55 bài tập phương trình mặt phẳng mức độ nhận biết

Đáp án: D

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {0; - 1;\,\,4} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {2;\,\,2; - 1} \right)\) làm VTPT có dạng:

\(\left( P \right):\,\,\,\,2x + 2\left( {y + 1} \right) - \left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y - z + 6 = 0.\) 

Chọn C.

Mặt phẳng đi qua \(M\left( {2; - 3;4} \right)\) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( { - 2;4;1} \right)\) có phương trình là

\( - 2\left( {x - 2} \right) + 4\left( {y + 3} \right) + \left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 4y - z - 12 = 0\)

Chọn A.

Ta có: \(2.1 – (-3) + (-4) – 1 = 0\) nên điểm \(Q(1;-3;-4) \) thuộc mặt phẳng (P).

Chọn A.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OA \subset \left( P \right)\\Oz \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n .\overrightarrow {OA}  = 0\\\overrightarrow n .\overrightarrow k  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow k ;\overrightarrow {OA} } \right]\).

Có: \(\overrightarrow {OA}  = \left( {1; - 3;2} \right),\,\,\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow k ;\overrightarrow {OA} } \right] = \left( {3;1;0} \right)\).

\( \Rightarrow a = 3,\,\,b = 1,\,\,c = 0\).

Vậy \(M = \dfrac{{b + c}}{a} = \dfrac{{1 + 0}}{3} = \dfrac{1}{3}\).

Chọn C.

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {1; - 4; - 3} \right)\) và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( { - 2;5;2} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là  \( - 2\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y + 4} \right) + 2\left( {z + 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow  - 2x + 5y + 2z + 28 = 0.\)

Chọn D.

Ta thấy \(E\left( {1;1;1} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):x - 3{\rm{z}} + 2 = 0\).

Chọn A.

Đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{1}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}} \left( {2;3;1} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( { - 1;0;0} \right)\).

Gọi \(\overrightarrow {n'} \) là 1 VTPT của mặt phẳng cần tìm.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d \subset \left( P \right)\\MA \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {n'} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\\\overrightarrow {n'} .\overrightarrow {MA}  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {n'}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {MA} } \right]\).

Có \(\overrightarrow {MA}  = \left( {2;2;0} \right)\), suy ra \(\overrightarrow {n'}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {MA} } \right] = \left( { - 2;2; - 2} \right)\).

Do đó \(\overrightarrow n \left( {1; - 1;1} \right)\) cũng là 1 VTPT của mặt phẳng cần tìm \( \Rightarrow a =  - 1,\,\,b = 1\).

Vậy \(a + b =  - 1 + 1 = 0.\)

Chọn B.

Mặt phẳng \(\left( P \right)\)\(:2x - y + 2z - 3 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1;2} \right)\)

Mặt khác ta thấy \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1;2} \right)\) không cùng phương với \(\overrightarrow {{n_4}}  = \left( {6;3;6} \right)\) do đó \(\overrightarrow {{n_4}}  = \left( {6;3;6} \right)\) không là vecto pháp tuyến của \(\left( P \right)\).

Chọn D.

Phương trình mặt phẳng (P) là: \(4\left( {x + 1} \right) - 5z = 0 \Leftrightarrow 4x - 5z + 4 = 0.\)

Chọn D.

Ta có: \(d\left( {A;\,\,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.0 - 2.\left( { - 1} \right) + 2 - 10} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + 1} }} = \dfrac{{\left| { - 6} \right|}}{3} = 2.\)

Chọn B.

\(\left( P \right):\dfrac{x}{{ - 2}} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow \left( P \right):3x - 2y - 6z + 6 = 0\) có một vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 2; - 6} \right)\).

Chọn B.

Phương trình mặt phẳng (ABC) là: \(\dfrac{x}{{ - 2}} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{1} = 1\).

Chọn B.

Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\), \(B\left( {0; - 2;0} \right)\), \(C\left( {0;0;3} \right)\) là:

\(\dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{{ - 2}} + \dfrac{z}{3} = 1\) \( \Leftrightarrow 6x - 3y + 2y - 6 = 0\).

Chọn D.

\(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1 + 2.2 - 2.\left( { - 3} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \dfrac{9}{3} = 3\).

Chọn C.

Mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z - 3 = 0\) có 1 VTPT là: \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2;1} \right).\)

Chọn D.

Ta có: \(\left( P \right):\,\,2x - 2y + 3z + 6 = 0\)

+) Đáp án A: Thay tọa độ điểm \(Q\left( {3; - 2; - 3} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta được:

\(2.3 - 2.\left( { - 2} \right) + 3.\left( { - 3} \right) + 6 = 7 \ne 0\) \( \Rightarrow Q \notin \left( P \right)\) \( \Rightarrow \) loại đáp án A.

+)  Đáp án B: Thay tọa độ điểm \(M\left( {3;\,\,3; - 2} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta được:

\(2.3 - 2.3 + 3.\left( { - 2} \right) + 6 = 0\) \( \Rightarrow M \in \left( P \right)\) \( \Rightarrow \) chọn đáp án B.

Chọn B.

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):\,\, - 2x + y + 3z - 1 = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( { - 2;\,\,1;\,\,3} \right)\)

Có: \(\overrightarrow q  = \left( {2; - 1; - 3} \right) =  - \overrightarrow {{n_\alpha }} \) cũng là 1 VTPT của \(\left( \alpha  \right).\)

Chọn C.

\(d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.1 - 2.\left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \dfrac{2}{3}\).

Chọn A.

Hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {3;\,\,4; - 2} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) có tọa độ là: \(\left( {3;\,\,0; - 2} \right).\)

Chọn D.

+) Đáp án A: Thay tọa độ điểm \(M\left( {3;\,\,4; - 2} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( S \right):\,\,x + y + z + 5 = 0\) ta được:

\(3 + 4 - 2 + 5 = 10 \ne 0\) \( \Rightarrow M \notin \left( S \right)\)

+) Đáp án B: Thay tọa độ điểm \(M\left( {3;\,\,4; - 2} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\,\,x - 1 = 0\) ta được:

\(3 - 1 = 2 \ne 0\) \( \Rightarrow M \notin \left( Q \right)\)

+) Đáp án C: Thay tọa độ điểm \(M\left( {3;\,\,4; - 2} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,z - 2 = 0\) ta được:

\( - 2 - 2 =  - 4 \ne 0\) \( \Rightarrow M \notin \left( P \right)\)

+) Đáp án D: Thay tọa độ điểm \(M\left( {3;\,\,4; - 2} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( R \right):\,\,x + y - 7 = 0\) ta được:

\(3 + 4 - 7 = 0\) \( \Rightarrow M \notin \left( R \right)\)

Chọn D.

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm \(A\left( {8;0;0} \right)\), \(B\left( {0; - 2;0} \right)\), \(C\left( {0;0;4} \right)\). Phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(\dfrac{x}{8} + \dfrac{y}{{ - 2}} + \dfrac{z}{4} = 1\) \( \Leftrightarrow x - 4y + 2z - 8 = 0\).

Chọn D.

Mặt phẳng đi qua 3 điểm \(B\left( {1;0;0} \right),A\left( {0;2;0} \right),C\left( {0;0; - 3} \right)\) có phương trình là \(\dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{{ - 3}} = 1\).

Chọn A.

Ta có : \(\overrightarrow {BC}  = \left( {1; - 2; - 5} \right)\).

Mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(BC\) nên nhận \(\overrightarrow {BC} \) làm VTPT.

Vậy phương trình mặt phẳng là: \(1\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y - 1} \right) - 5\left( {z + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - 2y - 5z - 5 = 0\).

Chọn B.