Bài 2. Quy tắc tính đạo hàm

Đề bài

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = x³ tại điểm x tùy ý.

Dự đoán đạo hàm của hàm số \(y = {x^{100}}\) tại điểm x.

Đề bài

Có thể trả lời ngay được không, nếu yêu cầu tính đạo hàm của hàm số f(x) = √x tại x = - 3; x = 4?

Lời giải chi tiết

x = - 3 < 0 nên f(x) không có đạo hàm tại x = - 3

x = 4, đạo hàm của f(x) là:

\({1 \over {2\sqrt 4 }} = {1 \over 4}\)

Đề bài

Hãy chứng minh các công thức trên và lấy ví dụ minh họa.

Lời giải chi tiết

- Nếu \(k\) là một hằng số thì \( (ku)’ = ku’\)

Thật vậy, ta có: \((ku)' = k'u + ku' = 0.u + ku' = ku'\) (do đạo hàm của hàm hằng bằng \(0\))

Ví dụ: \(\left( {3{x^2}} \right)' = 3.\left( {{x^2}} \right)' = 3.2x = 6x\)

\(\displaystyle \left( {{1 \over v}} \right)' = -{{v'} \over {{v^2}}}\,(v = v(x) \ne 0)\)

Thật vậy, ta có:

Bằng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:

 a

\(y = 7 + x - x^2\) tại \(x_0 = 1\)

Phương pháp giải:

Bước 1: Giả sử \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0\), tính \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\).

Bước 2: Lập tỉ số \(\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Bước 3: Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Kết luận \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

 a

\(y = {({x^{7}} - 5{x^2})^3}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\), đạo hàm của hàm hợp \(\left[ {f\left( u \right)} \right]' = u'.f'\left( u \right)\), các quy tắc tính đạo hàm của tích và thương:

\(\begin{array}{l}\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\\\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Cho \(y = x^3-3x^2+ 2\). Tìm \(x\) để :

 a

\(y' > 0\)

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm của hàm số và giải các bất phương trình.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
y' = \left( {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right)'\\
= \left( {{x^3}} \right)' - \left( {3{x^2}} \right)' + \left( 2 \right)'\\
= 3{x^2} - 3.2x + 0\\
= 3{x^2} - 6x
\end{array}\)