55 bài tập các phép toán với số phức mức độ nhận biết, thông hiểu

Giả sử \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), ta có:

\(\begin{array}{l}(3 + 4i)z + (1 - 3i) = 2 + 5i\\ \Leftrightarrow (3 + 4i)z = 1 + 8i\\ \Leftrightarrow (3 + 4i)(a + bi) = 1 + 8i\\ \Leftrightarrow 3a + 3bi + 4ai - 4b = 1 + 8i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 4b = 1\\4a + 3b = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{7}{5}\\b = \frac{4}{5}\end{array} \right.\\ \Rightarrow z = \frac{7}{5} + \frac{4}{5}i\end{array}\)

Chọn B

Giả sử \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), ta có:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow (3 + 2i)(a + bi) = 5 - 14i\\ \Leftrightarrow 3a + 3bi + 2ai - 2b = 5 - 14i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 2b = 5\\2a + 3b =  - 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b =  - 4\end{array} \right.\end{array}\)

Þ Điểm biểu diễn của  có tọa độ là: \((-1;-4)\)

Chọn A

Ta có: \(z=5+2i-{{\left( 1+i \right)}^{3}}=5+2i-(1+3i+3{{i}^{2}}+{{i}^{3}})\)

              \(=5+2i+2-2i=7\)

          \(\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{49}=7\)

Chọn A

 Ta có: z = i(2 – i)(3 + i) =\(\left( 2i+1 \right)\left( 3+i \right)\) 

              \(=6i+2{{i}^{2}}+3+i=1+7i\)

Chọn B

Ta có: \(z=\left( 6+7i \right)i=6i+7{{i}^{2}}=-7+6i.\)

\(\Rightarrow M\left( -7;\ 6 \right)\) là điểm biểu diễn số phức z.

Chọn D.

Ta có: \(3{{z}_{1}}-2{{z}_{2}}=3(1+2i)-2(2-3i)=3+6i-4+6i=-1+12i\)

=> Phần ảo của nó là \(12\)

Chọn B

\(z=\left( 1+2i \right)\left( 5-i \right)=5-i+10i-2{{i}^{2}}=5-i+10i+2=7+9i\)

\(z\)có phần thực là 7.

Chọn: B

Ta có:  \(z = i{\left( {1 + 2i} \right)^2}\)\( = i\left( {1 + 4i + 4{i^2}} \right)\) \( = i\left( {4i - 3} \right)\)\( = 4{i^2} - 3i =  - 4 - 3i\)

\( \Rightarrow \) Phần ảo của số phức \(z\) là \( - 3.\)

Chọn C.

\(\begin{array}{l}z = 2{z_1} + 3i{z_2} = 2\left( {2 - i} \right) + 3i\left( { - 3 + i} \right)\\\,\,\,\, = 4 - 2i - 9i - 3 = 1 - 11i\end{array}\)

Vậy phần ảo của số phức \(z\) bằng -11.

Chọn B.

Ta có:

\(\begin{array}{l}w = 2z + \left( {1 + i} \right)\bar z\\w = 2\left( {2 - 3i} \right) + \left( {1 + i} \right)\left( {2 + 3i} \right)\\w = 4 - 6i + 2 + 3i + 2i - 3\\w = 3 - i\\ \Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {10} .\end{array}\)

Chọn C.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = \dfrac{3}{2}\\{z_2}.{z_2} = 2\end{array} \right.\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}z_1^2 + z_2^2 = {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}{z_2}\\ = {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^2} - 2.2 =  - \dfrac{7}{4}\end{array}\)

Chọn C.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 2 + i\\{z_2} = 1 - i\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {z_1} - {z_2} = \left( {2 - 1} \right) + \left( {1 + 1} \right)i = 1 + 2i\)

\( \Rightarrow N\left( {1;\,2} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \({z_1} - {z_2}.\)

Chọn D.

Ta có \(z\left( 1+i \right)=3-5i\Leftrightarrow z=\frac{3-5i}{1+i}=\frac{\left( 3-5i \right)\left( 1-i \right)}{1-{{i}^{2}}}=-1-4i\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}}=\sqrt{17}.\)

Chọn A

\(z=\frac{3-i}{1+i}+\frac{2+i}{i}=2-4i\)

Suy ra phần thực là 2 ; phần ảo là -4

Chọn đáp án A

Ta có: \(z = \dfrac{2}{{i + 1}} = \dfrac{{2\left( {i - 1} \right)}}{{\left( {i + 1} \right)\left( {i - 1} \right)}} = \dfrac{{2\left( {i - 1} \right)}}{2} = 1 - i\)

Số phức liên hợp của z là \(\overline z  = 1 + i\).

Chọn: D

\(z = \dfrac{{5 + 15i}}{{3 + 4i}} = 3 + i\)

Vậy phần thực của z bằng 3.

Chọn A.

Ta có \(z\left( {1 + i} \right) = 7 + i \Rightarrow z = \dfrac{{7 + i}}{{1 + i}} = 4 - 3i\)

Khi đó \(\left| z \right| = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = 5.\)

Chọn D.

Dựa vào đồ thị ta có \(M\left( {3;2} \right),\)\(N\left( {1; - 4} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = 3 + 2i\\{\rm{w}} = 1 - 4i\end{array} \right.\\ \Rightarrow \dfrac{z}{{\rm{w}}} = \dfrac{{3 + 2i}}{{1 - 4i}} =  - \dfrac{5}{{17}} + \dfrac{{14}}{{17}}i\end{array}\)

Khi đó phần ảo của số phức \(\dfrac{z}{{\rm{w}}}\) là \(\dfrac{{14}}{{17}}\)

Chọn A.

Ta có: \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {1 + i} \right)z + \left( {2 - i} \right)\overline z  = 13 + 2i\\ \Leftrightarrow \left( {1 + i} \right)\left( {a + bi} \right) + \left( {2 - i} \right)\left( {a - bi} \right) = 13 + 2i\\ \Leftrightarrow a + ai + bi + b{i^2} + 2a - 2bi - ai + b{i^2} = 13 + 2i\\ \Leftrightarrow 3a - 2b - bi = 13 + 2i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 2b = 13\\ - b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow a + b = 3 - 2 = 1.\end{array}\)

Chọn A.

Ta có: \(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}}\)\( = \dfrac{{5 - i}}{{1 + i}} = \dfrac{{\left( {5 - i} \right)\left( {1 - i} \right)}}{{{1^2} - {i^2}}}\)\( = \dfrac{{5 - 6i + {i^2}}}{2}\)\( = \dfrac{{4 - 6i}}{2} = 2 - 3i\)

Số phức \(2 - 3i\) có phần thực bằng \(2.\)

Chọn B.

Sử dụng MTCT ta có:  \( \Rightarrow z = \dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{2}i\).

Vậy số phức \(z\) có phần thực bằng \(\dfrac{3}{2}\).

Chọn A.

Ta có: \(iz = 1 + 3i\) \( \Rightarrow z = \dfrac{{1 + 3i}}{i} = \dfrac{{i + 3{i^2}}}{{{i^2}}} = 3 - i\) \( \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{3^2} + 1}  = \sqrt {10} .\)

Chọn A.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,z\left( {\overline {1 + 2i} } \right) + i = 3 \Leftrightarrow z.\left( {1 - 2i} \right) = 3 - i\\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{3 - i}}{{1 - 2i}} = \dfrac{{\left( {3 - i} \right)\left( {1 + 2i} \right)}}{5} = 1 + i\end{array}\)

\( \Rightarrow a = b = 1 \Rightarrow T = a + b = 2\).

Chọn C.

Ta có: \({z_1} - {z_2}\)\( = 2 + 3i - \left( { - 4 + i} \right)\)\( = 2 + 3i + 4 - i\)\( = 6 + 2i\)

Phần ảo của số phức \(6 + 2i\) là \(2.\)

Chọn C.