ÔN TẬP CUỐI NĂM - GIẢI TÍCH 12

Đề bài

Định nghĩa sự đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của một hàm số trên một khoảng.

Lời giải chi tiết

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K, hàm số f(x) được gọi là

+ Đồng biến trên K nếu \(∀ x_1, x_2 ∈ K\) thỏa mãn \(x_1< x_2\) thì \(f(x_1) < f(x_2)\).

+ Nghịch biến trên K nếu \(∀ x_1, x_2 ∈ K\) thỏa mãn \(x_1< x_2\) thì \(f(x_1) > f(x_2)\)

Hàm số chỉ đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi là đơn điệu trên K.

Đề bài

Phát biểu các điều kiện đủ để hàm số f(x) có cực trị (cực đại cực tiểu) tại điểm x₀

Lời giải chi tiết

Điều kiện để hàm có cực trị:

Định lí 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên K = (x₀ – h; x₀ + h), h > 0 và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ {x₀}, nếu:

- f’(x) > 0 trên (x₀ – h; x₀) và f’(x) < 0 trên (x₀; x₀ + h) thì x₀ là một điểm cực đại của f(x).

Đề bài

Nêu định nghĩa và các tính chất cơ bản của logarit.

Lời giải chi tiết

1. Định nghĩa

Cho hai số dương a, b với \(a\ne1\). Nghiệm duy nhất của phương trình \({a^x} = b\) được gọi là \({\log _a}b\) ( tức là số \(\alpha\) có tính chất là \({a^\alpha } = b\)).

Như vậy \({\log _a}b = \alpha  \Leftrightarrow {a^\alpha } = b\).

2. Tính chất

+) log_a1 = 0 và log_aa= 1

+) ∀a >0 (a\(\ne\) 1),  \(∀b> 0\):

Đề bài

Nêu tính chất của hàm số mũ, hàm số logarit, mối liên hệ giữa đồ thị của hàm số mũ và hàm số logarit cùng cơ số.

Lời giải chi tiết

1. Hàm số mũ

Cho số a > 0 và a ≠ 1. Hàm số y =a^x được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Các tính chất của hàm số mũ y = a^x

Đề bài

Nêu định nghĩa và các phương pháp tính tích phân.

Lời giải chi tiết

1. Định nghĩa

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\). Giả sử \(F(x) \) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \([a;b]\), hiệu số \(F(b) - F(a)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) (hay tích phân xác định trên đoạn \([a;b]\) của hàm số \(f(x)\).

Kí hiệu là : \(\int_a^b f (x)dx\)

Vậy ta có :\(\int_a^b f (x)dx = F(b) - F(a) = F(x)|_a^b\)

2. Phương pháp tính tích phân

Cho hàm số:  \(f(x) = ax^2– 2(a + 1)x + a + 2 ( a ≠ 0)\)

a

a) Chứng tỏ rằng phương trình \(f(x)  = 0\) luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó.

Phương pháp giải:

Nhẩm nghiệm, đưa phương trình \(f(x)=0\) về dạng phương trình tích để tìm nghiệm của phương trình.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(f\left( x \right) = 0\) \( \Leftrightarrow a{x^2} - 2(a + 1)x + a + 2 = 0\)

Phương trình trên có \(A = a;B =  - 2\left( {a + 1} \right),C = a + 2\) và

Cho hàm số : \(y = {x^3} + a{x^2} + bx + 1.\)

LG a

a) Tìm a và b để đồ thị của hàm số đi qua hai điểm A(1, 2) và B(-2, -1)

Phương pháp giải:

Thay tọa độ của hai điểm A và B vào công thức hàm số rồi giải hệ phương trình gồm 2 ẩn a, b để tìm a, b.

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số đi qua hai điểm \(A(1; 2)\) và \(B (-2; -1)\) khi và chỉ khi: 

Cho hàm số: \(y = {x^4} + a{x^2} + b.\)

LG a

a) Tính \(a,\, b\) để hàm số có cực trị bằng \(\displaystyle{3 \over 2}\) khi \(x = 1.\)

Phương pháp giải:

Hàm số \(y=f(x)\) đạt cực trị tại điểm \(x=x_0 \Leftrightarrow x_0\) là nghiệm của của phương trình \(y'=0.\)

+) Điểm cực trị thuộc đồ thị hàm số nên tọa độ của điểm đó thỏa mãn công thức hàm số. 

+) Từ hai điều trên ta có hệ phương trình hai ẩn \(a, \, b.\) Giải hệ phương trình ta tìm được \(a, \, b.\)

Lời giải chi tiết:

Cho hàm số \(\displaystyle y = {2 \over {2 - x}}\)

a

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((C)\)  của hàm số đã cho.

Phương pháp giải:

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số theo các bước đã được học.

Lời giải chi tiết:

- Tập xác định: \(D=(-∞, 2) ∪(2, +∞).\)

- Sự biến thiên: \(\displaystyle y' = {2 \over {{{(2 - x)}^2}}} > 0,\forall x \in D\)

Nên hàm số đồng biến trên hai khoảng này.

- Hàm số không có cực trị

- Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang

Giải các phương trình sau:

a

a) \({13^{2x + 1}} - {13^x} - 12 = 0\)

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện xác định.

+) Sử dụng các phương pháp giải phương trình logarit để giải phương trình: đổi biến, mũ hóa, hàm số.......

+)  \({\log _a}f\left( x \right) = b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) > 0\\f\left( x \right) = {a^b}\end{array} \right..\)

+) \({\left( a \right)^{f\left( x \right)}} = b \Leftrightarrow f\left( x \right) = {\log _a}b.\) 

Tính các tích phân sau bằng phương pháp tính tích phân từng phần

a

a) \(\int_1^{{e^4}} {\sqrt x } \ln xdx\)

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để tính tích phân.

+) Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân.

+) Sử dụng công thức tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {u\left( x \right)dv\left( x \right)}  = \left. {u\left( x \right).v\left( x \right)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v\left( x \right)du\left( x \right).} \)

Lời giải chi tiết:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng

a

a) \(y = x^2 + 1, x = -1, x = 2\) và trục hoành

Phương pháp giải:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành, đường thẳng \(x=a,x=b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

\(\displaystyle S =\int\limits_{ - 1}^2 {({x^2} + 1)dx = ({{{x^3}} \over 3}}  + x)\left| {_{ - 1}^2} \right. = 6\)

Giải các phương trình sau trên tập số phức

a

a) \((3 + 2i)z – (4 + 7i) = 2 – 5i\)

Phương pháp giải:

Đưa phương trình về dạng \(az + b = 0 \Leftrightarrow z =  - \dfrac{b}{a}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\((3 + 2i)z – (4 + 7i) = 2 – 5i\)

\( \Leftrightarrow \left( {3 + 2i} \right)z = 2 - 5i + 4 + 7i\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow (3 + 2i)z = 6 + 2i \cr 
& \Leftrightarrow z = {{6 + 2i} \over {3 + 2i}} \cr} \)