Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp

Giải các phương trình trong ví dụ 1.

a

a) 2sinx – 3 = 0 là phương trình bậc nhất đối với sinx.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản.

Lời giải chi tiết:

2sinx – 3 = 0 ⇔ sin⁡ x = \({3 \over 2}\) , vô nghiệm vì |sin⁡x| ≤ 1

b

√3 tanx + 1 = 0 là phương trình bậc nhất đối với tanx.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản.

Lời giải chi tiết:

Hãy nhắc lại:

 a

Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản;

Lời giải chi tiết:

Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản:

sin²α + cos²α = 1

1 + tan²α = \({1 \over {{{\cos }^2}\alpha }}\); α ≠ \({\pi  \over 2}\) + kπ, k ∈ Z

1 + cot²α = \({1 \over {{{\sin }^2}\alpha }}\); α ≠ kπ, k ∈ Z

tan⁡α.cot⁡α = 1; α ≠ \({{k\pi } \over 2}\), k ∈ Z

 b

Công thức cộng;

Lời giải chi tiết:

Công thức cộng:

Dựa vào các công thức cộng đã học

sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa;

sin(a – b) = sina cosb - sinb cosa;

cos(a + b) = cosa cosb – sina sinb;

cos(a – b) = cosa cosb + sina sinb;

và kết quả cos \({\pi  \over 4}\) = sin\({\pi  \over 4}\) = \({{\sqrt 2 } \over 2}\), hãy chứng minh rằng:

 a

sinx + cosx = √2 cos(x - \({\pi  \over 4}\));

Lời giải chi tiết:

sin⁡x + cos⁡x = √2.(\({{\sqrt 2 } \over 2}\) sin⁡x + \({{\sqrt 2 } \over 2}\) cos⁡x )

Đề bài

Giải phương trình 

\({\sin ^2}x - {\mathop{\rm sinx}\nolimits}  = 0\).

Giải các phương trình sau:

 a

\(si{n^2}{x \over 2} - {\rm{ }}2cos{x \over 2} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức \({\sin ^2}\frac{x}{2} = 1 - {\cos ^2}\frac{x}{2}\)

+) Đặt ẩn phụ \(t = \cos \frac{x}{2}\,\,\,\left( {t \in \left[ { - 1;1} \right]} \right)\), đưa về phương trình bậc hai ẩn t, giải phương trình suy ra các nghiệm t.

+) Giải các phương trình lượng giác cơ bản của cos: \(\cos x = \cos \alpha  \Leftrightarrow x =  \pm \alpha  + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Giải các phương trình sau:

 a

\(cosx - \sqrt3sinx = \sqrt2\);  

Phương pháp giải:

Phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với sin và cos: \(a\sin x + b\cos x = c\,\,\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\)

- Chia cả hai vế cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \), khi đó phương trình có dạng:

\(\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)