 + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}} \sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\widehat {AB;AC}} \right) = {60^0}\)

Chọn: A

\(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \) cùng hướng \( \Leftrightarrow \exists k \ne 0\) sao cho \(\overrightarrow a  = k\overrightarrow b \).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = k.1\\m - 1 = 3k\\3 =  - 2nk\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 2\\m - 1 = 6\\3 =  - 4n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 2\\m = 7\\n = \dfrac{{ - 3}}{4}\end{array} \right.\)

Chọn A.

M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD; G là trung điểm của MN

\( \Rightarrow G\) là trọng tâm tứ diện ABCD

\( \Rightarrow G\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4};\dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4};\dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}} \right) \Rightarrow G\left( {1;2;0} \right)\).

Chọn: B

Ta có:

\(\overrightarrow {MN}  = \left( {2;10; - 14} \right);\,\,\overrightarrow {MF}  = \left( { - 1; - 5;7} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN}  =  - 2\overrightarrow {MF} \).

Vậy \(M,N,F\) thẳng hàng.

Chọn D.

Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OM}  = \left( {a;b;c} \right)\\\overrightarrow {OA}  = \left( {1; - 2; - 2} \right)\\\overrightarrow {OB}  = \left( {2;2;1} \right)\end{array} \right.\)

\(\cos \left( {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {OA} } \right) = \frac{{a - 2b - 2c}}{{3\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }};\,\,\cos \left( {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {OB} } \right) = \frac{{2a + 2b + c}}{{3\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Theo bài ra ta có : \(\left( {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {OA} } \right) = \left( {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {OB} } \right) \Leftrightarrow a - 2b - 2c = 2a + 2b + c \Leftrightarrow a + 4b + 3c = 0\).

Vậy tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn yêu cầu bài toán thuộc mặt phẳng \(x + 4y + 3z = 0\).

Chọn A.

Dựa vào đề bài, ta có \(AB = \left| a \right|;\,\,AD = 2\left| a \right|;\,\,AA' = 2\left| a \right|.\)

\(AC' = \sqrt {A{B^2} + A{D^2} + AA{'^2}}  = \sqrt {{a^2} + 4{a^2} + 4{a^2}}  = 3\left| a \right|.\)

Chọn C.

Ta có \(\overrightarrow u  = \overrightarrow i \sqrt 3  + \overrightarrow k \)\( \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( {\sqrt 3 ;0;1} \right)\) và \(\overrightarrow v  = \overrightarrow j \sqrt 3  + \overrightarrow k \)\( \Rightarrow \overrightarrow v  = \left( {0;\sqrt 3 ;1} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = \sqrt 3 .0 + 0.\sqrt 3  + 1.1 = 1\).

Chọn B.

Giả sử \(\overrightarrow u  = m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  + t\overrightarrow c ,\,\,\left( {m,n,t \in \mathbb{R}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - n + 4t =  - 2\\ - 2m + n = \dfrac{1}{2}\\2n + 6t = \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{1}{2}\\n = \dfrac{3}{2}\\t =  - \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow u  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow a  + \dfrac{3}{2}\overrightarrow b  - \dfrac{1}{4}\overrightarrow c \).

Chọn: A

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;0;4} \right),\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {5; - 2;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \left( {1; - 1;4} \right)\\ \Rightarrow AM = \sqrt {1 + 1 + 16}  = 3\sqrt 2 \end{array}\).

Chọn: B

Gọi \(M\left( {a;\,\,b;\,\,c} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  = \left( {1 - a;\,\,3 - b; - 1 - c} \right)\\\overrightarrow {MB}  = \left( {3 - a;\, - 1 - b;\,\,5 - c} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {MA}  = 3\overrightarrow {MB}  \Leftrightarrow \left( {1 - a;\,\,3 - b; - 1 - c} \right) = 3\left( {3 - a; - 1 - b;\,\,5 - c} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 9 - 3a\\3 - b =  - 3 - 3b\\ - 1 - c = 15 - 3c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b =  - 3\\c = 8\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {4; - 3;\,\,8} \right).\end{array}\)

Chọn  D.

Ta có: \(\overrightarrow c  = \left( {1;\,\,1;\,\,1} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}}  = \sqrt 3  \Rightarrow \) đáp án A đúng.

\(\overrightarrow a  = \left( { - 1;\,\,1;\,\,0} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt 2  \Rightarrow \) đáp án B đúng.

\(\overrightarrow b .\overrightarrow c  = \left( {1;\,\,1;\,\,0} \right).\left( {1;\,\,1;\,\,1} \right) = 1.1 + 1.1 + 0.1 = 2 \ne 0 \Rightarrow \overrightarrow b \) không vuông góc với \(\overrightarrow c  \Rightarrow \) đáp án C sai.

Chọn  C.

Theo đề bài ta có: \(\overrightarrow b  - \overrightarrow a  + 2\overrightarrow c  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow b  = \overrightarrow a  - 2\overrightarrow c \)

\(\overrightarrow b  = \left( {3;\,\,0;\,\,1} \right) - 2\left( {1;\,\,1;\,\,0} \right)\)\( = \left( {3 - 2;\,\,0 - 2.1;\,\,1 - 2.0} \right) = \left( {1;\, - 2;\,\,1} \right).\)

Chọn  D.

Ta có: hai vecto \(\overrightarrow a  = \left( {m;\,\,2;\,\,3} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {1;\,\,n;\,\,2} \right)\) cùng phương \( \Leftrightarrow \overrightarrow a  = k\overrightarrow b \,\,\left( {k \ne 0} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {m;\,\,2;\,\,3} \right) = k\left( {1;\,\,n;\,\,2} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = k\\2 = kn\\3 = 2k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \dfrac{3}{2}\\m = \dfrac{3}{2}\\n = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\\ \Rightarrow 2m + 3n = 2.\dfrac{3}{2} + 3.\dfrac{4}{3} = 7.\end{array}\)

Chọn  D.

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \dfrac{{1 + 3 + 2}}{3} = 2\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \dfrac{{2 + 4 + 3}}{3} = 3\\{z_G} = \dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \dfrac{{5 + 1 - 3}}{3} = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow G\left( {2;3;1} \right).\) 

Do \(M\) là điểm nằm trên \(mp\left( {Oxz} \right)\) và \(MG\) ngắn nhất nên \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(G\) lên \(\left( {Oxz} \right).\)

Do đó, \(M\left( {2;0;1} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {MG} \left( {0;3;0} \right) \Rightarrow MG = \sqrt {{0^2} + {3^2} + {0^2}}  = 3.\)

Vậy .. có độ dài ngắn nhất bằng \(3\).

Chọn B.

Ta có \(\overrightarrow m  = \left( {4;3;1} \right);\,\,\overrightarrow n  = \left( {0;0;1} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow m ;\overrightarrow n } \right] = \left( {3; - 4;0} \right).\)

Mà \(\overrightarrow p ;\left[ {\overrightarrow m ;\overrightarrow n } \right]\) cùng hường nên \(\overrightarrow p  = \left( {3k; - 4k;0} \right);\left( {k > 0} \right)\)

Theo bài ra ta có: \(\left| {\overrightarrow p } \right| = 15\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {{{\left( {3k} \right)}^2} + {{\left( {4k} \right)}^2}}  = 15\\ \Leftrightarrow \sqrt {25{k^2}}  = 15\\ \Leftrightarrow 5k = 15\,\,\left( {Do\,\,k > 0} \right)\\ \Leftrightarrow k = 3\end{array}\)

Vậy \(\overrightarrow p  = \left( {9; - 12;0} \right).\)

Chọn B.

Ta có:  \(\overrightarrow a  - \overrightarrow b  = \left( {0;6; - 7} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow a \left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right) = 2.0 + 7.6 - 3.\left( { - 7} \right) = 63\).

Chọn B.

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;3;0} \right);\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2;0;4} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {12;8;6} \right)\).

Vậy \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \dfrac{1}{2}.\sqrt {{{12}^2} + {8^2} + {6^2}}  = \sqrt {61} \).

Chọn D.

Gọi \(B'\left( {a;b;c} \right)\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a = B'C' = OA = 6\\b = B'A' = OC = 8\\c = B'B = OO' = 5\end{array} \right. \Rightarrow B'\left( {6;8;5} \right)\)

Chọn D.

Gọi \(Q\left( {a;b;c} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \left( {1;3; - 7} \right)\), \(\overrightarrow {QP}  = \left( {1 - a; - 1 - b;2 - c} \right)\).

Vì MNPQ là hình bình hành nên \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {QP} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 1\\ - 1 - b = 3\\2 - c =  - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b =  - 4\\c = 9\end{array} \right.\).

Vậy Q(0;-4;9).

Chọn C.

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right] = \left( {0;7;0} \right)\).

Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có vectơ \(\vec w = \left( {0; - 1;0} \right)\)cùng phương với \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right]\).

Vậy \(\vec w = \left( {0; - 1;0} \right)\) vuông góc với cả hai véctơ \(\vec u = \left( { - 1;0;2} \right),\) \(\vec v = \left( {4;0; - 1} \right)\).

Chọn D.

Gọi \(C\left( {{x_C};\,\,{y_C};\,\,{z_C}} \right).\) Khi đó ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - {x_A} - {x_B}\\{y_C} = 3{y_G} - {y_A} - {y_B}\\{z_C} = 3{z_G} - {z_A} - {z_B}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3.\left( { - 3} \right) - 1 - 2 =  - 12\\{y_C} = 3.1 - 0 - 3 = 0\\{z_C} = 3.4 - \left( { - 1} \right) - 5 = 8\end{array} \right.\) \( \Rightarrow C\left( { - 12;\,\,0;\,\,8} \right).\)

Chọn C.

Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = \dfrac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos {45^0} = \dfrac{{1.1 + 1.0 - 2.m}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {m^2}} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{1 - 2m}}{{\sqrt 6 .\sqrt {1 + {m^2}} }} \Leftrightarrow \sqrt {6\left( {1 + {m^2}} \right)}  = \sqrt 2 \left( {1 - 2m} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6\left( {1 + {m^2}} \right) = 2{\left( {1 - 2m} \right)^2}\\1 - 2m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 + 6{m^2} = 2\left( {1 - 4m + 4{m^2}} \right)\\m \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 + 6{m^2} = 2 - 8m + 8{m^2}\\m \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{m^2} - 8m - 4 = 0\\m \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2 \pm \sqrt 6 \\m \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2 - \sqrt 6 \end{array}\)

Chọn C.