Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Đề bài

Một đoàn tàu chuyển động khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường s (mét) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t (phút). Ở những phút đầu tiên, hàm số đó là s = t².

Hãy tính vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng [t; t_o] với t_o = 3 và t = 2; t = 2,5; t = 2,9; t = 2,99.

Nêu nhận xét về những kết quả thu được khi t càng gần t_o = 3.

Lời giải chi tiết

Vận tốc của đoàn tàu là:

\(v = {s \over t} = {{{t^2}} \over t} = t\)

 a

Vẽ đồ thị của hàm số f(x) = \({{{x^2}} \over 2}\)

Lời giải chi tiết:

 b

Tính f’(1).

Lời giải chi tiết:

- Giả sử Δx là số gia của đối số tại x_o = 1. Ta có:

Đề bài

Cho hàm số y = -x² + 3x – 2. Tính y’(2) bằng định nghĩa.

Tìm số gia của hàm số \(f(x) =  x^3\), biết rằng:

 a

\(x_0 = 1; ∆x = 1\)

Phương pháp giải:

Số gia của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là: \(\Delta f\left( x \right) = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

 a

\(y = x^2+ x\) tại \(x_0= 1\)

Phương pháp giải:

Bước 1: Giả sử \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0\), tính \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\).

Bước 2: Lập tỉ số \(\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Bước 3: Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong \(y = x^3\):

 a

Tại điểm có tọa độ \((-1;-1)\)

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

Một vật rơi tự do theo phương trình \(s = {1 \over 2}g{t^2}\) , trong đó \(g ≈ 9,8\) m/s² là gia tốc trọng trường.

 a

Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến \(t + ∆t\), trong các trường hợp \(∆t = 0,1s; ∆t = 0,05s; ∆t = 0,001s\).

Phương pháp giải:

Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ \(t\) đến \(t + ∆t\) là  \(v_{tb}=  \dfrac{s\left ( t+\Delta t \right )-s\left ( t \right )}{\Delta t}\)