110 bài tập trắc nghiệm nhị thức Newton mức độ nhận biết, thông hiểu

Khai triển nhị thức \({\left( {x + 2} \right)^{n + 5}}\,\,\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\) có tất cả \(2019\) số hạng nên \(n + 5 = 2019 + 1 \Leftrightarrow n = 2015\).

Chọn D.

Công thức số hạng tổng quát: \(C_{10}^k{x^k}\left( {0 \le k \le 10} \right)\)

Để có hệ số của \({x^6} \Rightarrow k = 6.\)

Vậy hệ số của \({x^6}\)  là \(C_{10}^6\).

Khai triển nhị thức:

\(\begin{array}{l}{\left( {2x + y} \right)^5} = C_5^0.{\left( {2x} \right)^5} + C_5^1.{\left( {2x} \right)^4}.y + C_5^2.{\left( {2x} \right)^3}.{y^2} + C_5^3.{\left( {2x} \right)^2}.{y^3} + C_5^4.{\left( {2x} \right)^1}.{y^4} + C_5^5.{\left( {2x} \right)^0}.{y^5}\\ = 32{x^5} + 80{x^4}y + 80{x^3}{y^2} + 40{x^2}{y^3} + 10x{y^4} + {y^5}.\end{array}\)

Chọn B.

Xét  khai triển \({(x + 1)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k.{x^{n - k}} = C_n^0.{x^n} + } C_n^1.{x^{n - 1}} + ... + C_n^{n - 1}.x + C_n^n.\)

Thay \(x = 1\) vào khai triển trên ta được:

\({(1 + 1)^n} = C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^{n - 1} + C_n^n \Leftrightarrow C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^{n - 1} + C_n^n = {2^n}.\)

Chọn A

Xét khai triển \({{\left( 3{{x}^{3}}-\frac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{5}}=\sum\limits_{k\,=\,\,0}^{5}{C_{5}^{k}}.{{\left( 3{{x}^{3}} \right)}^{5\,-\,k}}.{{\left( -\frac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{k}}=\sum\limits_{k\,=\,\,0}^{5}{C_{5}^{k}}{{.3}^{5\,-\,k}}.{{\left( -\,2 \right)}^{k}}.{{x}^{15\,\,-\,\,5k}}.\)

Hệ số của số hạng chứa \({{x}^{10}}\) ứng với \(15-5k=10\Leftrightarrow k=1.\)

Vậy hệ số cần tìm là \(C_{5}^{1}{{.3}^{4}}.\left( -\,2 \right)=-\,810.\)

Chọn A

\({{\left( 1-2x \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{1}^{10-k}}{{\left( -2x \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{\left( -2 \right)}^{k}}{{x}^{k}}}\)

Có hệ số của \({{x}^{3}}\Leftrightarrow k=3\Rightarrow \) Hệ số của \({{x}^{3}}\) là \(C_{10}^{3}{{\left( -2 \right)}^{3}}=-960\)

Chọn B.

Ta có :

\({\left( {3x - 4} \right)^9} = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k{{\left( {3x} \right)}^k}.{{\left( { - 4} \right)}^{9 - k}}}  = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k{3^k}.{{\left( { - 4} \right)}^{9 - k}}.{x^k}} \).

Do \(0 \le k \le 9;\,\,k \in Z \Rightarrow \) Khai triển trên có 10 số hạng.

Chọn B.

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có

\({\left( {x{y^2} - {1 \over {xy}}} \right)^8} = \sum\limits_{k\, = \,0}^8 {C_8^k} .{\left( {x{y^2}} \right)^{8 - k}}.{\left( { - {1 \over {xy}}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{x^{8 - k}}.{y^{16 - 2k}}.{\left( { - 1} \right)^k}.{\left( {xy} \right)^{ - k}} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{\left( { - 1} \right)^k}.{x^{8 - 2k}}.{y^{16 - 3k}}.\)

Số hạng không chứa \(x\) ứng với \(8 - 2k = 0 \Leftrightarrow k = 4\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \,\,\) Số hạng cần tìm là \(C_8^4.{\left( { - \,1} \right)^4}.{y^4} = 70{y^4}.\)

Chọn A

Ta có \(P\left( x \right) = {\left( {{x^2} + \dfrac{1}{x}} \right)^{15}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k.{{\left( {\dfrac{1}{x}} \right)}^k}.{x^{2\left( {15 - k} \right)}}} \)\( = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k.{x^{30 - 3k}}} \)

Khi đó số hạng không chứa x tức là \(30 - 3k = 0 \Leftrightarrow k = 10.\)

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển trên là: \(C_{15}^{10} = 3003.\)

Chọn C.

\({\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^{13}} = \sum\limits_{i = 0}^{13} {C_{13}^i{x^i}.{{\left( {\dfrac{1}{x}} \right)}^{13 - i}}}  = \sum\limits_{i = 0}^{13} {C_{13}^i{x^i}.{x^{ - \left( {13 - i} \right)}}}  = \sum\limits_{i = 0}^{13} {C_{13}^i{x^{2i - 13}}} \)

Số hạng chứa \({x^7}\) trong khai triểnứng với \(i\) thỏa mãn  \(2i - 13 = 7 \Leftrightarrow i = 10\)

Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^7}\) là: \(C_{13}^{10} = 286\).

Chọn D.

Ta có \({\left( {3{x^3} - \dfrac{1}{x}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k \to 0}^{10} {C_{10}^k{{.3}^k}.{x^{3k}}.\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^{10 - k}}}}{{{x^{10 - k}}}}}  = \sum\limits_{k \to 0}^{10} {C_{10}^k.{{\left( { - 1} \right)}^{10 - k}}{{.3}^k}.{x^{4k - 10}}} \)

Hệ số của \({x^6}\) ứng với \(4k - 10 = 6 \Leftrightarrow k = 4.\)

Do đó hệ số của \({x^6}\) là \(C_{10}^4.{\left( { - 1} \right)^{10 - 4}}{.3^4} = 17010.\)

\({3^n}.C_n^0 - {3^{n - 1}}.C_n^1 + {3^{n - 2}}.C_n^2 - {3^{n - 3}}.C_n^3 + ... + {\left( { - 1} \right)^n}.C_n^n = 2048\)  \(\left(  *  \right)\)

\( + )\)Xét khai triển: \({\left( {x - 1} \right)^n} = C_n^0.{x^n}.{\left( { - 1} \right)^0} + C_n^1.{x^{n - 1}}.{\left( { - 1} \right)^1} + C_n^2.{x^{n - 2}}.{\left( { - 1} \right)^2} + ... + C_n^n.{x^0}.{\left( { - 1} \right)^n}\)

\( + )\)Thay \(x = 3\)vào 2 vế\( \Rightarrow \)\({\left( {3 - 1} \right)^n} = C_n^0{.3^n} - C_n^1{.3^{n - 1}} + ... + C_n^n{.3^0}.{\left( { - 1} \right)^n}\)

\( \Leftrightarrow \)\({2^n} = 2048\)\( \Rightarrow \)\(n = 11\)

Chọn C

\( + )\)Xét đáp án C:

Vì \(C_n^k = C_n^{n - k}\)\( \Rightarrow C_{2n}^{n + 1} = C_{2n}^{2n - n - 1} = C_{2n}^{n - 1}\)

                             .... Chứng minh các số hạng còn lại ở 2 vế tương tự như trên

     ....

    \(C_{2n}^{2n} = C_{2n}^{2n - 2n} = C_{2n}^0\)

\( \Rightarrow C_{2n}^{n + 1} + C_{2n}^{n + 2} + ... + C_{2n}^{2n} = C_{2n}^{n - 1} + C_{2n}^{n - 2} + ... + C_{2n}^0\)

Chọn B.

\(S = C_{2n}^0 + C_{2n}^1 + ... + C_{2n}^{2n}\)

Xét: \({\left( {x + 1} \right)^{2n}} = C_{2n}^0.{x^{2n}}{.1^0} + C_{2n}^1.{x^{2n - 1}}{.1^1} + ... + C_{2n}^{2n}.{x^0}{.1^{2n}}\) 

\( + )\)Thay \(x = 1\) vào 2 vế, ta có: \({\left( {1 + 1} \right)^{2n}} = C_{2n}^0 + C_{2n}^1 + ... + C_{2n}^{2n}\)\( \Leftrightarrow {2^{2n}} = S\)

Chọn A.

+ Số hạng tổng quát của \({\left( {x - \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)^8}\)là:  \(T_{k + 1}^{} = C_8^k.{x^{8 - k}}{\left( {\dfrac{{ - 1}}{{{x^3}}}} \right)^k} = C_6^k.{x^{8 - 4k}}.{\left( { - 1} \right)^k}\)

+ Số hạng không chứa x ứng với: \({x^{8 - 4k}} = {x^0} \Rightarrow k = 2\)

+ Vậy Số hạng không chứa x là: \(C_8^2.{\left( { - 1} \right)^2} = 28\)

Chọn B.

Xét khai triển:

\({\left( {3x - 4} \right)^{17}} = C_{17}^0.{\left( {3x} \right)^{17}}.{\left( { - 4} \right)^0} + C_{17}^1.{\left( {3x} \right)^{16}}.{\left( { - 4} \right)^1} + C_{17}^2.{\left( {3x} \right)^{15}}.{\left( { - 4} \right)^2} + ... + C_{17}^{17}.{\left( {3x} \right)^0}.{\left( { - 4} \right)^{17}}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {3x - 4} \right)^{17}} = C_{17}^0{.3^{17}}.{\left( { - 4} \right)^0}.{x^{17}} + C_{17}^1{.3^{16}}.{\left( { - 4} \right)^1}.{x^{16}} + ... + C_{17}^{17}{.3^0}.{\left( { - 4} \right)^{17}}.{x^0}\)

Thay \(x = 1\) vào, ta có:

\({\left( {3.1 - 4} \right)^{17}} = C_{17}^0{.3^{17}}.{\left( { - 4} \right)^0} + C_{17}^1{.3^{16}}.{\left( { - 4} \right)^1} + ... + C_{17}^{17}{.3^0}.{\left( { - 4} \right)^{17}}\)

\( \Leftrightarrow  - 1 = S\)\( \Leftrightarrow S =  - 1\)

Chọn B.

Ta có: \(P\left( x \right) = {\left( {x - \dfrac{2}{{{x^2}}}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k.{x^{10 - k}}.{{\left( {\dfrac{{ - 2}}{{{x^2}}}} \right)}^k}}  = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k.{{\left( { - 2} \right)}^k}.{x^{10 - 3k}}} \)

Hệ số của \({x^4}\) trong khai triển ứng với \(10 - 3k = 4 \Leftrightarrow k = 2.\)

Vậy hệ số của \({x^4}\) trong khai triển là: \(C_{10}^2.{\left( { - 2} \right)^2} = 180.\)

Chọn D.

Số hạng tổng quát trong khai triển của \({\left( {2x + {x^2}} \right)^{10}}\) là: \({T_{k + 1}} = C_{10}^k.{\left( {2x} \right)^{10 - k}}{\left( {{x^2}} \right)^k} = C_{10}^k{.2^{10 - k}}.{x^{10 + k}}\)

+ Số hạng chứa \({x^{12}}\)\( \Rightarrow {x^{10 + k}} = {x^{12}} \Rightarrow k = 2\)

+ Hệ số của số hạng chứa \({x^{12}}\) là: \(C_{10}^2{.2^8}\)

Chọn B.

Số hạng tổng quát \({T_{k + 1}} = C_{20}^k{\left( {2{x^2}} \right)^{20 - k}}.{\left( { - \dfrac{3}{{\sqrt x }}} \right)^k}\) \( = C_{20}^k{.2^{20 - k}}.{\left( { - 3} \right)^k}.{x^{40 - 2k - \dfrac{k}{2}}}\) \( = C_{20}^k{.2^{20 - k}}.{\left( { - 3} \right)^k}.{x^{40 - \dfrac{{5k}}{2}}}\)

Số hạng không chứa \(x\) ứng với \(40 - \dfrac{{5k}}{2} = 0 \Leftrightarrow k = 16\)

Vậy số hạng không chứa \(x\) là \(C_{20}^{16}{.2^4}.{\left( { - 3} \right)^{16}} = 16C_{20}^{16}{.3^{16}}\).

Chọn B.

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {x\sqrt x  + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)^{11}} = {\left( {{x^{\frac{3}{2}}} + {x^{ - 4}}} \right)^{11}}\,\,\left( {0 \le k \le 11,\,\,k \in \mathbb{N}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k{{\left( {{x^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{11 - k}}{{\left( {{x^{ - 4}}} \right)}^k}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k{x^{\frac{{33 - 3k}}{2}}}{x^{ - 4k}}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k{x^{\frac{{33 - 11k}}{2}}}} \end{array}\)

Số hạng không chứa \(x\) trong khai triển ứng với  \(\frac{{33 - 11k}}{2} = 0 \Leftrightarrow k = 3\).

Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển trên là \(C_{11}^3 = 165\). 

Chọn D.