Bài 2. Tích phân

Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng \(y = 2x + 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1, x = t\) \((1 \le t \le 5)\) (H.45).

LG a

Tính diện tích S của hình T khi \(t = 5 \) (H.46).

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức tính diện tích hình thang \(ABCD (AB//CD)\) là:\(S = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).h}}{2}\)

Lời giải chi tiết:

(Hình 46)

Đề bài

Hãy chứng minh các tính chất 1 và 2.

Lời giải chi tiết

Tính chất 1:

+) Nếu \(k = 0\) thì tính chất đúng.

+) Nếu \(k \ne 0\) thì \(\int {kf\left( x \right)dx}  = k\int {f\left( x \right)dx}  = F\left( x \right)\) \( \Rightarrow \int {f\left( x \right)dx}  = \dfrac{{F\left( x \right)}}{k}\)

LG a

a) Hãy tính \(\smallint {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){e^x}dx\) bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \int {\left( {x + 1} \right){e^x}dx}  = \left( {x + 1} \right){e^x} - \int {{e^x}dx} \) \( = \left( {x + 1} \right){e^x} - {e^x} + C\) \( = x{e^x} + C\)

LG b

Tính các tích phân sau:

LG a

a) \(\int_0^2 {\left| {1 - x} \right|} dx\)

Phương pháp giải:

Phá dấu giá trị tuyệt đối.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left| {1 - x} \right| = \left[ \begin{array}{l}1 - x\,\,khi\,\,x \le 1\\x - 1\,\,khi\,\,x > 1\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow \int_0^2 {\left| {1 - x} \right|} dx = \int_0^1 {\left| {1 - x} \right|} dx + \int_1^2 {\left| {1 - x} \right|} dx\)

\(=   \int_0^1 {(1 - x)} dx + \int_1^2 {(x - 1)} dx\)

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính tích phân:

LG a

\(\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}(x+1)\sin xdx\)

Phương pháp giải:

Phương pháp tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = \sin xdx\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = \sin xdx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - \cos x\end{array} \right.\)

Tính tích phân \(\int_{0}^{1}x(1-x)^{5}dx\) bằng hai phương pháp:

LG a

Đổi biến số: \(u = 1 - x\);

Phương pháp giải:

Đặt \(u = 1 - x\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(u = 1 - x \)

\(\Rightarrow x = 1 - u \Rightarrow dx = - du\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 1\\x = 1 \Rightarrow u = 0\end{array} \right.\)