Ôn tập chương 3 - Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân

Đề bài

Khi nào thì cấp số cộng là dãy số tăng, dãy số giảm?

Đề bài

Cho hai cấp số cộng có cùng số các số hạng, Tổng các số hạng tương ứng của chúng có lập thành một cấp số cộng không? Vì sao? Cho ví dụ minh họa.

Chứng minh rằng với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\), ta có:

 a

\(13^n-1\) chia hết cho \(6\)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Với \(n = 1\), ta có: \(13^1– 1 = 13– 1 = 12 \,\,⋮\,\, 6\)

Giả sử: \(13^k- 1\) \( ⋮ \) \(6\) với mọi \(k ≥ 1\)

Ta chứng minh: \(13^{k+1}– 1\) chia hết cho \(6\)

Thật vậy:

\({13^{k + 1}}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}{13^{k + 1}}-{\rm{ }}{13^k} + {\rm{ }}{13^k} - 1{\rm{ }} \)

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số \((u_n)\), biết:

 a

\({u_n} = n + {1 \over n}\)

Phương pháp giải:

*) Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\).

Nếu hiệu trên dương thì dãy số là dãy số tăng.

Nếu hiệu trên âm thì dãy số là dãy số giảm.

Nếu hiệu trên bằng 0 thì dãy số là dãy không đổi.

*) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số \(M\) sao cho \({u_n} \le M\,\,\forall n \in {N^*}\).

Tìm số hạng đầu \(u_1\) và công bội của các cấp số nhân \((u_n)\), biết:

 a

\(\left\{ \matrix{{u_6} = 192 \hfill \cr {u_7} = 384 \hfill \cr} \right.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của CSN: \( {u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \matrix{{u_6} = 192 \hfill \cr {u_7} = 384 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{{u_1}.{q^5} = 192\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr {u_1}.{q^6} = 384\,\,\,\,\,\,(2) \hfill \cr} \right.\)

Đề bài

Biết rằng ba số \(x, y, z\) lập thành một cấp số nhân và ba số \(x, 2y, 3z\) lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân.

Đề bài

Chứng minh rằng nếu các số \({a^2},{b^2},{c^2}\) lập thành một cấp số cộng \((abc ≠ 0)\) thì các số \(\displaystyle{1 \over {b + c}},{1 \over {c + a}};{1 \over {a + b}}\) cũng lập thành một cấp số cộng.

Đề bài

Hãy cho biết dãy số \((u_n)\) nào dưới đây là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát \(u_n\) của nó là:

A. \({( - 1)^{n + 1}}.\sin {\pi  \over n}\)      B. \({( - 1)^{2n}}({5^n} + 1)\)

C. \(\displaystyle{1 \over {\sqrt {n + 1}  + n}}\)         D. \(\displaystyle{n \over {{n^2} + 1}}\)

Video hướng dẫn giải

Đề bài

Cho cấp số nhân \(-4, x, -9\). Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

\(A. x = 36\)                           \(B. x = -6,5\)

\(C. x = 6\)                              \(D. x =-36\)

Đề bài

Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân:

A. \(\left\{ \matrix{
{u_1} = 2 \hfill \cr 
{u_{n + 1}} = u_n^2 \hfill \cr} \right.\)

B. \(\left\{ \matrix{
{u_1} = - 1 \hfill \cr 
{u_{n + 1}} = 3{u_n} \hfill \cr} \right.\)

C. \(\left\{ \matrix{
{u_1} = - 3 \hfill \cr 
{u_{n + 1}} = {u_n} + 1 \hfill \cr} \right.\)

D. \(7,{\rm{ }}77,{\rm{ }}777,....\underbrace {777..77}_n\)