65 bài tập trắc nghiệm nguyên hàm mức độ nhận biết, thông hiểu

Ta có \(\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {3 - 2x} \right)dx =  - {x^2} + 3x + C} } \).

Chọn B.

Ta có: \(\int {f'\left( x \right)dx}  = f\left( x \right) + C\) (C là hằng số) \( \Rightarrow \) đáp án B đúng.

\(\int {\sin xdx =  - \cos x + C} \)  (C là hằng số) \( \Rightarrow \) đáp án C đúng.

\(\int {\dfrac{1}{x}dx}  = \ln \left| x \right| + C\) (C là hằng số) \( \Rightarrow \) đáp án D đúng.

\( \Rightarrow \)Chỉ có đáp án A sai.

Chọn A.

Ta có:\(\int {\sin 3xdx}  =  - \frac{1}{3}\cos 3x + C.\)

Chọn B.

\(\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {{2^x} + x} \right)dx = \dfrac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + \dfrac{{{x^2}}}{2} + C} } \).

Chọn D.

Ta có \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {x + {e^x}} \right)dx = \frac{{{x^2}}}{2} + } {e^x} + C\).

Chọn B.

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = 3{x^2} + 8\sin x\\ \Rightarrow \int {f\left( x \right)dx = \int {3{x^2}dx + \int {8\sin xdx} } } \\ \Rightarrow \int {f\left( x \right)dx}  = {x^3} - 8\cos x + C.\end{array}\)

Chọn C.

\(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx}  = \dfrac{1}{3}{x^3} + {x^2} + C\).

Chọn A.

Ta có \(\int{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\int{{{2018}^{x}}\,\text{d}x}=\frac{{{2018}^{x}}}{\ln 2018}+C.\)

Chọn C

\(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {x - {e^x}} \right)dx}  = \dfrac{{{x^2}}}{2} - {e^x} + C.\)

Chọn D.

\(f\left( x \right) = 4{x^3} \Rightarrow F\left( x \right) = {x^4} + C.\)

Chọn D.

\(f\left( x \right)=\left( \int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)dx} \right)'=12{{x}^{2}}-6x+2\)

Chọn B.

\(\int{f(x)dx}=\int{\left( 2\sqrt{x}+3x \right)dx}=2\int{{{x}^{\frac{1}{2}}}dx+3\int{xdx}}=2.\frac{{{x}^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}+3.\frac{{{x}^{2}}}{2}+C=\frac{4}{3}x\sqrt{x}+\frac{3}{2}{{x}^{2}}+C\)

Chọn: B

Ta có \(\int{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\int{\tan 2x\,\text{d}x}=\frac{1}{2}\int{\tan 2x\,\text{d}\left( 2x \right)}=-\frac{1}{2}\ln \left| \cos 2x \right|+C.\)

Chọn D

Ta có \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+2x}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\frac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}-1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=1-\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\)

\(\Rightarrow \int{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\int{\left( 1-\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \right)\,\text{d}x}=x+\frac{1}{x+1}+C=\frac{{{x}^{2}}+x+1}{x+1}+C\)

Với \(C=0,\) ta được \(\int{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\frac{{{x}^{2}}+x+1}{x+1}\,\,\xrightarrow{{}}\) Đáp án B đúng.

Với \(C=-\,4,\) ta được \(\int{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\frac{{{x}^{2}}+x+1}{x+1}-4=\frac{{{x}^{2}}-3x-3}{x+1}\,\,\xrightarrow{{}}\) Đáp án C đúng.

Với \(C=-\,2,\) ta được \(\int{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\frac{{{x}^{2}}+x+1}{x+1}-2=\frac{{{x}^{2}}-x-1}{x+1}\,\,\xrightarrow{{}}\) Đáp án D đúng.

Vậy \(y=\frac{{{x}^{2}}+1}{x+1}\) không phải nguyên hàm của hàm số đã cho. 

Chọn A

Mệnh đề (I) và mệnh đề (IV) sai, còn lại 4 mệnh đề đúng.

Chọn A.

Ta có \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\tan ^2}x\) nên

\(\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {{{\tan }^2}x} dx\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} \\ \Rightarrow F\left( x \right) = \tan x - x + C\end{array}\)

Mà \(F\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = 0 \Rightarrow 1 - \dfrac{\pi }{4} + C = 0 \Leftrightarrow C = \dfrac{\pi }{4} - 1.\)

Vậy \(F\left( x \right) = \tan x - x + \dfrac{\pi }{4} - 1.\)

Chọn B.

Ta có \(\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {8{x^3} + 6x} \right)} dx = 2{x^4} + 3{x^2} + C} \)

Chọn D.

Vì \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 6x + \sin 3x\) nên \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {6x + \sin 3x} \right)dx} } \)

\( \Rightarrow F\left( x \right) = 3{x^2} - \dfrac{{\cos 3x}}{3} + C\)

Mà \(F\left( 0 \right) = \dfrac{2}{3} \Rightarrow 3.0 - \dfrac{1}{3} + C = \dfrac{2}{3} \Rightarrow C = 1\)

Vậy \(F\left( x \right) = 3{x^2} - \dfrac{{\cos 3x}}{3} + 1.\)

Chọn A.

Ta có \(F\left( x \right) = {x^2} + \sin x\)\( \Rightarrow F'\left( x \right) = 2x + \cos x\)

Nên \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(y = 2x + \cos x.\)

Chọn B.

Ta có: \(\int {\dfrac{{dx}}{x}}  = \ln \left| x \right| + C = \ln x + C\,\,\left( {do\,\,x > 0} \right)\).

Dựa vào các đáp án ta thấy:

Đáp án A: \(\dfrac{1}{2}\ln {x^2} = \ln \left| x \right| = \ln x\) là 1 nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\) khi \(C = 0\).

Đáp án B: \(\ln x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\) khi \(C = 0\).

Đáp án C: \(\ln 2x = \ln 2 + \ln x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\) khi \(C = \ln 2\).

Chọn D.

Ta có: \(F\left( x \right) = \int {\sin 2xdx}  =  - \frac{1}{2}\cos 2x + C\) \( \Rightarrow \) đáp án C đúng.

Lại có: \( - \frac{1}{2}\cos 2x + C =  - \frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) + C\)\( =  - {\cos ^2}x + C'\)\( \Rightarrow \) đáp án A đúng.

\( - \frac{1}{2}\cos 2x + C =  - \frac{1}{2}\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + C\)\( = {\sin ^2}x + C'\) \( \Rightarrow \) đáp án B đúng.

Chọn D.

\(F\left( x \right) = \int {x\ln x} dx\).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = xdx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{x}\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2}.\ln x - \int {\dfrac{{{x^2}}}{2}.\dfrac{{dx}}{x}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x - \dfrac{1}{2}\int {xdx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x - \dfrac{{{x^2}}}{4} + C\\F\left( 1 \right) = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{4} + C = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow C = 1\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x - \dfrac{{{x^2}}}{4} + 1\end{array}\)

Chọn A.

Đặt \(I = \int {\dfrac{{{e^x}}}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}dx} \)

Đặt \(t = \sqrt {{e^x} + 1}  \Rightarrow {t^2} = {e^x} + 1\) \( \Rightarrow 2tdt = {e^x}dx\).

Khi đó ta có: \(I = \int {\dfrac{{2tdt}}{t} = \int {2dt.} } \)

Chọn A.

Nếu hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên khoảng  thì \(F\left( x \right) + C = \int {f\left( x \right)dx} \). Suy ra khẳng định A đúng.

Khi đó ta có \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

Ta lại có \(\left( {\int {f\left( x \right)dx} } \right)' = f\left( x \right) = F'\left( x \right)\). Suy ra khẳng định B, C đúng.

Chọn D.

Ta có: \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt}  = \int {\dfrac{3}{{t + 1}}dt}  = 3\ln \left| {t + 1} \right| + C\).

Theo bài ra ta có: \(v\left( 0 \right) = 6 \Leftrightarrow 6\ln 1 + C = 6 \Leftrightarrow C = 6\). Khi đó \(v = 3\ln \left| {t + 1} \right| + 6\).

Vậy vận tốc của vật sau 10 giây là: \(v\left( {10} \right) = 3\ln 11 + 6\,\,\left( {m/s} \right)\).

Chọn D.

\(\int {\dfrac{1}{{1 + x}}dx}  = \dfrac{1}{1}\ln \left| {1 + x} \right| + C = \ln \left| {1 + x} \right| + C\).

Chọn B.

Ta có: \(I = \int\limits_0^4 {\sin \sqrt x dx} \)

Đặt \(u = \sqrt x  \Rightarrow {u^2} = x \Rightarrow dx = 2udu\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 0\\x = 4 \Rightarrow u = 2\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_0^2 {2u\sin udu} .\)

Chọn C.

Ta có: \(\int {f\left( x \right)dx = } \int {\dfrac{1}{{2x - 1}}dx} \) \( = \dfrac{1}{2}\ln \left| {2x - 1} \right| + C.\)

Chọn A.

Ta có

\(\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {\dfrac{{x + 3}}{{x - 2}}dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int {\left( {1 + \dfrac{5}{{x - 2}}} \right)dx}  = x + 5\ln \left| {x - 2} \right| + C\end{array}\).

Theo bài ra ta có: \(F\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow 1 + 5\ln 1 + C = 1 \Rightarrow C = 0\).

Do đó \( \Rightarrow F\left( x \right) = x + 5\ln \left| {x - 2} \right|\).

Vậy \(F\left( 0 \right) = 5\ln 2\).

Chọn A.

Đáp án A : sai do nếu \(\alpha  =  - 1\) thì công thức trở thành : \(\int {\dfrac{1}{x}dx}  = \ln \left| x \right| + C\).

Đáp án B : đúng.

Đáp án C : đúng.

Đáp án D : đúng.

Chọn A.