Ôn tập cuối năm - Phần đại số và giải tích - Lớp 11

Đề bài

Nêu định nghĩa các hàm số lượng giác. Chỉ rõ tập xác định và giá trị của từng hàm số đó.

Đề bài

Nêu cách giải các phương trình lượng giác cơ bản, cách giải phương trình dạng: \(a\sin x + b \cos x = c\)

Đề bài

Viết công thức tính số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử, công thức tính số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử. Cho ví dụ.

Lời giải chi tiết

*) Số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là \(A_n^k = {{n!} \over {(n - k)!}}=n(n-1)...(n-k+1)\)

Ví dụ: Cho \(10\) điểm \(A_1,A_2, ...A_{10}\) phân biệt. Số vecto tạo bởi hai trong \(10\) điểm đã cho là \(A_{10}^2\).

*) Số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là: \(C_n^k = {{n!} \over {k!(n - k)!}}(n,k \in N,k \le n)\)

Đề bài

Phát biểu định nghĩa xác suất (cổ điển) của biến cố.

Lời giải chi tiết

Giả sử \(A\) là một biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện.

Kí hiệu \(n(Ω), n(A)\) theo thứ tự là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử và số phần tử của A.

Ta gọi tỉ số \({{n(A)} \over {n(\Omega )}}\) là xác suất của biến cố \(A\), kí hiệu là \(P(A)\).

Công thức tính: \(P(A) = {{n(A)} \over {n(\Omega )}}\)

Đề bài

Phát biểu định nghĩa cấp số cộng và công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên của một cấp số cộng.

Lời giải chi tiết

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số \(d\) không đổi, nghĩa là: \((u_n)\) là cấp số cộng \(⇔ ∀ n ≥ 2, u_n= u_{n+1}+ d\)

Số \(d\) gọi là công sai của cấp số cộng.

Tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là:

Đề bài

Dãy số \((u_n)\) thỏa mãn điều kiện gì thì được gọi là có giới hạn \(0\) khi \(n\) dần tới dương vô cực.

Lời giải chi tiết

Ta nói dãy số \((u_n)\) có giới hạn là \(0\) khi \(n\) dần tới dương vô cực, nếu \(|u_n|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {u_n} = 0\) hay \(u_n\rightarrow 0\) khi \(n \rightarrow +∞\)

Đề bài

Định nghĩa hàm số có giới hạn \(+ ∞\) khi \(x \rightarrow - ∞\)

Lời giải chi tiết

Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((-∞, a)\)

Ta nói hàm số \(f(x)\) có giới hạn là \(+ ∞\) khi \(x \rightarrow - ∞\) nếu với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(x_n< a\) và \(x_n \rightarrow - ∞\), ta có \(f(x_n) \rightarrow +∞\).

Kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) =  + \infty \)

Ví dụ:

Đề bài

Nêu định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng. Nêu hình ảnh hình học của một hàm số liên tục trên một khoảng.

Lời giải chi tiết

Định nghĩa 1:

+ Hàm số \(f(x)\) xác định trên khoảng \(K\) được gọi là liên tục tại \(x_0∈ K\) nếu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})\)

+ Hàm số không liên tục tại điểm \(x_0\) thì được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

Định nghĩa 2:

Đề bài

Viết tất cả các công thức tính đạo hàm đã học.

Lời giải chi tiết

Quy tắc tính đạo hàm:

+) \((u + v – w) = u’ + v’ – w’\)

+) \((u.v.w)’ = u’.vw + u.v’w + u.v.w’\)

+) \( (u.v)’ = u.v’ + v.u’\)

+) \(({u \over v})' = {{u.v' - u'.v} \over {{v^2}}}(v = v(x) \ne 0)\)

+) \(({1 \over u})' =  - {{u'} \over {{u^2}}}(u = u(x) \ne 0)\)