Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc

Đề bài

Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Chứng minh rằng các mặt phẳng (ABC), (ACD), (ADB) cũng đôi một vuông góc với nhau.

Lời giải chi tiết

AB ⊥ AC, AB ⊥ AD nên AB ⊥ (ACD) (theo định lí trang 99)

\(\left\{ \begin{array}{l}
AB \bot \left( {ACD} \right)\\
AB \subset \left( {ABC} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left( {ABC} \right) \bot \left( {ACD} \right)\)

Đề bài

Cho biết mệnh đề nào sau đây là đúng ?

a) Hình hộp là hình lăng trụ đứng

b) Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng

c) Hình lăng trụ là hình hộp

d) Có hình lăng trụ không phải là hình hộp

Đề bài

Chứng minh rằng hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau

Lời giải chi tiết

Xét hình chóp đều \(S.{A_1}{A_2}...{A_n}\) có \(H\) là chân đường cao hạ từ \(S\) xuống \(\left( {{A_1}{A_2}...{A_n}} \right)\)

Khi đó \(H{A_1} = H{A_2} = ... = H{A_n}\) và \(SH \bot \left( {{A_1}{A_2}...{A_n}} \right)\) \( \Rightarrow SH \bot S{A_1},...SH \bot S{A_n}\).

Xét các tam giác vuông \(SH{A_{m - 1}}\) và \(SH{A_m}\) \(\left( {2 \le m \le n} \right)\) có:

\(SH\) chung

Đề bài

Cho ba mặt phẳng \((\alpha)\), \((\beta )\), \((\gamma )\), mệnh đề nào sau đây đúng?

a) Nếu \((\alpha)\bot(\beta)\) và \((\alpha) // (\gamma)\) thì \((\beta)\bot(\gamma)\)

b) Nếu \((\alpha)\bot(\beta)\) và \((\alpha) \bot (\gamma)\) thì \((\beta)//(\gamma)\)

Đề bài

Trong mặt phẳng \((\alpha)\) cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(B\). Một đoạn thẳng \(AD\) vuông góc với \((\alpha)\) tại \(A\). Chứng minh rằng:

a) \(\widehat {ABD}\) là góc giữa hai mặt phẳng \((ABC)\) và \((DBC)\);

b) Mặt phẳng \((ABD)\) vuông góc với mặt phẳng \((BCD)\);

c) \(HK//BC\) với \(H\) và \(K\) lần lượt là giao điểm của \(DB\) và \(DC\) với mặt phẳng \((P)\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(DB\).

Lời giải chi tiết

Đề bài

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Chứng minh rằng:

a) Mặt phẳng \((AB'C'D)\) vuông góc với mặt phẳng \((BCD'A')\);

b) Đường thẳng \(AC'\) vuông góc với mặt phẳng \((A'BD)\).

Đề bài

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a, BC = b, CC' = c\).

a) Chứng minh rằng mặt phẳng \((ADC'B')\) vuông góc với mặt phẳng \((ABB'A')\).

b) Tính độ dài đường chéo \(AC'\) theo \(a, b, c\).

Đề bài

Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC \) có \(SH\) là đường cao. Chứng minh \(SA ⊥ BC\) và \(SB ⊥ AC\).

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là một hình thoi tâm \(I\) cạnh \(a\) và có góc \(A\) bằng \(60^{0},\) cạnh \(SC=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\) và \(SC\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\).

a) Chứng minh mặt phẳng \((SBD)\) vuông góc với mặt phẳng \((SAC)\). 

b) Trong tam giác \(SCA\) kẻ \(IK\) vuông góc với \(SA\) tại \(K\). Hãy tính độ dài \(IK\)

c) Chứng minh \(\widehat{BKD}=90^{0}\) và từ đó suy ra mặt phẳng \((SAB)\) vuông góc với mặt phẳng \((SAD)\).