Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Đề bài

Từ đồ thị (H.1, H.2) hãy chỉ ra các khoảng tăng, giảm của hàm số \(y = \cos x\) trên đoạn \(\displaystyle \left[ {{{ - \pi } \over 2};\,{{3\pi } \over 2}} \right]\) và các hàm số \(\displaystyle y = \left| x \right|\) trên khoảng \(\displaystyle \left( { - \infty ; + \infty } \right)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Các khoảng đồ thị hàm số có hướng đi lên thì hàm số đồng biến.

Đề bài

Khẳng định ngược lại với định lí trên có đúng không ? Nói cách khác, nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) trên \(K\) thì đạo hàm của nó có nhất thiết phải dương (âm) trên đó hay không ?

Lời giải chi tiết

Xét hàm số y = x³ có đạo hàm y’ = 3x² ≥ 0 với mọi số thực x và hàm số đồng biến trên toàn bộ R (quan sát đồ thị).

Vậy nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K thì đạo hàm của nó không nhất thiết phải dương (âm) trên đó.

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

a

a) \(y=\dfrac{3x+1}{1-x}\) ;

Phương pháp giải:

+) Tìm tập xác định của hàm số.

+) Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm x_i (I =1,2,3,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

+) Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

+) Dựa vào bảng biến thiên để kết luận khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số trên tập xác định của nó. (nếu y’ > 0 thì hàm số đồng biến, nếu y’ < 0 thì hàm số nghịch biến)

Đề bài

Chứng minh rằng hàm số \(y=\sqrt{2x-{{x}^{2}}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;\ 1 \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( 1;\ 2 \right).\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Tìm tập xác định của hàm số.

+) Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm x_i (I =1,2,3,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

+) Xét dấu đạo hàm và kết luận khoảng đồng biến nghịch biến.

Lời giải chi tiết