Bài 4. Cấp số nhân

Đề bài

Tục truyền rằng nhà vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ Vua được lựa chọn một phần thưởng tùy theo sở thích. Người đó chỉ xin nhà vua thưởng cho số thóc bằng số thóc được đặt lên 64 ô của bàn cờ như sau: Đặt lên ô thứ nhất của bàn cờ một hạt thóc, tiếp ô thứ hai hai hạt, … cứ như vậy, số hạt thóc ở ô sau gấp đôi số hạt thóc ở ô trước cho đến ô cuối cùng.

Hãy cho biết số hạt thóc ở các ô từ ô thứ nhất đến thứ sáu của bàn cờ.

Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = -2 và \(\displaystyle q = {{ - 1} \over 2}\)

 a

Viết năm số hạng đầu của nó

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& \cr 
& {u_1} = - 2 \cr 
& {u_2} = {u_1}.q = - 2.{{ - 1} \over 2} = 1 \cr 
& {u_3} = {u_2}.q = 1.{{ - 1} \over 2} = {{ - 1} \over 2} \cr 
& {u_4} = {u_3}.q = {{ - 1} \over 2}.{{ - 1} \over 2} = {1 \over 4} \cr 
& {u_5} = {u_4}.q = {1 \over 4}.{{ - 1} \over 2} = {{ - 1} \over 8} \cr} \)

Đề bài

Tính tổng: 

\(\displaystyle S = 1 + {1 \over 3} + {1 \over {{3^2}}} + ... + {1 \over {{3^n}}}\)

Cho cấp số nhân với công bội \(q\).

 a

Biết \(u_1= 2, u_6= 486\). Tìm \(q\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({u_6} = {u_1}.{q^5} \Leftrightarrow 486 = 2.{q^5}\) \( \Leftrightarrow {q^5} = 243 \Leftrightarrow q = 3\)

 b

Biết \(q = \dfrac{2}{3}\), \(u_4= \dfrac{8}{21}\). Tìm \(u_1\)

Phương pháp giải:

Đề bài

Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là \(31\) và tổng của năm số hạng sau là \(62\).

Đề bài

Cho hình vuông C₁ có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C₂ (hình bên). Từ hình vuông C₂ lại tiếp tục như trên để được hình vuông C₃… Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được các dãy các hình vuông C₁, C₂, C₃, …,C_n

Gọi a_n là độ dài cạnh của hình vuông C_n. Chứng minh dãy số (a_n) là một cấp số nhân.