Bài 2. Dãy số

Đề bài

Cho hàm số \(\displaystyle f(n) ={1 \over {2n - 1}}\), n ∈ N*. Tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5).

Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của các dãy số sau:

 a

Dãy nghịch đảo của các số tự nhiên lẻ;

Lời giải chi tiết:

Năm số hạng đầu: 

\(\displaystyle {1 \over 1};\,{1 \over 3};\,{1 \over 5};\,{1 \over 7};\,{1 \over 9}\)

Số hạng tổng quát của dãy số: \(\displaystyle{1 \over {2n - 1}}\) (n∈N*)

 b

Dãy các số tự nhiên chia cho 3 dư 1.

Lời giải chi tiết:

Năm số hạng đầu: 1;4;7;10;13

Số hạng tổng quát của dãy số: 3n + 1(n ∈ N)

Cho các dãy số (u_n) và (v_n) với u_n = 1 + \({1 \over n}\); v_n = 5n – 1.

 a

Tính u_n+1, v_n+1.

Phương pháp giải:

Thay giá trị \(n+1\) vào hai dãy tìm u_n+1, v_n+1

Lời giải chi tiết:

u_n = 1 + \({1 \over {n+1}}\); v_n+1= 5(n + 1) - 1 = 5n + 4

 b

Chứng minh u_n+1 < u_n và v_n+1 > v_n, với mọi n ∈ N*.

Dãy số \(u_n\) cho bởi: \(u_1= 3\); \(u_{n+1}\)= \( \sqrt{1+u^{2}_{n}}\),\( n ≥ 1\).

 a

Viết năm số hạng đầu của dãy số.

Phương pháp giải:

Để viết năm số hạng đầu tiên của dãy số ta tính \(u_n\) lần lượt tại \(n=1;2;3;4\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\( u_2 = \sqrt {1 + u_1^2} = \sqrt{1+3^2} = \sqrt{10}\)

\(u_3= \sqrt {1 + u_2^2}= \sqrt{1+ (\sqrt{10})^2} = \sqrt{11}\)

\(u_4= \sqrt {1 + u_3^2}= \sqrt{1+(\sqrt{11})^2} = \sqrt{12}\)

Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên, dãy số nào bị chặn?

 a

\(u_n= 2n^2-1\)

Phương pháp giải:

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho \({u_n} \le M\,\,\forall n \in N^*\).

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới  nếu tồn tại một số m sao cho \({u_n} \ge m\,\,\forall n \in N^*\).