55 bài tập phương trình mặt cầu mức độ nhận biết

Phương trình \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y-2z-3=0\) có \(a=-1;b=2;c=1;d=-3\)

Và \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d=1+4+1+3=9>0\) nên bán kính mặt cầu là \(R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}=\sqrt{9}=3\).

Chọn B.

Có : \(\left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=11=>r=\sqrt{11}\)

Chọn đáp án C

Theo đề bài, mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2;\;2} \right)\) và bán kính: \(R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2} + 25}  = \sqrt {34} .\)

Chọn  A.

Mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z + 9 = 0\) có tâm \(I\left( {1; - 2;3} \right)\) và \(R = \sqrt {1 + 4 + 9 - 9}  = \sqrt 5 \).

Chọn C.

Chọn A.

Mặt cầu tâm \(I\left( {3; - 1;0} \right)\) có bán kính \(R = 5\) có phương trình là : \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 25\).

Chọn: A

\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 6z - 1 = 0\) có tâm \(I\left( {2; - 1; - 3} \right)\).

Chọn: C

Mặt cầu đã cho có tâm \(I\left( { - 3; - 1;1} \right)\).

Chọn C.

Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 4\) có tâm I và bán kính \(R\) lần lượt là: \(I\left( { - 2;1;0} \right),R = 2\)

Chọn: C

Ta có mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 3;4} \right)\,\)và bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2} - 1}  = 5\).

Chọn B.

Kiểm tra các phương trình đã cho có là phương trình mặt cầu trong các đáp án ta có:

Đáp án A. \({A^2} + {B^2} + {C^2} - D = {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( 2 \right)^2} + 0 + 1 = 6 > 0\)

Đáp án B. Loại vì phương trình khuyết \({y^2}\)

Đáp án C. Loại vì có đại lượng \(2xy.\)

Đáp án D. \({A^2} + {B^2} + {C^2} - D = {\left( { - 1} \right)^2} + {1^2} + {\left( { - 2} \right)^2} - 8 < 0\)

Chọn A.

Tâm \(I\left( {a;b;c} \right) \Rightarrow I\left( {1; - 2;4} \right)\).

Chọn C.

* \(R = OA = \sqrt {4 + 4 + 1}  = 3\).

* Phương trình \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\).

Chọn B.

* Ta có: \(I\left( {1;2;3} \right);\,\,R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

* \(R = \sqrt {1 + 4 + 9 + 11}  = 5\).

Chọn A.

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) thì \(I\left( {3;3;1} \right)\).

Ta có: \(AB = \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 3} \right)}^2}}  = 6\).

Mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm là trung điểm \(AB\) và bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = 3\) nên có phương trình:

\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = {3^2}\) hay \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\).

Chọn A.

Thay tọa độ điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\) vào phương trình mặt cầu ta có:

\({0^2} + {0^2} + {0^2} - 2.0 - 4.0 - 6.0 = 0 \Rightarrow O \in \left( S \right)\).

Thay tọa độ điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) vào phương trình mặt cầu ta có:

\({1^2} + {2^2} + {3^2} - 2.1 - 4.2 - 6.3 =  - 14 \ne 0 \Rightarrow A \notin \left( S \right)\).

Thay tọa độ điểm \(B\left( {2; - 1; - 1} \right)\) vào phương trình mặt cầu ta có:

\({2^2} + {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2} - 2.2 - 4.\left( { - 1} \right) - 6.\left( { - 1} \right) = 12 \ne 0 \Rightarrow B \notin \left( S \right)\).

Vậy có 1 điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\).

Chọn A.

Mặt cầu \(\left( S \right):\)\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 6y - 6z - 6 = 0\) có tâm \(I\left( {1; - 3;3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {3^2} - \left( { - 6} \right)} \)\( = \sqrt {25}  = 5\)

Chọn C.

Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 8y + 4z - 4 = 0\) có tâm \(I\left( { - 1;\,\,4;\, - 2} \right)\) và có bán kính \(R = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} - \left( { - 4} \right)}  = \sqrt {25}  = 5.\) 

Chọn A.

Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4\) có tâm \(I\left( {1;\,\,2; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 2.\)

Chọn B.

Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 10\) có tâm là \(I\left( { - 3;1;0} \right)\).

Chọn D.

Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( {1;2; - 1} \right).\)

Chọn D.

Mặt cầu tâm \(I\left( {0;3; - 1} \right)\) và có bán kính \(R = 3\) có phương trình là

\({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\)

Chọn B.

Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\)có tâm \(I\left( { - 1;3;2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 9  = 3.\)

Chọn B.

Mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 4y + 8z = 0\) có:

Tâm \(I\left( { - 2;2; - 4} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  = \sqrt {24}  = 2\sqrt 6 .\)

Chọn B.

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z - 11 = 0\) có bán kính \(R = \sqrt {1 + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2} + 11}  = \sqrt {25}  = 5.\)

Chọn D.