-
Lớp 12
-
Lớp 11
-
Lớp 10
- SGK Toán 10 - Đại Số và Hình Học Toán 10
- SGK Toán 10 nâng cao
- SGK Tiếng Anh 10
- SGK Tiếng Anh 10 Mới
- Văn mẫu 10
- Soạn văn 10 chi tiết
- Soạn văn 10 ngắn gọn
- Soạn văn 10 siêu ngắn
- Tác giả - Tác phẩm văn 10
- SGK Vật lý 10
- SGK Vật lý 10 nâng cao
- SGK Hóa học 10
- SGK Hóa học 10 nâng cao
- SGK Sinh học 10
- SGK Sinh học 10 nâng cao
-
Lớp 9
-
Lớp 8
-
Lớp 7
-
Lớp 6
- Lớp 5
- Lớp 4
- Lớp 3
- Lớp 2
- Lớp 1
- Thông tin tuyển sinh
Trang chủ » 50 bài tập trắc nghiệm một số phương trình lượng giác thường gặp mức độ nhận biết, thông hiểu
50 bài tập trắc nghiệm một số phương trình lượng giác thường gặp mức độ nhận biết, thông hiểu
Lớp:
Môn học:
Bài học:
Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp
Câu trắc nghiệm:
Câu hỏi 1
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm ?
Phương pháp giải :
Xét các điều kiện có nghiệm của từng hàm số.
Lời giải chi tiết :
+) phương trình \(\sqrt 3 \sin \left( {3x - \dfrac{\pi }{3}} \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {3x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 > 1\) (Loại).
+) Phương trình \(\sin 3x + \sqrt 3 {\rm{cos}}3x = - 4\) có nghiệm khi \({1^2} + 3 \ge {\left( { - 4} \right)^2}\)(vô lí).
+)Phương trình \(2\cos 3x + 3 = 0 \Leftrightarrow cos3x = - \dfrac{3}{2} < - 1\) (Loại).
Chọn D
Đáp án A:
\(\sqrt 3 \sin \left( {3x - \dfrac{\pi }{3}} \right) - 3 = 0.\)
Đáp án B:
\(\sin 3x + \sqrt 3 {\rm{cos}}3x = - 4\).
Đáp án C:
\({\rm{2cos}}3x + 3 = 0.\)
Đáp án D:
\(\tan 2x = 3.\)
Câu hỏi 2
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Cho phương trình \(3{\cos ^2}x + 2\cos x - 5 = 0\). Nghiệm của phương trình là :
Phương pháp giải :
Giải phương trình bậc hai rồi tìm nghiệm.
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}3{\cos ^2}x + 2\cos x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left( {3\cos x + 5} \right)\left( {\cos x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 1\\\cos x = - \dfrac{5}{3}\,\,\left( {loai} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\end{array}\)
Chọn A.
Đáp án A:
\(k2\pi .\)
Đáp án B:
\(\dfrac{\pi }{2} + k2\pi .\)
Đáp án C:
\(\pi + k2\pi .\)
Đáp án D:
\(k\pi .\)
Câu hỏi 3
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Điều kiện cần và đủ để phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\) có nghiệm là:
Phương pháp giải :
+ Phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\) có nghiệm khi \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}.\)
+ Phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\) có nghiệm khi \({a^2} + {b^2} < {c^2}.\)
Lời giải chi tiết :
Phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\) có nghiệm khi \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}.\)
Chọn D.
Đáp án A:
\({a^2} + {b^2} \le c.\)
Đáp án B:
\({a^2} + {b^2} \le {c^2}.\)
Đáp án C:
\({a^2} + {b^2} \ge c.\)
Đáp án D:
\({a^2} + {b^2} \ge {c^2}.\)
Câu hỏi 4
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để phương trình \(12\sin x - 5\cos x = m\) có nghiệm.
Phương pháp giải :
Phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\) có nghiệm \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge {c^2}\).
Lời giải chi tiết :
Phương trình \(12\sin x - 5\cos x = m\) có nghiệm \( \Leftrightarrow {12^2} + {5^2} \ge {m^2} \Leftrightarrow {m^2} \le 169 \Leftrightarrow - 13 \le m \le 13\).
Vậy có \(27\) số nguyên \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn D.
Đáp án A:
\(13\)
Đáp án B:
Vô số
Đáp án C:
\(26\)
Đáp án D:
\(27\)
Câu hỏi 5
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Giải phương trình : \(2\sin x + \sqrt 3 = 0.\)
Lời giải chi tiết :
Ta có : \(2\sin x = \sqrt 3 \Leftrightarrow \sin x = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \pi + \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \dfrac{{4\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: \(x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;\,\,x = \dfrac{{4\pi }}{3} + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Đáp án A:
\(x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;\,\,x = \dfrac{{4\pi }}{3} + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Đáp án B:
\(x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;\,\,x = \dfrac{{4\pi }}{3} + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Đáp án C:
\(x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;\,\,x = -\dfrac{{4\pi }}{3} + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Đáp án D:
\(x = -\dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;\,\,x = -\dfrac{{4\pi }}{3} + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Câu hỏi 6
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Nghiệm của phương trình \(\sqrt 3 \tan x - 1 = 0\) là:
Phương pháp giải :
Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Lời giải chi tiết :
\(\sqrt 3 \tan x - 1 = 0 \Leftrightarrow \tan x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn B.
Đáp án A:
\(x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Đáp án B:
\(x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Đáp án C:
\(x = - \dfrac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Đáp án D:
\(x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Câu hỏi 7
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Phương trình \(\sin x + \sqrt 3 \cos x = 0\) có nghiệm dương nhỏ nhất là:
Phương pháp giải :
\(a\sin x+b\cos x=0\Leftrightarrow a\sin x=-b\cos x\Leftrightarrow \tan x=-\dfrac{b}{a}\)
Lời giải chi tiết :
\(\sin x+\sqrt{3}\cos x=0\Leftrightarrow \sin x=-\sqrt{3}\cos x\Leftrightarrow \tan x=-\sqrt{3}\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi }{3}+k\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\).
\(x > 0 \Leftrightarrow - \dfrac{\pi }{3} + k\pi > 0 \Leftrightarrow k > \dfrac{1}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Ta có \(x=-\dfrac{\pi }{3}+k\pi \Rightarrow {{x}_{\min }}\Leftrightarrow {{k}_{\min }}\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\Leftrightarrow k=1\).
Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là \(x=-\dfrac{\pi }{3}+\pi =\dfrac{2\pi }{3}\).
Chọn D.
Đáp án A:
\(\dfrac{\pi }{3}\)
Đáp án B:
\(\dfrac{\pi }{6}\)
Đáp án C:
\(\dfrac{{5\pi }}{6}\)
Đáp án D:
\(\dfrac{{2\pi }}{3}\)
Câu hỏi 8
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Phương trình \(\sqrt 3 \cos x - \sin x = 0\) có nghiệm là:
Phương pháp giải :
\(a\sin x+b\cos x=0\Leftrightarrow a\sin x=-b\cos x\Leftrightarrow \tan x=-\dfrac{b}{a}\).
Lời giải chi tiết :
\(\sqrt 3 \cos x - \sin x = 0\).
+ Chia cả 2 vế cho \(\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}=2\).
+ Phương trình \(\Leftrightarrow \sin x=\sqrt{3}\cos x\Leftrightarrow \tan x=\sqrt{3}\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{3}+k\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\).
Chọn B.
Đáp án A:
\(x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \)
Đáp án B:
\(x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \)
Đáp án C:
\(x = - \dfrac{\pi }{3} + k\pi \)
Đáp án D:
\(x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \)
Câu hỏi 9
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Nghiệm của phương trình \(\sin x + \cos x = 1\) là:
Phương pháp giải :
Phương trình dạng \(a\sin x + b\cos x = c\). Chia cả 2 vế của phương trình cho \(\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\).
Lời giải chi tiết :
\(\sin x+\cos x=1\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)=1\Leftrightarrow \sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x + {\pi \over 4} = {\pi \over 4} + k2\pi \hfill \cr
x + {\pi \over 4} = {{3\pi } \over 4} + k2\pi \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k2\pi \hfill \cr
x = {\pi \over 2} + k2\pi \hfill \cr} \right.\,\,\left( {k \in } \right)\)
Chọn C.
Đáp án A:
\(x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \)
Đáp án B:
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\)
Đáp án C:
\(\left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\)
Đáp án D:
\(x = k2\pi \)
Câu hỏi 10
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Nghiệm của phương trình \(2{\tan ^2}x + 5\tan x + 3 = 0\) là:
Phương pháp giải :
Giải phương trình bậc hai tìm \(\tan x\) sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản.
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}2{\tan ^2}x + 5\tan x + 3 = 0\,\,\left( {a - b + c = 0} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = - 1\\\tan x = - \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \left( { - \dfrac{3}{2}} \right) + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Chọn A
Đáp án A:
\(\left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \left( { - \dfrac{3}{2}} \right) + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Đáp án B:
\(x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Đáp án C:
\(x = \arctan \left( { - \dfrac{3}{2}} \right) + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Đáp án D:
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \left( { - \dfrac{3}{2}} \right) + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Câu hỏi 11
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Phương trình \({\cos ^2}2x + \cos 2x - \dfrac{3}{4} = 0\) có nghiệm là:
Phương pháp giải :
Giải phương trình bậc hai tìm \(\cos 2x\) sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản.
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}{\cos ^2}2x + \cos 2x - \dfrac{3}{4} = 0 \Leftrightarrow 4{\cos ^2}2x + 4\cos 2x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = - \dfrac{3}{2}\,\,\left( {loai} \right)\\\cos 2x = \dfrac{1}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow 2x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Chọn C
Đáp án A:
\(x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \)
Đáp án B:
\(x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k\pi \)
Đáp án C:
\(x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k\pi \)
Đáp án D:
\(x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k\pi \)
Câu hỏi 12
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Phương trình \(2{\sin ^2}x + \sin x - 3 = 0\) có nghiệm là:
Phương pháp giải :
Sử dụng công thức nhẩm nghiệm \(\left( {a + b + c = 0} \right)\) sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản.
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}2{\sin ^2}x + \sin x - 3 = 0\,\,\left( {a + b + c = 0} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\\sin x = - \dfrac{3}{2}\,\,\left( {loai} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\).
Chọn D
Đáp án A:
\(k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Đáp án B:
\(\dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Đáp án C:
\( - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Đáp án D:
\(\dfrac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Câu hỏi 13
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Tất cả các nghiệm của phương trình \(\cos 2x - 5\cos x + 3 = 0\).
Phương pháp giải :
Sử dụng công thức nhân đôi \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\).
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\cos 2x - 5\cos x + 3 = 0 \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 - 5\cos x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 5\cos x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 2\,\,\left( {loai} \right)\\\cos x = \dfrac{1}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Chọn B
Đáp án A:
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\)
Đáp án B:
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\)
Đáp án C:
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \\x = - \dfrac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\)
Đáp án D:
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x = - \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\)
Câu hỏi 14
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Phương trình \(\sqrt 3 \sin x - \cos x = 1\) tương đương với phương trình nào sau đây:
Phương pháp giải :
Phương trình dạng \(a\sin x+b\cos x=c\). Chia cả 2 vế của phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
Lời giải chi tiết :
\(\sqrt{3}\sin x-\cos x=1\).
+ Chia cả 2 vế cho \(\sqrt{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}=2\).
+ Phương trình \(\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\dfrac{1}{2}\cos x=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \sin x\cos \dfrac{\pi }{6}-\cos x\sin \dfrac{\pi }{6}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \sin \left( x-\dfrac{\pi }{6} \right)=\dfrac{1}{2}\).
Chọn A.
Đáp án A:
\(\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{1}{2}\)
Đáp án B:
\(\sin \left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right) = \dfrac{1}{2}\)
Đáp án C:
\(\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right) = 1\)
Đáp án D:
\(\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{1}{2}\)
Câu hỏi 15
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Giải phương trình \(\sqrt 3 \sin 2x + \cos 2x = 2\cos x\).
Phương pháp giải :
Phương trình dạng \(a\sin x + b\cos x = c\). Chia cả 2 vế cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
Lời giải chi tiết :
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\sqrt 3 \sin 2x + \cos 2x = 2\cos x \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x + \dfrac{1}{2}\cos 2x = \cos x\\ \Leftrightarrow \sin \dfrac{\pi }{3}.\sin 2x + \cos \dfrac{\pi }{3}.\cos 2x = \cos x\\ \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \cos x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \dfrac{\pi }{3} = x + k2\pi \\2x - \dfrac{\pi }{3} = - x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{9} + k\dfrac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ,\,\,x = \dfrac{\pi }{9} + k\dfrac{{2\pi }}{3};\,\,k \in Z\).
Đáp án A:
\(x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ,\,\,x = \dfrac{\pi }{9} + k\dfrac{{2\pi }}{3};\,\,k \in Z\).
Đáp án B:
\(x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,x = \dfrac{\pi }{9} + k\dfrac{{2\pi }}{3};\,\,k \in Z\).
Đáp án C:
\(x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi ,\,\,x = \dfrac{\pi }{9} + k\dfrac{{2\pi }}{3};\,\,k \in Z\).
Đáp án D:
\(x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi ,\,\,x = \dfrac{\pi }{9} + k\dfrac{{2\pi }}{3};\,\,k \in Z\).
Câu hỏi 16
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Phương trình \({\sin ^2}x = 1\) tương đương với phương trình nào sau đây?
Phương pháp giải :
Sử dụng công thức nhân đôi: \(\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x\).
Lời giải chi tiết :
Ta có: \({\sin ^2}x = 1 \Leftrightarrow \cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x = 1 - 2.1 = - 1\).
Chọn: D
Đáp án A:
\(\sin x = 1\).
Đáp án B:
\(\cos x = - 1\).
Đáp án C:
\(\cos 2x = 1\).
Đáp án D:
\(\cos 2x = - 1\).
Câu hỏi 17
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\sqrt 3 \cos x + m - 1 = 0\) có nghiệm?
Phương pháp giải :
+) Quy về dạng \(\cos (f(x)) = f(m) \Rightarrow - 1 \le f(m) \le 1\)
+) Giải điều kiện tìm m.
Lời giải chi tiết :
Ta có \(\sqrt 3 \cos x + m - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{{1 - m}}{{\sqrt 3 }}\).
Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow - 1 \le \frac{{1 - m}}{{\sqrt 3 }} \le 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - m \ge - \sqrt 3 \\1 - m \le \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1 + \sqrt 3 \\m \ge 1 - \sqrt 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 1 - \sqrt 3 \le m \le 1 + \sqrt 3 \,\,\,\left( {m \in Z} \right) \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2} \right\}.\end{array}\)
Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên của tham số \(m\).
Chọn C
Đáp án A:
1
Đáp án B:
2
Đáp án C:
3
Đáp án D:
4
Câu hỏi 18
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) - m = 2\) có nghiệm. Tính tổng \(T\) của các phần tử trong \(S\).
Phương pháp giải :
+) Quy về dạng \(\cos (f(x)) = f(m) \Rightarrow - 1 \le f(m) \le 1\)
+) Giải điều kiện tìm m.
+) Tính tổng.
Lời giải chi tiết :
Phương trình \({\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) - m = 2 \Leftrightarrow {\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = m + 2\).
Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow - 1 \le m + 2 \le 1 \Leftrightarrow - 3 \le m \le - 1\).
Mà \(m \in Z \Rightarrow S = \left\{ { - 3; - 2; - 1} \right\} \Rightarrow T = \left( { - 3} \right) + \left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right) = - 6\).
Chọn D
Đáp án A:
\(T = 6\)
Đáp án B:
\(T = 3\)
Đáp án C:
\(T = - 2\)
Đáp án D:
\(T = - 6\)
Câu hỏi 19
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Cho phương trình: \(\cos 2x + \sin x - 1 = 0\;\;\left( * \right).\) Bằng cách đặt \(t = \sin x\;\;\left( { - 1 \le t \le 1} \right)\) thì phương trình \(\left( * \right)\)trở thành phương trình nào sau đây?
Phương pháp giải :
Sử dụng công thức : \(\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x\)
Đặt \(\sin x = t\) quy về phương trình bậc 2 ẩn t.
Lời giải chi tiết :
\(\cos 2x + \sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow 1 - 2{\sin ^2}x + \sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow - 2{\sin ^2}x + \sin x = 0\;\;\left( * \right)\)
Đặt \(\sin x = t \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow - 2{t^2} + t = 0\)
Đáp án A:
\( - 2{t^2} + t = 0\)
Đáp án B:
\({t^2} + t - 2 = 0\)
Đáp án C:
\( - 2{t^2} + t - 2 = 0\)
Đáp án D:
\( - {t^2} + t = 0\)
Câu hỏi 20
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Nghiệm của phương trình \({\sin ^2}x = -\sin x + 2\) là:
Phương pháp giải :
Đặt \(t = \sin x\) quy về phương trình bậc 2 ẩn t.
Lời giải chi tiết :
Đặt \(t = \sin x\). Điều kiện \(\left| t \right| \le 1\)
Phương trình trở thành: \({t^2} = - t + 2 \Leftrightarrow {t^2} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1{\rm{ (tm)}}\\t = - 2{\rm{ (ktm)}}\end{array} \right..\)
Với \(t = 1 \Rightarrow \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi {\rm{ (k}} \in {\rm{Z)}}{\rm{.}}\)
Chọn A
Đáp án A:
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)
Đáp án B:
\(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \)
Đáp án C:
\(x = \frac{{ - \pi }}{2} + k2\pi \)
Đáp án D:
\(x = k\pi \)
Câu hỏi 21
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Với giá trị nào của \(m\) thì phương trình \(\sin {\mkern 1mu} x - m = 1\) có nghiệm là:
Phương pháp giải :
+) Quy về dạng \(\sin \,x = f(m) \Rightarrow - 1 \le f(m) \le 1\)
+) Giải điều kiện tìm m.
Lời giải chi tiết :
Ta có \(\sin \,x - m = 1 \Leftrightarrow \sin x = m + 1\;\;\left( * \right)\)
Vì \( - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow \) phương trình (*) có nghiệm \( \Leftrightarrow - 1 \le m + 1 \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le m \le 0\).
Vậy để phương trình đã cho có nghiệm thì \( - 2 \le m \le 0.\)
Chọn D
Đáp án A:
\(0 \le m \le 1\)
Đáp án B:
\(m \le 0\)
Đáp án C:
\(m \ge 1\)
Đáp án D:
\( - 2 \le m \le 0\)
Câu hỏi 22
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Tìm số nghiệm của phương trình \(\sin 3x = \cos 2x\) thuộc \(\left[ {0;10\pi } \right]\)?
Phương pháp giải :
+) Giải phương trình bằng công thức nghiệm.
+) Từ công thức nghiệm tìm số nguyên k để tìm nghiệm thỏa mãn bài toán.
Lời giải chi tiết :
\(\sin 3x = \cos 2x \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{2} - 2x + k2\pi \\3x = \pi - \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) + m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k2\pi }}{5}\\x = \frac{\pi }{2} + m2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k,\;m \in \mathbb{Z}} \right).\)
Phương trình có nghiệm thuộc \(\left[ {0;\;10\pi } \right]\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k2\pi }}{5} \le 10\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{4} \le k \le \frac{{99}}{4} = 24\frac{3}{4} \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;\;1;\;2;...;\;24} \right\}\\0 \le \frac{\pi }{2} + m2\pi \le 10\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{4} \le k \le \frac{{19}}{4} = 4\frac{3}{4} \Leftrightarrow m \in \left\{ {0;\;1;...;\;4} \right\}\end{array} \right.\)
Phương trình có \(25 + 5 = 30\) nghiệm thỏa mãn.
Đáp án A:
30
Đáp án B:
25
Đáp án C:
20
Đáp án D:
15
Câu hỏi 23
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(\sin x+\sqrt{3}\cos x=\sqrt{2}\) là:
Phương pháp giải :
Áp dụng phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với sin và cos \(a\sin x+b\cos x=c\) bằng cách chia cả 2 vế cho \(\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\).
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\sin x + \sqrt 3 \cos x = \sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sin x\cos \frac{\pi }{3} + \cos x\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{3} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)
Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình trên là \(x = \frac{{5\pi }}{{12}}.\)
Chọn D.
Đáp án A:
\(\frac{\pi }{12}\)
Đáp án B:
\(\frac{\pi }{6}\)
Đáp án C:
\(\frac{\pi }{3}\)
Đáp án D:
\(\frac{5\pi }{12}\)
Câu hỏi 24
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Với giá trị nào của m thì phương trình \(\sin x+\cos x=m\) có nghiệm:
Phương pháp giải :
Phương trình bậc nhất đối với sin và cos: \(a\sin x+b\cos x=c\) có nghiệm khi và chỉ khi \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}}\)
Lời giải chi tiết :
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \({{1}^{2}}+{{1}^{2}}\ge {{m}^{2}}\Leftrightarrow -\sqrt{2}\le m\le \sqrt{2}\)
Chọn D.
Đáp án A:
\(m\le 2\)
Đáp án B:
\(-1\le m\le 1\)
Đáp án C:
\(m\ge \sqrt{2}\)
Đáp án D:
\(-\sqrt{2}\le m\le \sqrt{2}\)
Câu hỏi 25
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Phương trình \({\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - {\sin ^2}x = 1\) có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\)?
Phương pháp giải :
- Sử dụng công thức: \({\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - {\sin ^2}x = {\rm{cos}}\,{\rm{2}}x.\)
- Giải phương trình lượng giác đặc biệt: \(\cos \alpha = 1 \Leftrightarrow \alpha = k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Lời giải chi tiết :
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - {\sin ^2}x = 1 \Leftrightarrow {\rm{cos}}\,{\rm{2}}x = 1\\ \Leftrightarrow 2x = k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\end{array}\)
Mà \(x \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow x \in \left\{ {0;\pi } \right\}\). Vậy phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn.
Chọn A.
Đáp án A:
\(2\).
Đáp án B:
\(1\).
Đáp án C:
\(3\).
Đáp án D:
\(0\).
Câu hỏi 26
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Nghiệm của phương trình \(\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) - \sqrt 3 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = 1\) là.
Phương pháp giải :
Phương pháp giải phương trình lượng giác: \(a\sin x + b\cos x = c\).
- Chia cả 2 vế của phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
- Sử dụng công thức \(\sin a\cos b \pm \cos a\sin b = \sin \left( {a \pm b} \right)\), \(\cos a\cos b \pm \sin a\sin b = \cos \left( {a \mp b} \right)\) đưa phương trình về phương trình lượng giác cơ bản: \(\sin x = \sin \alpha \) hoặc \(\cos x = \cos \alpha \).
- Giải phương trình lượng giác cơ bản:
\(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) hoặc \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Lời giải chi tiết :
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) - \sqrt 3 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \dfrac{\pi }{3}.\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) - \sin \dfrac{\pi }{3}.\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \cos \dfrac{\pi }{3}\\ \Leftrightarrow \cos x = \cos \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Chọn A.
Đáp án A:
\(x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \)
Đáp án B:
\(x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k\pi \)
Đáp án C:
\(x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k\pi \)
Đáp án D:
\(x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \)
Câu hỏi 27
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Tập tất cả các giá trị của m để phương trình \(5\sin \,x - 12{\rm{cos}}\,x = m\) có nghiệm là:
Phương pháp giải :
Phương trình \(a\sin \,x + b\,{\rm{cos}}\,x = c\) có nghiệm \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge {c^2}.\)
Lời giải chi tiết :
Phương trình \(5\sin \,x - 12{\rm{cos}}\,x = m\) có nghiệm \( \Leftrightarrow {5^2} + {12^2} \ge {m^2} \Leftrightarrow \)\( - 13 \le m \le 13\).
Chọn A.
Đáp án A:
\( - 13 \le m \le 13\).
Đáp án B:
\( - 13 < m < 13\).
Đáp án C:
\(\left[ \begin{array}{l}m \ge 13\\m \le - 13\end{array} \right.\).
Đáp án D:
\(\left[ \begin{array}{l}m > 13\\m < - 13\end{array} \right.\).
Câu hỏi 28
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Nghiệm của phương trình \(\sqrt 3 \sin x - \cos x = 2\) là:
Phương pháp giải :
Giải phương trình lượng giác có dạng \(a\sin x + b\cos x = c\).
- Chia cả 2 vế của phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
- Sử dụng công thức \(\sin \left( {a \pm b} \right) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b\) đưa về phương trình lượng giác cơ bản \(\sin \alpha = \sin m\).
- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\sin \alpha = \sin m \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\alpha = m + k2\pi \\\alpha = \pi - m + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sqrt 3 \sin x - \cos x{\rm{ = 2}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x - \dfrac{1}{2}\cos x{\rm{ = 1}}\\ \Leftrightarrow \cos \dfrac{\pi }{6}.\sin x - \sin \dfrac{\pi }{6}.\cos x = 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow x - \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Chọn A.
Đáp án A:
\(x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \)
Đáp án B:
\(x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \)
Đáp án C:
\(x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \)
Đáp án D:
\(x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \)
Câu hỏi 29
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Phương trình \(3{\tan ^2}x + \left( {6 - \sqrt 3 } \right)\tan x - 2\sqrt 3 = 0\) có nghiệm là :
Phương pháp giải :
Giải phương trình bậc 2 rồi tìm nghiệm.
Lời giải chi tiết :
Ta có \(3{\tan ^2}x + \left( {6 - \sqrt 3 } \right)\tan x - 2\sqrt 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\\\tan x = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \\x = \arctan \left( { - 2} \right) + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Chọn C.
Đáp án A:
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = {\rm{arctan}}\left( { - 2} \right) + k2\pi \end{array} \right.\)
Đáp án B:
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \\x = {\rm{arctan}}\left( { - 2} \right) + k\pi \end{array} \right.\)
Đáp án C:
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \\x = {\rm{arctan}}\left( { - 2} \right) + k\pi \end{array} \right.\)
Đáp án D:
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \\x = - {\rm{arctan}}\left( 2 \right) + k\pi \end{array} \right.\)
Câu hỏi 30
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Cho phương trình \(m{\sin ^2}x + 2\sin x\cos x + 3m{\cos ^2}x = 1\). Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng \(\left( {0;2019} \right)\) của tham số \(m\) để phương trình vô nghiệm.
Phương pháp giải :
- TH1: \(\cos x = 0\).
- TH2: \(\cos x \ne 0\): Giải phương trình bậc hai đối với \(\sin x,\,\,\cos x\) bằng cách chia cả hai vế cho \({\cos ^2}x\), đưa phương trình về phương trình bậc hai đối với \(\tan x\).
- Điều kiện để phương trình bậc hai vô nghiệm là \(\Delta < 0\) hoặc \(\Delta ' < 0\).
Lời giải chi tiết :
Xét phương trình \(m{\sin ^2}x + 2\sin x\cos x + 3m{\cos ^2}x = 1\) (*)
TH1: \(\cos x = 0\), phương trình trở thành: \(m = 1\) (luôn đúng).
Khi đó phương trình luôn có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {\,k \in \mathbb{Z}} \right)\) khi \(m = 1\).Loại \(m = 1.\)
TH2: \(\cos x \ne 0\). Phương trình không có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {\,k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Chia cả hai vế của phương trình (*) cho \({\cos ^2}x\) ta được:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,m{\tan ^2}x + 2\tan \,x + 3m = 1 + {\tan ^2}x\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right){\tan ^2}x + 2\tan \,x + 3m - 1 = 0\,\,\left( {**} \right)\end{array}\)
Phương trình (**) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\\Delta ' = 1 - \left( {m - 1} \right)\left( {3m - 1} \right) < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\ - 3{m^2} + 4m < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{4}{3}\\m < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{4}{3}\\m < 0\end{array} \right.\)
Kết hợp 2 trường hợp ta có: \(m \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {\dfrac{4}{3}; + \infty } \right)\).
Mà \(m \in \mathbb{Z},\,\,m \in \left( {0;2019} \right)\)\( \Rightarrow m \in \left\{ {2;3;4;...;2018} \right\}\).
Vậy có 2017 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn: A.
Đáp án A:
\(2017\)
Đáp án B:
\(2018\)
Đáp án C:
\(2015\)
Đáp án D:
\(2016\)
Câu hỏi 31
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
\({\sin ^2}x - 3\sin x\cos x = - 1.\)
Lời giải chi tiết :
\({\sin ^2}x - 3\sin x.\cos x = - 1\)
+Xét \(\cos x = 0 \Rightarrow {\sin ^2}x = - 1(L)\)
+Xét \(\cos x \ne 0\). Chia 2 vế cho \({\cos ^2}x\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\tan ^2}x - 3\tan x = \frac{{ - 1}}{{{{\cos }^2}x}} = - 1\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = \frac{1}{2}\\\tan x = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \frac{1}{2} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Chọn B.
Đáp án A:
\(\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Đáp án B:
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \frac{1}{2} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Đáp án C:
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \arctan \frac{1}{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Đáp án D:
\(\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Câu hỏi 32
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
\({\sin ^2}x + 2{\cos ^2}x = 3\sin x\cos x.\)
Lời giải chi tiết :
\({\sin ^2}x + 2{\cos ^2}x = 3\sin x.\cos x\)
+Xét \(\cos x = 0 \Rightarrow {\sin ^2}x = 0 \Rightarrow x = 0\)
+Xét \(\cos x \ne 0\). Chia 2 vế cho \({\cos ^2}x\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\tan ^2}x + 2 - 3\tan x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 2\\\tan x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arctan 2 + k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Chọn C.
Đáp án A:
\(\left[ \begin{array}{l}x = \arctan 2 + k2\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Đáp án B:
\(\left[ \begin{array}{l}x = \arctan 2 + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Đáp án C:
\(\left[ \begin{array}{l}x = \arctan 2 + k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Đáp án D:
\(\left[ \begin{array}{l}x = \arctan 2 + k\pi \\x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Câu hỏi 33
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Giải phương trình: \(2\sin 2x\cos 2x + \sqrt 3 \cos 4x + \sqrt 2 = 0\)
Lời giải chi tiết :
\(2\sin 2x\cos 2x + \sqrt 3 \cos 4x + \sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow \sin 4x + \sqrt 3 .\cos 4x = - \sqrt 2 \)
Chia cả 2 vế cho \(\sqrt {1 + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = 2\) , ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{1}{2}.\sin 4x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.cos4x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {4x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\4x + \frac{\pi }{3} = \pi - \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{7\pi }}{{48}} + \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{{11\pi }}{{48}} + \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
KL: \(x \in \left\{ {\frac{{ - 7\pi }}{{48}} + \frac{{k\pi }}{2};\frac{{11\pi }}{{48}} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn D.
Đáp án A:
\(x \in \left\{ {\frac{{ - 7\pi }}{{48}} + k\pi ;\frac{{11\pi }}{{48}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án B:
\(x \in \left\{ {\frac{{ - 7\pi }}{{24}} + \frac{{k\pi }}{2};\frac{{11\pi }}{{24}} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án C:
\(x \in \left\{ {\frac{{ - 7\pi }}{{24}} + k\pi ;\frac{{11\pi }}{{24}} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án D:
\(x \in \left\{ {\frac{{ - 7\pi }}{{48}} + \frac{{k\pi }}{2};\frac{{11\pi }}{{48}} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Câu hỏi 34
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Giải phương trình: \(\cos x - \sqrt 3 \sin x = 2\cos 3x.\)
Lời giải chi tiết :
Chia cả 2 vế cho \(\sqrt {1 + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = 2\), ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{1}{2}.\cos x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\sin x = \cos 3x \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos 3x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{3} = 3x + k2\pi \\x + \frac{\pi }{3} = - 3x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} - k\pi \\x =- \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
KL: \(x \in \left\{ {\frac{\pi }{6} - k\pi ;-\frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}\) .
Chọn C.
Đáp án A:
\(x \in \left\{ {\frac{\pi }{6} - k\pi ;-\frac{\pi }{{12}} + k\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án B:
\(x \in \left\{ { - \frac{\pi }{6} - k\pi ;-\frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án C:
\(x \in \left\{ {\frac{\pi }{6} - k\pi ;-\frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án D:
\(x \in \left\{ { - \frac{\pi }{6} - k\pi ;-\frac{\pi }{{12}} + k\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Câu hỏi 35
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Số các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(m\sin x + 3\cos x = 2m\) có nghiệm là:
Phương pháp giải :
Phương trình dạng \(a\sin x + b\cos x = c\) có nghiệm \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge {c^2}\).
Lời giải chi tiết :
Phương trình \(m\sin x + 3\cos x = 2m\)có nghiệm \( \Leftrightarrow {m^2} + {3^2} \ge {\left( {2m} \right)^2}\).
\( \Leftrightarrow 3{m^2} \le 9 \Leftrightarrow {m^2} \le 3 \Leftrightarrow - \sqrt 3 \le m \le \sqrt 3 \).
Lại có \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\).
Chọn D.
Đáp án A:
\(2\)
Đáp án B:
\(4\)
Đáp án C:
\(1\)
Đáp án D:
\(4\)
Câu hỏi 36
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Giải phương trình \(2\tan x + \cot x - 3 = 0.\)
Lời giải chi tiết :
\(2\tan x + \cot x - 3 = 0\) (ĐK: \(x \ne k\pi ;\,\,x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \)).
Đặt \(\tan x = t \to 2t + \dfrac{1}{t} - 3 = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{t^2} - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \left( {\dfrac{1}{2}} \right) + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Đáp án A:
\(\left[ \begin{array}{l}
x =- \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\
x = -\arctan \left( {\dfrac{1}{2}} \right) + k\pi
\end{array} \right.\)
Đáp án B:
\(\left[ \begin{array}{l}
x = -\dfrac{\pi }{4} + k\pi \\
x = \arctan \left( {\dfrac{1}{2}} \right) + k\pi
\end{array} \right.\)
Đáp án C:
\(\left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\
x = \arctan \left( {\dfrac{1}{2}} \right) + k\pi
\end{array} \right.\)
Đáp án D:
\(\left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\
x =- \arctan \left( {\dfrac{1}{2}} \right) + k\pi
\end{array} \right.\)
Câu hỏi 37
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Xét đường tròn lượng giác như hình vẽ,biết \(\widehat {BOC} = \widehat {BOF} = {30^0}\) lần lượt là các điểm đối xứng với \(C,\,\,F\) qua gốc \(O\). Nghiệm của phương trình \(2\sin x - 1 = 0\) được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?
Phương pháp giải :
Giải phương trình lượng giác cơ bản \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Lời giải chi tiết :
\(2\sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Các điểm biểu diễn hai họ nghiệm trên là điểm \(C\) và điểm \(D\).
Chọn A.
Đáp án A:
Điểm \(C\), điểm \(D\).
Đáp án B:
Điểm \(E\), điểm \(F\)
Đáp án C:
Điểm \(C\), điểm \(F\)
Đáp án D:
Điểm \(E\), điểm \(D\)
Câu hỏi 38
Đáp án đúng:
Đáp án B
Câu hỏi:
Giải phương trình \(4{\sin ^4}x + 12{\cos ^2}x - 7 = 0\) có nghiệm là:
Phương pháp giải :
Giải phương trình trùng phương đối với một hàm số lượng giác, sử dụng công thức \({\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x\).
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}4{\sin ^4}x + 12{\cos ^2}x - 7 = 0 \Leftrightarrow 4{\sin ^4}x + 12\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) - 7 = 0\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^4}x - 12{\sin ^2}x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\sin ^2}x = \dfrac{5}{2}\,\,\left( {loai} \right)\\{\sin ^2}x = \dfrac{1}{2}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\\sin x = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\x = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Chọn B.
Đáp án A:
\(x = \pm \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \)
Đáp án B:
\(x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\)
Đáp án C:
\(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \)
Đáp án D:
\(x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \)
Câu hỏi 39
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Phương trình \(1 + \sin x - \cos x - \sin 2x = 0\) có bao nhiêu nghiệm trên \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)?
Phương pháp giải :
- Đặt \(t = \sin x - \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{2}\).
- Giải phương trình bậc hai đối với \(t\), sau đó tìm nghiệm \(x\).
- Tìm các nghiệm thuộc khoảng đề bài cho.
Lời giải chi tiết :
\(1 + \sin x - \cos x - \sin 2x = 0 \Leftrightarrow 1 + \sin x - \cos x - 2\sin x\cos x = 0\).
Đặt \(t = \sin x - \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{2}\).
Khi đó phương trình trở thành: \(1 + t + 1 - {t^2} = 0 \Leftrightarrow {t^2} - t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = - 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).
Với \(t = - 1\) ta có:
\(\begin{array}{l}\sin x - \cos x = - 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{4} = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Xét họ nghiệm \(x = k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) thuộc \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) ta có:
\(0 \le k2\pi < \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow 0 \le k < \dfrac{1}{4}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = 0\).
Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) thuộc \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) ta có:
\(0 \le \dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi < \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow 0 \le \dfrac{3}{2} + 2k < \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow - \dfrac{3}{4} \le k < - \dfrac{1}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow k \in \emptyset \).
Vậy phương trình có duy nhất 1 nghiệm \(x\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn A
Đáp án A:
\(1\)
Đáp án B:
\(2\)
Đáp án C:
\(3\)
Đáp án D:
\(4\)
Câu hỏi 40
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Giải phương trình \({\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} - \sqrt 2 \left( {\sin 2x + 1} \right) + \sin x + \cos x = - \sqrt 2 \).
Phương pháp giải :
Đặt \(t = \sin x + \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} - \sqrt 2 \left( {\sin 2x + 1} \right) + \sin x + \cos x = - \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} - \sqrt 2 \left( {2\sin x\cos x + 1} \right) + \sin x + \cos x = - \sqrt 2 \end{array}\)
Đặt \(t = \sin x + \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).
Khi đó phương trình trở thành:
\({t^2} - \sqrt 2 \left( {{t^2} - 1 + 1} \right) + t = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left( {1 - \sqrt 2 } \right){t^2} + t + \sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = 2 + \sqrt 2 \,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Khi \(t = - 1 \Rightarrow \sin x + \cos x = - 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{4} = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn D
Đáp án A:
\(x = k\pi ,\,\,x = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Đáp án B:
\(x = - \dfrac{\pi }{4} + 2k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Đáp án C:
\(x = k2\pi ,\,\,x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Đáp án D:
\(x = \pi + k2\pi ,\,\,x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)