35 bài tập trắc nghiệm sự đồng biến nghịch biến của hàm số mức độ thông hiểu

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - 2{m^2} + 3m - 2\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} + 3\left( {2{m^2} - 3m + 2} \right) = 7{m^2} - 7m + 7 = 7\left( {{m^2} - m + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\, = 7\left( {{{\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}} \right) > 0\,\,\,\forall m\end{array}\)

Khi đó phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt. Suy ra hàm số không đơn điệu trên \(\mathbb{R}\).

Chọn C.

Ta có: \(y'=-5{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}\).

Hàm số nghịch biến thì \(y'\le 0\).

Nhập hàm y’ vào máy tính để thử với các giá trị tương ứng trong từng khoảng đáp án.

Thử với \(x=-1\) ta được \(y' =  - 2 < 0\) \( \Rightarrow \) hàm số nghịch biến.

Thử với \(x=1\) ta được \(y'=-2<0\) \(\Rightarrow \) hàm số nghịch biến.

\(\Rightarrow \) Loại đáp án B và D.

Thử với \(x=\frac{7}{10}\) ta được \(y'=\frac{539}{2000}>0\) \( \Rightarrow \) hàm số đồng biến

\(\Rightarrow \) loại đáp án C.

Chọn A.

Theo đề bài ta suy ra hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm nghịch biến trên R.

Phân tích từng đáp án ta có:

+) Đáp án A: Với \({x_1} < {x_2} < {x_3} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right) > f\left( {{x_3}} \right) \Rightarrow \dfrac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_3}} \right)}} > 0\) loại A.

+) Đáp án B: Với \({x_1} > {x_2} > {x_3} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right) < f\left( {{x_3}} \right) \Rightarrow \dfrac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_3}} \right)}} > 0 \Rightarrow \) loại B.

+) Đáp án C: Với \({x_1} \ne {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) \ne f\left( {{x_2}} \right)\) và vì hàm số nghịch biến nên dấu của biểu thức \(\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\) và \(\left[ {f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)} \right]\) ngược dấu \( \Rightarrow \dfrac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} < 0 \Rightarrow \) C đúng.

Chọn C.

Ta có: \(y'=-\sin x+a\)

\(\Rightarrow \) Hàm số đồng biến với mọi x  \( \Leftrightarrow y' \ge 0\) với mọi x

                                                      \(\Leftrightarrow -\sin x+a\ge 0\) với mọi x

                                                      \(\Leftrightarrow a\ge \sin x\) với mọi x

                                                      \(\Leftrightarrow a\ge 1\) (vì \(\sin x \le 1\))                     

Chọn C.                     

Sử dụng máy tính CASIO dùng chức năng Shift \(\dfrac{d}{{dx}}{\left. {\left( {} \right)} \right|_{x = ?}}\) ta tính đạo hàm từng đáp án nếu đáp án nào ra kết quả 1 số \( \le 0\) thì đáp án đó đúng, còn đáp án nào ra kết quả > 0 thì đáp án đó sai.

Ta có:

+) Đáp án A. Tại \(x = 6\) ta có :

\(>0\Rightarrow A\) sai.

+) Đáp án B: Ta sẽ thử với x = 1. Vì ĐKXĐ: \(x>0\).

\(\Rightarrow \) đáp án B \( y’ = 1 > 0 \Rightarrow B\) sai.

+) Đáp án C: Ta có: \(\Rightarrow C\) sai.

Chọn D.

Cách 1:

Khi m = 1 ta có: y = 1 là hàm hằng nên m = 1 không thỏa mãn.

Khi \(m\ne 1\). Đặt \(t=\cos x\). Vì \(x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\)  nên \(t\in \left( 0;1 \right)\).

Xét hàm \(y = \frac{{t - 1}}{{t - m}}\,\,\,\,\left( {TXD:\,\,D = R\backslash \left\{ m \right\}} \right)\) có \(y'=\frac{t-m-t+1}{{{\left( t-m \right)}^{2}}}=\frac{1-m}{{{\left( t-m \right)}^{2}}}\).

Để hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\) thì hàm số \(y=\frac{t-1}{t-m}\) nghịch biến trên \(\left( 0;1 \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - m < 0}\\{m \notin \left( {0;1} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 1}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le 0}\\{m \ge 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\Leftrightarrow m > 1\)

Cách 2:

Khi m = 1 ta có: y = 1 là hàm hằng nên m = 1 không thỏa mãn.

Khi \(m \ne 1\). Ta có \(y' = \frac{{ - \sin x\left( {\cos x - m} \right) + \left( {\cos x - 1} \right)\sin x}}{{{{\left( {\cos x - m} \right)}^2}}} = \frac{{m\sin x - \sin x}}{{{{\left( {\cos x - m} \right)}^2}}}\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' > 0\,\,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\\m \ne \cos x\,\,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x\left( {m - 1} \right) > 0\,\,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\\m \notin \left( {0;1} \right)\end{array} \right.\)

Do \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \sin x > 0 \Rightarrow m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m \notin \left( {0;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow m > 1\)  

Chọn B.

Ta có \(y'=3{{x}^{2}}-6x+m.\)

Để hàm số đã cho tăng trên \(\left( 1;+\infty  \right)\) thì \(y'>0,\,\forall x\in \left( 1;+\infty  \right)\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x+m>0,\,\,\forall x\in \left( 1;+\infty  \right).\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x\) trên \(\left( 1;+\infty  \right).\) Ta có \(f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x=3{{\left( x-1 \right)}^{2}}-3>-3,\,\,\forall x\in \left( 1;+\infty  \right).\)

Do đó nếu \(-3+m\ge 0\Leftrightarrow m\ge 3.\) thì ta có \(3{{x}^{2}}-6x+m>0,\,\,\forall x\in \left( 1;+\infty  \right).\) Hay hàm số đã cho tăng trên \(\left( 1;+\infty  \right).\)

Chọn đáp án A.

Ta có \(y'={{x}^{2}}+2mx+2m+3\).

Để hàm số đồng biến trên \(R\) thì \(y'\ge 0,\forall x\in R\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a>0 \\ & \Delta '\le 0 \\\end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 1>0 \\ & {{m}^{2}}-\left( 2m+3 \right)\le 0 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-3\le 0\Leftrightarrow -1\le m\le 3\)

Vậy \(m\in \left[ -1;3 \right]\).

Chọn B.

\(f'(x)={{x}^{2}}+1>0,\forall x\in R\) \(\Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm số đồng biến trên R.

Đáp án B

Xét hàm số: \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\left( m-1 \right){{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x-2\) trên \(R\)

Có \(y'\left( x \right)={{x}^{2}}-2\left( m-2 \right)x+2\left( m-1 \right).\)

Hàm số đã cho tăng trên \(R\Leftrightarrow y'\left( x \right)>0,\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow \Delta '={{\left( m-1 \right)}^{2}}-2\left( m-1 \right)\le 0\)  vì \(a=1>0.\)

\(\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m+3\le 0\)

\(\Leftrightarrow 1\le m\le 3.\)

Đáp án D.

Tập xác định: \(D = R\backslash \left\{ { - \frac{4}{m}} \right\};\,\,\,m \ne 0.\)

Ta có: \(y' = \frac{{4 - {m^2}}}{{{{\left( {mx + 4} \right)}^2}}}.\)

\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên D \( \Leftrightarrow 4 - {m^2} \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} \le 4 \Leftrightarrow  - 2 \le m \le 2.\)

+) Với \(m =  - 2\), hàm số có dạng: \(y = \frac{{x - 2}}{{ - 2x + 4}} =  - \frac{1}{2}\) là hàm hằng \( \Rightarrow m =  - 2\) không thỏa mãn.

+) Với \(m = 2\), hàm số có dạng: \(y = \frac{{x + 2}}{{2x + 4}} = \frac{1}{2}\) là hàm hằng \( \Rightarrow m = 2\) không thỏa mãn.

+) Với \(m = 0,\) hàm số có dạng: \(y = x\) đồng biến trên R.

Vậy các giá trị nguyên của m thỏa mãn là: \(m \in \left\{ { - 1;0;\,\,1} \right\}.\)

Chọn C.

Tập xác định: \(D=R.\)

Ta có: \(y'=-{{x}^{2}}-2mx+2m-3\)

\(\Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên tập xác định \(\Leftrightarrow y'\le 0\,\,\forall x\in R\Leftrightarrow -{{x}^{2}}-2mx+2m-3\le 0\,\,\forall \,\,x\in R\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < 0\,\,\forall \,m\\{m^2} + 2m - 3 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 \le m \le 1.\)

+) Xét với \(m=-3\) ta có: \(y'=-{{x}^{2}}+6x-9=-{{\left( x-3 \right)}^{2}}\le 0\,\,\forall x\in R\Rightarrow m=-3\) thì hàm số nghịch biến trên R.

+) Xét với \(m=1\) ta có: \(y'=-{{x}^{2}}-2x-1=-{{\left( x+1 \right)}^{2}}\le 0\,\,\forall x\in R\Rightarrow m=1\) thì hàm số nghịch biến trên R.

Chọn B.

Ta có \(y=\frac{mx+4}{x+m}\Rightarrow {y}'=\frac{{{m}^{2}}-4}{{{\left( x+m \right)}^{2}}};\,\,\forall x\ne -\,m.\)

Yêu cầu bài toán 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' < 0\\x =  - m \notin \left( { - \infty ;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 > 0\\ - m \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 2 < m \le  - 1.\)

Chọn D

Điều kiện xác định: \(8+2x-{{x}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow -2\le x\le 4\)

\(\begin{array}{l}y = \sqrt {8 + 2x - {x^2}}  \Rightarrow y' = \frac{{(8 + 2x - {x^2})'}}{{2\sqrt {8 + 2x - {x^2}} }} = \frac{{2 - 2x}}{{2\sqrt {8 + 2x - {x^2}} }} = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {8 + 2x - {x^2}} }}\\y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\end{array}\)

Bảng xét dấu y’:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -2;1 \right).\)

TXĐ: D = R.

Ta có:

\(\eqalign{  & y' = 1 + \sin x \ge 0\,\,\forall x \in R  \cr   & y' = 0 \Leftrightarrow \sin x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - {\pi  \over 2} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} \)

\( \Rightarrow y' = 0\) tại hữu hạn điểm. Vậy hàm số đồng biến trên R.

Chọn A.