Ôn tập Chương III - Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

a

a) Phát biểu định nghĩa nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng

Lời giải chi tiết:

Kí hiệu \(K\) là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa đoạn của tập số thực \(R\)

Hàm số \(F(x)\) gọi là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên khoảng \(K\) nếu \(∀x ∈ K\) ta có \(F’(x) = f(x).\)

b

b) Nêu phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Cho ví dụ minh họa.

Lời giải chi tiết:

Phương pháp nguyên hàm từng phần

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a

a) \(f(x) = (x - 1)(1 - 2x)(1 - 3x)\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản, các quy tắc tìm nguyên hàm để giải bài toán.

Rút gọn hàm số \(f(x)\) và đưa hàm số về dạng hàm đa thức.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(f\left( x \right)= ( - 2{x^2} + 3x-1)\left( {1 - 3x} \right)\) \( =6{x^3}-11{x^2} +6x-1.\)

Vậy nguyên hàm của \(f(x)\) là: \(F\left( x \right) = \int {\left( {6{x^3} - 11{x^2} + 6x - 1} \right)dx}  \)

Tính:

a

a) \(\displaystyle\int_0^3 {{x \over {\sqrt {1 + x} }}} dx\)

Phương pháp giải:

+) Sử dụng phương pháp đổi biến và các công thức tính tích phân cơ bản để tính tích phân.

+) Chú ý: Khi đổi biến cần đổi cận.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt {1 + x} \) , ta được: \(x = t^2- 1, dx = 2t dt\)

Khi \(x = 0\) thì \(t = 1\), khi \(x = 3\) thì \(t = 2.\)

Do đó:

Xét hình phẳng D giới hạn bởi \(y = 2\sqrt {1 - {x^2}} \) và \(y = 2(1-x)\)

a

a) Tính diện tích hình D

Phương pháp giải:

+) Hình phẳng được giới hạn bởi đường các đồ thị hàm số \(y=f(x);\) \(y=g(x)\) và các đường thẳng \(x=a; \, \, x=b \, (a<b)\) có diện tích được tính bởi công thức:  \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx.} \)

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

Đề bài

Tính \(\int {{2^{\sqrt x }}} {{\ln 2} \over {\sqrt x }}dx\) , kết quả sai là:

A. \({2^{\sqrt x  + 1}} + C\)            B. \(2({2^{\sqrt x }} - 1) + C\)

C. \(2({2^{\sqrt x }} + 1) + C\)   D. \({2^{\sqrt x }} + C\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Đổi biến tìm nguyên hàm đã cho.

+) Hàm số \(F(x)\) là nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) thì hàm số \(F(x) + C\) cũng là nguyên hàm của hàm số.

Lời giải chi tiết

Đề bài

Cho hai tích phân \(\int_0^{{\pi  \over 2}} {{{\sin }^2}xdx,} \int_0^{{\pi  \over 2}} {{{\cos }^2}xdx} \) , hãy chỉ ra khẳng định đúng:

A. \(\int_0^{{\pi  \over 2}} {{{\sin }^2}xdx}  > \int_0^{{\pi  \over 2}} {{{\cos }^2}xdx} \)

B. \(\int_0^{{\pi  \over 2}} {{{\sin }^2}xdx}  < \int_0^{{\pi  \over 2}} {{{\cos }^2}xdx} \)

C. \(\int_0^{{\pi  \over 2}} {{{\sin }^2}xdx}  = \int_0^{{\pi  \over 2}} {{{\cos }^2}xdx} \)

D. Không so sánh được

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Đề bài

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng \( y = \sqrt x\) và \(y = x\) quay xung quanh trục \(Ox\). Thể tích của khối tròn xoay tại thành bằng:

A. \(0\)                          B. \(– π\)                          

C. \(π\)                         D. \(\displaystyle{\pi  \over 6}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết